Rapporto tra numeri
Dati due numeri qualunque a e b (b
a:b
oppure
0), il loro quoziente
a
b
si chiama rapporto tra i due numeri a e b.
• a e b sono i termini del rapporto;
• il primo numero (a) si chiama antecedente;
• il secondo numero (b) si chiama conseguente.
antecedente
conseguente
antecedente
a:b
termini del
rapporto
a
b
conseguente
termini del
rapporto
Il rapporto come numero
Un rapporto può essere
espresso anche con
un numero decimale.
5:4=
5
4
Il rapporto tra i numeri 5 e 4 può essere
espresso in tre forme:
5:4
5
4
1,25
= 1,25
Alcuni esempi
• Il rapporto tra 12 e 4
5
• Il rapporto tra 2 e
6
5
sotto forma di divisione è 12 : 4
sotto forma di frazione è 12
4
sotto forma di divisione è 2 : 5
5 6
sotto forma di frazione è
Prova tu
2
5
5
6
• Scrivi, in forma di frazione e di divisione, il rapporto che ha
come antecedente 5 e come conseguente 7 ......................
• Calcola il rapporto fra le seguenti coppie di numeri ed
esprimilo sia come frazione sia come numero decimale.
5
2 e 5 .................... 2 : 5 = 25 = 0,4 5 e 2 .................... 5 : 2 = 2
5
7
= 2,5
Scambiamo i numeri
Se in un rapporto scambiamo l’antecedente con il conseguente,
otteniamo il rapporto inverso di quello dato.
7
7:3=
3
è il rapporto inverso di
Dato il rapporto:
a
a:b=
b
(a, b
b
il suo rapporto inverso è: b : a =
a
3
3 :7=
7
0)
Le proprietà dei rapporti
I rapporti godono delle proprietà relative a frazioni e divisioni.
1
Per esempio:
1
7
3
×
=1
31 71
e
1
1
=1
12
2 ×
Il prodotto di un qualsiasi rapporto per
il suo inverso è uguale a 1.
a
b
×
=1
b
a
Alcuni esempi
• Dato il rapporto 2 : 10 il suo rapporto inverso è 10 : 2
• Dato il rapporto 10 il suo rapporto inverso è 3
10
3
• Dato il rapporto 3 : 5 il suo rapporto inverso è 5 : 3
6 4
4 6
Prova tu
• Dato il rapporto 5 : 7 il rapporto inverso è .............
• Dato il rapporto 12 il rapporto inverso è .............
5
8 : 1
• Il rapporto inverso di
è .............
9 3
7:5
5
12
1
3
:
8
9
La proprietà invariantiva
Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di un rapporto
per un qualsiasi numero diverso da zero, si ottengono
rapporti uguali a quello dato.
Dato il rapporto:
3
= 3 : 5 = 0,6
5
si possono ottenere rapporti uguali a esso:
moltiplicando
dividendo
3 ×6
18
=
= 18 : 30 = 0,6
30
5 ×6
3:5
5:5
=
0,6
1
= 0,6 : 1 = 0,6
Semplifichiamo i calcoli
La proprietà invariantiva dei rapporti è molto utile per
semplificare i calcoli.
250
Dato il rapporto
possiamo semplificarlo applicando
1000
la proprietà invariantiva:
250
250 : 10
25 : 25
1
=
=
=
=1:4
1000
1000 : 10
100 : 25
4
Poiché la proprietà vale per un qualsiasi numero
diverso da zero, deduciamo che le coppie di
numeri con lo stesso rapporto sono infinite.
Rapporti… d’oro
In oreficeria l’oro è utilizzato “legandolo” con altri metalli
(come il rame o l’argento). Per convenzione, si considera la
lega costituita da 24 parti (o carati).
L’indicazione 18 K sul braccialetto
vuol dire che esso contiene 18
parti d’oro puro su 24 parti; quindi
18 K esprime il rapporto:
18 = 0,75
24
750
Questo si esprime anche con il rapporto:
= 0,75
1000
I due rapporti hanno lo stesso valore e quindi sono uguali.
Esercitati
• Completa la frase scegliendo tra i termini: conseguente,
prodotto, quoziente, antecedente, termini del rapporto.
Dati due numeri qualunque a e b (con b 0) si chiama
quoziente
rapporto il ...................................... tra un numero
antecedente
a detto ......................................... e un numero b
detto ......................................... a : b.
conseguente
• Esprimi nei tre modi possibili il rapporto tra:
5 e 4: .......... : .......... = .......... = ..........
2 e 8: .......... : .......... = .......... = ..........
5:4=
5
= 1,25
4
2 : 8 = 2 = 0,25
8
Esercitati
• Dato il rapporto c : d (c, d 0), il suo rapporto inverso
d:c
è ........
Il prodotto di un qualsiasi rapporto per il suo inverso
1
è uguale a ..........
• Trova il rapporto inverso di:
7 : 9 ..........
6 : 5 ..........
9
7
5
5:6=
6
9:7=
• Collega ogni rapporto con il suo inverso:
9
4
3
7
8
5
3
2
3:8
2:5
6
19
3
19 : 6
9
7:4