Lezione 5
Operazioni musicali nel sistema di
rappresentazione binomiale
Programmazione per la Musica | Prof. Luca A. Ludovico
Coppie <pc,nc> ammissibili
Sulle colonne sono disposte
le note con lo stesso nome e
diverso stato di alterazione
(sempre 5), sulle righe le
enarmonie (sempre 3, ad
eccezione di G#/Ab).
Quante sono le possibili
combinazioni?
Teoricamente 12 ∙ 7 = 84,
ossia tutte le celle nella
tabella a fianco
In pratica, considerando
al più le doppie alterazioni,
7 ∙ 5 = 35.
Fino ad alterazioni
quintuple non ci sarebbe
ambiguità (vedi colonna C).
pc
0
nc
0
1
2
3
4
5
6
C
D√
B
B⋲
1
C
D¯
2
C⋲
D
3
C⋲#
D
E¯
F√
4
C⋲⋲
D⋲
E
F¯
5
C⋲⋲#
6
?
7
C√√¯
8
C√√
G
A¯
9
C√¯
G⋲
A
10
C√
A
B¯
11
C¯
A⋲
B
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
E√
E
E⋲
F
G√
F
G¯
F⋲
G
A√
B√
Rappresentazione binomiale degli intervalli
nc specifica l’ampiezza
dell’intervallo generico, e
pc la dimensione in
semitoni.
Sulle colonne si trovano
intervalli la cui dimensione
generica è uguale (ad es.,
le terze, le quarte, ecc.)
mentre sulle righe si
trovano gli intervalli
omofoni.
Il sistema non è ambiguo
fino agli intervalli
quintuplamente eccedenti
(5A) o diminuiti (5d).
0
1
2
0
P1
d2
(3d)3
1
A1
m2
(2d)3
2
(2A)1
M2
d3
3
(3A)1
A2
m3
4
(4A)1 (2A)2
M3
d4
5
(5A)1 (3A)2
A3
P4
pc
6
nc
?
(4A)2 (2A)3
3
4
5
6
A7
A4
d5
7
(5d)1 (5A)2 (3A)3
P5
d6
8
(4d)1 (5d)2 (4A)3
A5
m6
9
(3d)1 (4d)2 (5A)3
M6
d7
10
(2d)1 (3d)2 (5d)3
A6
m7
11
d1
(2d)2 (4d)3
M7
Legenda: …, d = diminuito (diminished), m = minore (minor), P = giusto (perfect), M = maggiore (major), A = eccedente (augmented), …
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
Un’osservazione
• Nelle lezioni precedenti abbiamo visto operazioni aritmetiche che
coinvolgono contemporaneamente rappresentazioni binomiali di
altezze e di intervalli.
–
Ad esempio, il calcolo dell’intervallo determinato da due note si effettua
attraverso una differenza di <pc,nc> relativi ad altezze, e il risultato è una
coppia <pc,nc> relativa ad un intervallo.
• Questo mescolamento di entità musicali differenti è giustificato
dal fatto che le altezze stesse, viste nel sistema binomiale,
possano essere viste anche come intervalli rispetto a un
riferimento <0,0> assegnato convenzionalmente al Do naturale.
• Ad esempio, <2,1> è la rappresentazione binomiale tanto
dell’altezza della nota Re naturale quanto dell’intervallo di 2a
magg. che permette di passare dal Do naturale al Re naturale.
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
Operatori musicali: trasposizione
• Tutte le operazioni viste nei sistemi pc e nc sono possibili anche
in rappresentazione binomiale: vengono eseguite separatamente
sulle componenti pc in modulo 12 e nc in modulo 7.
• La trasposizione corrisponde all’addizione. Trasporre una nota
<a,b> di un intervallo <c,d> significa:
<a,b> + <c,d> = <(a + c) mod 12, (b + d) mod 7>
• Esempio: trasporre D (Re naturale) di una terza maggiore
<2,1> + <4,2> = <6,3>
D + M3 = F#
• La trasposizione può avvenire in senso discendente. Trasporre di
una terza maggiore discendente implica sommare <-4,-2>
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
Proprietà della trasposizione nel sistema binomiale
• Sia U l’insieme universo costituito dalle 84 classi di altezze binomiali,
ottenibili come combinazione dei 7 valori ammessi per nc e dei 12
valori ammessi per pc.
Siano A, B e C tre binomi qualsiasi  U.
