Instabilita’ gravitazionale ed
onde di densità
nei dischi astrofisici
INTRODUZIONE
Teoria delle perturbazioni
gravitazionali introdotta negli
anni ‘60 per spiegare la
struttura a spirale della
galassia
(Lin, Shu).
M51
La rotazione differenziale della
galassia non può sostenere
strutture a spirale
stazionarie
• Teoria usata successivamente nei dischi
circumstellari:
• onde a spirale nel disco;
• trasporto di massa e momento angolare;
• frammentazione del disco (perturbazioni
instabili);
• formazione dei pianeti (addensamenti
autogravitanti);
• riscaldamento del disco (per dissipazione delle
onde).
• Trattazione idrodinamica (anche per il disco galattico).
CONDIZIONI INIZIALI
1. Disco fisicamente sottile:
ρ
M
Conseguenza:
z
r
r  a0
ρ(r, θ, z, t)  σ(r, θ, t)  δ(z)
Galassia Sombrero
• Condizioni stazionarie
• Rotazione differenziale
  (r )

• Pressione integrata verticalmente: Π 
2
a
 (z  0) ρ dz

• Simmetria assiale:
 0   0 (r ) ; a0  a0 (r ) ; Ω  Ω(r )
• La pressione è una funzione della densità (entalpia):
dh 
dΠ

dΠ
2 d
a 
 dh  a0
d

2
0
EQUAZIONI CHE GOVERNANO IL SISTEMA
Equazione di NavierStokes
Equazione di continuità

 p


v
2
  v
 ( v  ) v  F 

t

d
   (  v)  0
dt
Coordinate cilindriche
•
•
•
 1  (ur ) 1  ( j )

 2
0
t r t
r

 u
u
j u j 2 

  
   u
 2
 3   
 

r r  r 
r
 r  z 0
 t
j
j j 

 j
  
 u  2
 


r r  

 t
   z 0
Dove:
• u=componente radiale della velocità;
• J=momento angolare specifico:
j  r 2
• Ψ=potenziale gravitazionale:
1     1  2   2 
 2  4G (r , , t ) ( z )  ext (r , z )
r
 2
2
r r  r  r 
z
Unica equazione del moto iniziale non banale:
2
a
 d0 
2
0 d 0
r 0 (r ) 


 0 dr  dr  z 0
0  0 (r , z )
PERTURBAZIONI LINEARI
   0   1 ( r , , t )
u  0  u1 (r , , t )
j  r 2  j1 (r , , t )
  0 (r , z )  1 (r , , z, t )
EQUAZIONI PERTURBATE LINEARIZZATE
• Componente θ dell’equazione di Navier-Stokes
 ( j0  j1 ) j0  j1  ( j0  j1 ) 
1
1
 j
( 0   1 )  1  u1




(



)
0
1

r
r2



 t

j0 j0 j1 
1
1
 j1
 ( 0 )   u1
 2

0


r r  


 t
j0 j0 j1 
h1 1
 j1

u





1
2
 t

r r  
 

Introducendo la frequenza epiciclica:
2
2
1
d
(
r

)
2 dj0
2  3


r
dr
r dr
j1 u1 2 r
j1
h1 1




t
2



Altre equazioni perturbate linearizzate:
 ( 1   0 j1 r 2 )
 1
1  ( r 0 u1 )


0
t
r
r

u1
u1
j
h1
 1 

 2 1  


t

r
r
 r  z  0
1   1 
1  2 1
 2 1

 4G 1 ( z )
r
 2
r r 
r 
r
r 2
z 2
Scomposizione di Fourier delle perturbazioni
 S (r ) 

1 
 




U
(
r
)
 u1 


i ( t  m ) 


Re
e
 j 
 J (r ) 

1
 





 
 V (r ) 

 1
Ad es: equazione di continuità:
 0 j1 
 1
1  ( r 0u1 )
 





0
1
2


t
r
r
 
r

i 1 
im  0 j1
u1  ( r 0 )
u1
0
 im  1 
0
r
r
r
r2
iS (  m) 
im  0 J
U  ( r 0 )
U
0

0
2
r
r
r
r
iS (  m) 
im  0 J
1  ( r 0U )

0
r
r
r2
Altre equazioni:
•
J
d  2 S   V 
  
i (  m)U  2    a0

r
dr   0   r  z 0
•
 a02 S

dJ
iJ (  m)  U
 im 
V 
dr
 0

•
1 d  V  m 2
 2V
r
  2 V  2  4GS (r ) ( z )
r dr  r  r
r
•Condizioni al contorno:

U  0; J  0 per r  0 S ,V  0 per r , r  z
2
2

1
2

APPROSSIMAZIONE WKBJ
•Se ad esempio scriviamo:
V (r , z  0)  A(r )ei ( r )
d
1 dA

 k r  1
dr
A dr

A  Re Aei  t  m   ( r ) 


ad esempio :  1 (r , , t )  Re Sei  t  m   ( r ) 
Curva dei massimi di densità:
f (r , , t )  t  m   (r )  2 p
1
t  0 p  0    (r )
m
Onde a Spirale

