Federici Lisa – Gatti Francesca – Maestri Cristina
– Nesci Elisabetta - Redento Vincenza
1
Introduzione del Progetto
Il nostro lavoro di simulazione consiste nell’analisi del flusso di ricoveri di una
Casa di Riposo per anziani.
Obiettivo
Valutare, sulla base dei dati relativi agli ultimi dieci anni, quale aumento di posti
letto sarà necessario per far fronte alle richieste di degenza nei prossimi
cinquant’anni.
2
Individuazione del Progetto
Nella struttura analizzata vi è una disponibilità di 93 posti letto.
Per ogni anno abbiamo considerato i seguenti fattori:
numero di degenti trasferiti ad altra sede o dimessi;
numero di degenti deceduti;
numero di posti-letto disponibili;
numero di richieste di ricovero;
numero di nuovi degenti entrati nella struttura (cioè numero di richieste
soddisfatte);
numero di richieste in attesa.
3
Raccolta dati storici relativi agli anni dal 1995 al 2004
presso la Casa di Riposo “Paolo VI” del Comune di Bagnolo Mella.
Anno
Trasferiti in altra
sede/Dimessi
Deceduti
N° posti disponibili
N° richieste di
ricovero
Entrati
In attesa
1995
12
21
33
39
33
6
1996
3
27
30
41
30
11
1997
13
9
22
32
22
10
1998
11
15
26
33
26
7
1999
15
20
35
44
35
9
2000
13
13
26
42
26
16
2001
8
16
24
37
24
13
2002
4
20
24
39
24
15
2003
2
25
27
55
27
28
2004
7
16
23
64
23
41
4
Modelli di Simulazione
Metodo di Montecarlo
Linguaggi di Simulazione
Struttura dei Modelli di Simulazione
5
Nella simulazione si descrive cosa succederà nel futuro in modo tale da tenere un
comportamento razionale.
Viene simulato un problema tipicamente probabilistico con le tecniche previsionali,
conoscendo la storia presente e passata dell'ambiente in analisi.
Esse agiscono da stimatori e hanno in sè gli elementi che permettono di valutare
la storia futura.
Il metodo della simulazione è particolarmente interessante quando la
problematica da analizzare presenta componenti probabilistiche che spesso
introducono elementi di grande complessità nei modelli analitici che le prendono
in considerazione.
La simulazione di tipo probabilistico crea una storia simulata partendo da una
storia certa conosciuta secondo una legge di probabilità.
6
Rappresenta lo strumento che permette, nella simulazione, la generazione di
eventi pseudo-casuali (non realizzati mediante un processo realmente casuale
ma in grado di riprodurre le caratteristiche dell’aleatorietà).
Per poter simulare un fenomeno occorre riprodurlo: si parte da una serie di dati
osservati nel passato (serie storica), supponendo che il meccanismo di ciò che è
avvenuto sia uno stimatore corretto di quello che accadrà, e se ne rileva la
distribuzione di probabilità.
7
1. si traccia il grafico della funzione cumulata
2. si genera un numero casuale compreso tra 0 e 1 ;
3. si riporta il numero così trovato sull'asse y e lo si proietta orizzontalmente
sulla curva y = F(x);
4. il valore di x così trovato (x = f-1(y) ) sulla curva si assume come
uno dei valori del campione di x.
8
1. produrre dati relativi a simulazioni di eventi per tempi anche molto
lunghi;
2. è possibile modificare a piacimento i parametri che determinano
l'andamento della simulazione:
Esempio: nella simulazione si può aggiungere un ulteriore centro
di servizio per vedere come evolve la situazione, senza doverlo
installare nella realtà, eliminando così l'impiego di tempo e risorse
che si sarebbe dovuto affrontare nel caso la modifica fosse stata
compiuta materialmente.
9
• GPSS (General Purpose Simulation System);
• Simula
• DYNAMO (linguaggio destinato alla simulazione di sistemi dinamici ovvero
sistemi dipendenti dall’istante di osservazione).
10
Entità: indicano un “pezzo” del modello che verrà rappresentato e che potrà
essere composto da una pluralità di questi pezzi.
Attributi: rappresentano l’insieme delle caratteristiche che permettono alle
entità di operare.
Meccanismo di avanzamento del tempo di simulazione che scandisce il
verificarsi degli eventi più importanti.
Questo avanzamento può essere di tipo:
• costante: la situazione delle entità viene valutata ad incrementi
periodici di tempo per verificarne il risultato;
• variabile: il contatore viene avanzato alla fine dell’intervallo di tempo
considerato, quando avviene un’interazione fra le entità del modello.
11
Analisi delle variabili casuali
Trasformazione inversa
Generazione degli eventi pseudo-casuali
Algoritmo di simulazione
12
Analisi delle variabili casuali
Variabile casuale x
Numero decessi (x)
valore centrale
frequenza (f)
f(x)
F(x)
[4, 10[
7
1
0,1
0,1
[10, 16[
13
2
0,2
0,3
[16, 22[
19
5
0,5
0,8
[22, 28[
25
2
0,2
1
1
Numero decessi
5
Funzione cumulata decessi
4
3
frequenza (f)
2
frequenza (f)
5%
1
14%
[4, 10[
45%
0
[4, 10[
[10, 16[
[16, 22[
[10, 16[
[22, 28[
[16, 22[
classi distribuzione (x)
[22, 28[
36%
13
Variabile casuale y
Numero dimessi (y)
valore centrale
frequenza (f)
f(y)
F(y)
[0, 4[
2
2
0,2
0,2
[4, 8[
6
2
0,2
0,4
[8, 12[
10
2
0,2
0,6
[12,16[
14
4
0,4
1
1
Numero dimessi
4
3,5
3
2,5
frequenza (f) 2
1,5
1
0,5
0
frequenza (f)
Funzione cumulata dimessi
[0, 4[
[4, 8[
[8, 12[
[12,16[
Classi distribuzione (y)
9%
18%
46%
[0, 4[
[4, 8[
[8, 12[
[12,16[
27%
14
Variabile casuale z
Numero richieste
ricovero (z)
valore
centrale
frequenza
(f)
f(z)
F(z)
[32, 40[
36
5
0,5
0,5
[40, 48[
44
3
0,3
0,8
[48, 56[
52
1
0,1
0,9
[56, 64]
60
1
0,1
1
1
Numero richieste ricovero
5
4
3
Funzione cumulata richieste ricovero
Frequenza (f)
2
frequenza (f)
1
0
[32, 40[
[40, 48[
[48, 56[
[56, 64]
16%
31%
[32, 40[
Classi distribuzione (z)
[40, 48[
25%
[48, 56[
[56, 64]
28%
15
Trasformazione inversa U
Per generare gli eventi casuali simulati secondo la densità di
probabilità rilevata si introduce, per ognuna delle tre variabili casuali
descritte, una nuova variabile casuale in grado di presentarsi secondo
la densità di quelle in oggetto, ma più semplice da calcolare.
Ognuna delle tre variabili casuali viene quindi sostituita con una
variabile U, uniformemente distribuita nell’intervallo [0,1].
Una volta generato il valore pseudo-casuale u, possiamo facilmente
ottenere i valori x, y, z che rappresentano i valori numerici degli eventi
simulati.
16
Per definizione di variabile uniforme, abbiamo quindi realizzato le seguenti trasformazioni:
Variabile decessi
Valore centrale
corrispondente
P(0 ≤ U < 0,1) = 0,1
7
P(0,1 ≤ U < 0,3) = 0,2
13
P(0,3 ≤ U < 0,8) = 0,5
19
P(0,8 ≤ U < 1) = 0,2
25
Variabile dimessi
Valore centrale
corrispondente
P(0 ≤ U < 0,2) = 0,2
2
P(0,2 ≤ U < 0,4) = 0,2
6
P(0,4 ≤ U < 0,6) = 0,2
10
P(0,6 ≤ U < 1) = 0,4
14
Variabile richieste ricovero
Valore centrale
corrispondente
P(0 ≤ U < 0,5) = 0,5
36
P(0,5 ≤ U < 0,8) = 0,3
44
P(0,8 ≤ U < 0,9) = 0,1
52
P(0,9 ≤ U < 1) = 0,1
60
17
Generazione eventi pseudo-casuali
Il tempo del nostro modello di simulazione è scandito da un orologio
simulato, la cui unità di misura è l’anno.
Abbiamo analizzato la situazione per i 50 anni successivi al 2004 (ultimo
anno di rilevazione dei dati fornitici).
I tre eventi (numero decessi, numero dimessi e numero richieste di
ricovero)
si verificano ogni anno, quindi, il tempo della nostra
simulazione avanza in modo sincrono.
18
Esempio:
anni
simulati
variata
casuale in
[0,1]
evento
pseudocasuale
numero
decessi
2005
0,380
19
2006
0,382
19
2007
0,688
19
2008
0,388
19
2009
0,374
19
2010
0,288
13
2011
0,281
13
2012
0,863
25
2013
0,542
19
2014
0,263
13
2015
0,582
19
2016
0,641
19
2017
0,997
25
2018
0,466
19
2019
0,677
19
2020
0,776
19
2021
0,474
19
2022
0,269
13
2023
0,432
19
2024
0,601
19
primi venti anni simulati per
la variabile casuale numero
decessi; per ogni numero
casuale
generato
viene
riportato il relativo evento
pseudo-casuale .
19
Algoritmo della Simulazione
20
Conclusioni
Andamento attese
Numero richieste
50
40
30
20
Serie1
10
0
-10
1
4
7
10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Anni simulati
…
21
22
Bibliografia
• Prof. Lorenzo Schiavina - “Metodi e strumenti per la modellizzazione
aziendale” - (versione 2.2 – preliminare; revisione al 25/07/2004)
Ringraziamenti
• Ringraziamo il personale della Casa di Riposo “Paolo VI” del Comune
di Bagnolo Mella (Bs) che ci ha fornito i dati annuali presi in
considerazione nel nostro progetto di simulazione.
23