•
•
•
•
•
(A + B)  U
A+B=B+A
la somma è commutativa
(A + B) + C = A + (B + C)
la somma è associativa
<0,0> è l’elemento neutro per l’addizione, in quanto A + <0,0> = A
Per ogni A esiste un inverso A’ tale che A’ + A = <0,0>
L’inversione di <a,b> è
<a,b>’ = <0,0> – <a,b> = <(– a) mod 12, (– b) mod 7>
e poiché <0,0> = <12,7> allora <a,b>’ = <(12 – a) mod 12, (7 – b) mod 7>
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
Operatori musicali: calcolo dell’intervallo
• Per determinare l’intervallo tra due note, si sottrae la prima nota
dalla seconda. Tale calcolo corrisponde all’operazione di
sottrazione.
• Calcolare l’intervallo tra le note <c,d> e <a,b> significa:
<a,b> – <c,d> = <(a – c) mod 12, (b – d) mod 7>
• Esempio: l’intervallo tra Eb (Mi bemolle) e A (La naturale) è
<9,5> – <3,2> = <6,3>
A - Eb = A4
[quarta eccedente]
• Invertendo gli estremi dell’intervallo:
<3,2> – <9,5> = <6,4>
Eb – A = d5 [quinta diminuita]
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
Operatori musicali: inversione dell’intervallo
• Come specificato sopra, l’inversione di un generico intervallo
<a,b> è
<a,b>’ = <12,7> – <a,b> = <(12 – a) mod 12, (7 – b) mod 7>
• Attenzione: apparentemente l’operazione è simile al calcolo di
un intervallo, in quanto implica la differenza tra due binomi. In
questo caso però la rappresentazione binomiale codifica intervalli
e non altezze delle note.
• Esempio: l’inversione di una quarta giusta è
<12,7> – <5,3> =
<7,4>
P4 [4a giusta] P5 [5a giusta]
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
Operatori musicali: inversione melodica
• L’inversione melodica di una sequenza è la sottrazione di
ciascuna nota della sequenza da una costante binomiale
• Esempio: inversione melodica rispetto alla costante <4,2>
Si osservi che pc e nc della costante binomiale divisi per 2
rappresentano l’altezza della nota (se esiste) rispetto cui avviene
l’inversione.
–
Nell’esempio, si tratta proprio della prima nota della sequenza.
D
E
<2,1>
<4,2>
<4,2> -
F
A
C
<6,3>
<9,5>
<0,0>
<4,2> -
<4,2> -
<4,2> -
<4,2> -
<2,1> =
<4,2> =
<6,3> =
<9,5> =
<0,0> =
<2,1>
<0,0>
<10,6>
<7,4>
<4,2>
D
C
B¯
G
E
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
Operatori musicali: prodotto
• Si definisca ora l’operatore × nel seguente modo:
<a,b> × <c,d> = <(a × c) mod 12, (b × d) mod 7>
•
•
•
•
•
(A x B)  U
A×B=B×A
il prodotto è commutativo
(A × B) × C = A × (B × C) il prodotto è associativo
<1,1> è l’elemento neutro per il prodotto, in quanto A × <1,1> = A
La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:
A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C)
• Le proprietà qui elencate, più le proprietà della somma, sono
sufficienti per dimostrare che si tratta di un anello commutativo con
identità.
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
ESEMPI
CbrStats.java
Il software legge in ingresso una sequenza di valori numerici interi codificati
come Continuous Binomial Representation, e calcola:
• la frequenza (espressa in Hz) del pitch più acuto
• la frequenza (espressa in Hz) del pitch più grave
• la frequenza media dei pitch.
Osservazione: ci si sta concentrando sull’aspetto acustico delle note (le
frequenze in Hertz)
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
ESERCIZIO
Si scriva un programma che richieda in ingresso una sequenza di
pitch, espressi come cbr, e produca in uscita (in formato cbr) una
trasposizione diatonica, ossia di un certo numero di gradi della scala
•
•
•
es.: T-7(C#3, A5, B4, G#6)
cbr:
3010, 5095, 4116, 6084
=
→
C#2, A4, B3, G#5
es.: T1(C#3, A5, B4, G#6)
cbr:
3010, 5095, 4116, 6084
=
→
D#3, B5, C5, A#6
es.: T2(C#3, A5, B4, G#6)
cbr:
3010, 5095, 4116, 6084
=
→
E#3, C6, D5, B#6
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali
2010, 4095, 3116, 5084
3031, 5116, 5000, 6105
3052, 6000, 5021, 6006
ESERCIZIO
Si scriva un programma che richieda in ingresso una sequenza di
pitch, espressi come cbr, e produca in uscita (in formato cbr) una
tra le possibili scritture enarmoniche di ciascuna nota,
limitandosi al più alle alterazioni doppie.
Osservazione: in input sono ammesse scritture che vanno oltre le
alterazioni doppie!
Ad esempio E(C#3, A5, B4, G#6)
=
D¯3, B¯¯5, C¯5, A¯6
oppure
E(C#3, A5, B4, G#6) = B⋲2, G⋲5, A⋲4, A¯6
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5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali