Università Cattolica del Sacro Cuore
Sede di Brescia
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
TESI DI LAUREA SPECIALISTICA
Rottura di ergodicità
in sistemi anisotropi
Relatore:
Ch.mo Prof. Borgonovi Fausto
Laureando:
Correlatore:
Ch.mo Prof. Trasarti Battistoni Roberto
Marco Rizzinelli
Matricola N.3309599
Anno Accademico 2005/2006
Stato dell’arte: riferimenti bibliografici principali
(2004 - 2006)
[1] Broken Ergodicity in Classically Chaotic Spin Systems;
(F. Borgonovi, G.L. Celardo, M. Maianti, E. Pedersoli)
[2] Time scale for magnetic reversal and the topological non connectivity threshold;
(G.L. Celardo, J. Barré, F. Borgonovi, S. Ruffo)
[3] Topological nonconnectivity threshold in long-range spin systems;
(F. Borgonovi, G.L. Celardo, A. Musesti, R. Trasarti Battistoni, P. Vachal)
[4] Quantum signatures of the classical topological nonconnectivity threshold;
(F. Borgonovi, G.L. Celardo, G.P. Berman)
[5] The Topological nonconnectivity threshold in quantum long-range
interacting spin systems;
(F. Borgonovi, G.L. Celardo, R. Trasarti Battistoni)
[6] The topological nonconnectivity threshold and magnetic phase transitions
in classical anisotropic long-range interacting spin systems;
(R. Trasarti Battistoni, F. Borgonovi, G.L. Celardo)
Modelli Ferromagnetici
Sistema di N spin reticolari interagenti
• Spin di modulo unitario
• Momento magnetico totale
• Magnetizzazione spontanea
• Hamiltoniana di Heisenberg
rapporto
giromagnetico
- tipo di interazione
- coefficienti fenomenologici (>0)
Hamiltoniana di spin classici interagenti
Tipo di interazione
• Potenziale di interazione tra due spin distanti r
• Energia potenziale totale
grandezza del sistema
dimensione del reticolo
Possiamo dunque distinguere due tipi di interazione:
• Interazione a corto raggio
tra primi vicini
• Interazione a lungo raggio
a raggio infinito
Anisotropia e easy axis (1)
Sperimentalmente i sistemi ferromagnetici sono caratterizzati dalla presenza di
assi preferenziali di magnetizzazione, definiti easy axis.
Quali condizioni necessarie e sufficienti devono sussistere
affinché un sistema finito di spin interagenti presenti un easy axis?
• Stato fondamentale a energia minima
• Magnetizzazione nello stato fondamentale
• Proprietà dell’Hamiltoniana
(a)
(finita)
(b)
(parità)
• Definizione: se la configurazione di minima energia è unica (a meno del segno)
ed esiste una direzione
per cui la magnetizzazione in quella particolare
configurazione è non nulla,
allora si dice che il sistema ammette un easy axis di magnetizzazione lungo
.
Anisotropia e easy axis (2)
• La presenza di anisotropia risulta necessaria per l’esistenza di un easy axis.
(1) Se l’Hamiltoniana è invariante per una rotazione R nello spazio euclideo attorno
ad un asse qualunque
allora la configurazione a energia minima è infinitamente degenere e il sistema
non ammette easy axis.
(2) Se l’Hamiltoniana è invariante per rotazione attorno ad un asse fisso
allora nulla si può dire sull’esistenza o meno di un easy axis.
• Esempio:
• easy axis lungo l’asse z
• Contro-esempio:
• non esiste easy axis!
Hamiltoniana e easy axis per modelli XY anisotropi
Si parla di Hamiltoniana XY quando gli spin interagiscono tra loro solo tramite le proprie
proiezioni sul piano xy.
• Modello I: d=1,2,3 con interazione a corto e a lungo raggio
easy axis lungo y
coefficiente di anisotropia
• Modello II: d=1 con interazione a raggio infinito e campo magnetico esterno
In che modo la direzione preferenziale determinata da un campo esterno B lungo
z influenza l’esistenza o meno dell’easy axis? Competizione tra le direzioni y e z.
accoppiamento
Hamiltoniana di campo medio
autointerazione
Soglia di disconnessione topologica e limite termodinamico (1)
Partiamo dal presupposto di aver individuato un easy axis
per il modello anisotropo.
Il sistema Hamiltoniano di spin classici – che conserva l’energia – può presentare una
disconnessione topologica dello spazio delle fasi in due separate sottoregioni.
Si parla in questo caso di rottura di ergodicità. E’ definita allora una
Soglia di disconnessione topologica (topological nonconnectivity threshold)
• Sopra soglia
Rapporto di disconnessione
topologica
• Alla soglia
Limite termodinamico
• Sotto soglia
Soglia di disconnessione topologica e limite termodinamico (2)
Possiamo stimare per i modelli I e II l’energia minima, l’energia di disconnessione
topologica e il rapporto di disconnessione nel limite termodinamico.
• Modello I: d=1,2,3 con interazione a corto e a lungo raggio
ref.[1,2]
Stime analitiche per d=1 e numeriche per d=1,2,3
- Corto raggio
- Lungo raggio
La soglia di disconnessione topologica è rilevante solo in
presenza di interazione a lungo raggio
• Modello II: d=1 con interazione a raggio infinito e campo magnetico esterno
Calcolo analitico:
ref.[3]
Aspetti fondamentali della disconnessione
ref.[6]
Quali conseguenze nella dinamica del sistema di spin emergono a causa della
presenza o meno di disconnessione topologica?
Topologia
• Sopra soglia
• Alla soglia
• Sotto soglia
Statistica
Dinamica
Scale temporali di inversione magnetica: approccio dinamico
- Integrazione numerica delle equazioni del moto per il modello con campo magnetico
- Stima del tempo di inversione magnetica: variazione stocastica del segno di Measy
• Sotto soglia
Fase ferromagnetica come diretta
conseguenza della disconnessione
• Sopra soglia
Miscela di fase ferromagnetica
e paramagnetica
Ingrediente cruciale: grado di caoticità
Giustificazione del passaggio ad una trattazione statistica
Transizione di fase e soglia critica di energia: approccio statistico
Large deviation theory
(Barré et al.)
Modello con campo magnetico
in approssimazione di campo medio
Transizione di fase statistica
ferromagnetica-paramagnetica
nell’ensemble microcanonico
- Probabilità che il sistema assuma i valori Mx e My sotto il vincolo
Densità di entropia
Hamiltoniana di campo medio
- Dalla fase paramagnetica a quella ferromagnetica a seconda che P(My) attorno
a My = 0 passi da un singolo picco o due picchi.
Stima analitica
Densità di energia critica statistica
da confrontare con
Andamento di P(My) per
: approccio statistico
(1)
Fase paramagnetica
(2)
Miscela paramagnetica
e ferromagnetica
(3)
Fase ferromagnetica
Risultati numerici: N = 6; J = 1/3; B = 1;
E/N = -0.7 (a), -0.5 (b), -0.3 (c)
Confronto tra stima analitica in approssimazione di
campo medio (linea continua), con Hamiltoniana
completa (linee tratteggiate) e dati numerici (cerchi).
Scale temporali di inversione magnetica: approccio statistico
- teoria delle fluttuazioni
- tempi di rilassamento
da stato metastabile per My
in presenza di barriera entropica
(Griffiths et al.)
Da confrontare con il tempo di inversione magnetica calcolato per integrazione
numerica delle equazioni del moto nel modello con campo magnetico B=0
N = 6 (cerchi)
N = 12 (x)
N = 24 (croci)
N = 48 (diamanti)
(J=3)
Analogo quantistico di
ref.[4]
• Modello
• Quasi-degenerazione dello spettro di E
• Crescita esponenziale rispetto a E
della distanza tra i doppietti
(N=6, s=3)
nel limite classico
Scale temporali di inversione magnetica
ref.[5]
• Media quantistica
Il tempo di inversione magnetica
risulta finito anche sotto
la soglia di disconnessione
Macroscopic Quantum Tunneling di My
(Tejada et al.)
(N=6, s=4)
Conclusioni e prospettive
Sistemi di spin interagenti a lungo raggio
easy axis per
modello XY
anisotropo
soglia di disconnessione topologica
tempi di inversione della magnetizzazione
Possibili sviluppi:
• Confronto tra calcoli analitici e simulazioni numeriche per diversi parametri
• Costruzione di altri modelli anisotropi a partire dall’Hamiltoniana
• Transizione classico – quantistico (limite classico di corrispondenza, tasso di MQT)