L’onda precede (leading spiral) se k 
i
θ
o segue (trailing spiral) se
d
0
dr
d
k
0
dr
la rotazione del disco.
rotazione
leading
Rotazione del
disco
1
tan i 
1 r m  d 
m
 

 1

r  r  dr 
kr
Velocità del pattern:
Raggio di Corrotazione:

  
p    
 t  f ,t m
(rcr )   p
trailing
Soluzione Asintotica dell’equazione di Poisson
1 d  V  m 2
 2V
r
  2 V  2  4GS (r ) ( z )
r dr  r  r
r
• Ogni derivata rispetto r produce un fattore grande k
 2V  2V
 2  4 GS ( z )
2
r
z
Integrando lungo z:
1  V 
 V 

  4 GS  S 


4G  z  z 0
 z  z 0
 z  0  V  A(r )ei ( r )
 z  0  V  A(r  i z )e
i ( r  i z )
•Espandiamo Φ per piccoli z e trascuriamo le variazioni di A:
 r  i z    ( r )  i z
d
 ..... 
dr
V


i
V (r , z )  
V  kV 
z
z
r
S 
kV
2G
Massimi di densità corrispondono
a minimi di potenziale
Le nubi che compongono la galassia
vengono compresse al passaggio
dell’onda
Stella OB
Nelle nubi si innescano processi di
formazione stellare. Le stelle giovani, di
varia massa, si allontanano dalla
perturbazione
Le stelle OB terminano la loro evoluzione
prima di allontanarsi considerevolmente
dalla spirale
Legge di dispersione WKBJ
• Approssimazioni:
– ogni derivata spaziale porta un fattore k grande;
– la velocità del suono e’ piccola rispetto Ωr (disco sottile)
Si possono riordinare le equazioni del moto e di continuità. Ad esempio
(componente θ dell’equazione di Navier-Stokes):
d  a02 S 
2J
V

  i (  m)U 


dr   0 
r
r
ik
a02 S
0
2J
 i (  m)U 
 ikV
r
ik 0
0
i (  m)
 S   0 
  

 ika 2 

i
(


m

)

2

r
U


ikV




0
0


2

0
 r 2 i(  m) J   0 
Risolvendo per la densità superficiale S:
k 2 0V
S  2
  (  m) 2  k 2 a02
Usando la soluzione asintotica della legge di Poisson:
  m
2
  2  k 2 a02  2G k  0
LEGGE DI DISPERSIONE WKBJ
PERTURBAZIONI A SIMMETRIA ASSIALE (m=0)
    k a  2G k  0
2
2
2
2
0
Oscillazioni stabili per ω2 >0 ; perturbazione instabile per ω2 <0.
• Fattori stabilizzanti:
• rotazione differenziale (piccoli valori di k)
a 02
• pressione (grandi valori di k)
•Fattore destabilizzante
•gravità
2
kT 
2G 0
a0
Q
G 0
2
Parametro di
Toomre
ω2=0 (limite di stabilità)
2
Q
1
4
 k

k
 T
2

k
 
 0  Q  2  (1   )

kT

Q
ω2>0
stabile
ω2=0
1
ω2<0
instabile
0
1/2
1
ξ
Per Q<1 esistono
perturbazioni instabili
con una lunghezza
d’onda troppo grande o
troppo piccola per
essere stabilizzata da
pressione e/o rotazione
differenziale.
PERTURBAZIONI NON A SIMMETRIA ASSIALE m≠0

k
  m
2


 2 1  1  Q 2 (1  2 )

kT Q
+→

Onde Corte; - → Onde Lunghe
• k>0, +, onde leading corte (SL)
k>0, -, onde leading lunghe (LL)
• k<0, +, onde trailing corte (ST)
k<0, -, onde trailing lunghe (LT)
•Per onde lunghe, k  0 per   1 (risonanza di Lindblad)
(rilr ) 
 (rilr )
m
rilr  r  rolr
 p
(rolr ) 
Intervallo principale
 (rolr )
m
 p
BARRIERA Q
•Si verifica dove:
k
1
2
  1 2   2
Q
kT Q
2
• coesistono onde lunghe e onde corte, ma queste hanno k con segni diversi
•Un’onda lunga che incide su una barriera Q viene riflessa in un’onda
corta e viceversa
Possibili fenomeni di interferenza
tra le
barriere Q e nell’intervallo principale:
•Interferenze distruttive
•Instabilità: formazione di
strutture autogravitanti
•Dissipazione delle onde con
riscaldamento del disco
•Onde stazionarie
Simulazione di Quinn
dell’Università di Washington. I
colori blu, magenta, rosso e
giallo sono una scala di
densità crescente. I due
pannelli superiori si riferiscono
ad un disco il 10% meno
massiccio di quello
rappresentato nei pannelli
inferiori; entrambi orbitano
attorno una stella di 1 massa
solare e sono estesi 20 UA.
L’intervallo temporale tra le
configurazioni a destra e
sinistra è di soli 200 anni.
Dopo questo tempo, nel disco
meno massivo si sviluppano
dei modi normali stazionari; il
disco piu’ massiccio è
instabile, le spirali diventano
autogravitanti ed il disco si
frammenta, dando inizio alla
formazione protoplanetaria.