P = macromolecola con n siti di legame identici e indistinguibili
X = legante (ioni, piccole molecole,..)
A p= 1 atm, T = costante vi sono n equilibri:
P + X ⇄ PX
PXi + X ⇄ PXi+1
PX + X ⇄ PX2
PXn-1 + X ⇄ PXn
PX2 + X ⇄ PX3
A cui sono associate n costanti di equilibrio:
[ PX ]
[ P ][ X ]
[ PX i ]
Ki 
[ PX i 1 ][ X ]
[ PX 2 ]
K2 
[ PX ][ X ]
[ PX n ]
Kn 
[ PX n 1 ][ X ]
K1 
L’equilibrio:
P + jX ⇄ PXj
K
j
tot
[ PX j ]
[ PX j ]
[ PX ]
[ PX 2 ]




j
[ P ][ X ]
[ P ][ X ] [ PX ][ X ] [ PX j 1 ][ X ]
j
K
j
tot
 K1  K 2    K j   K i
i 1
Generalmente le concentrazioni delle singole specie PX, PX2,
PX3,… non sono sperimentalmente determinabili, mentre è
possibile determinare la concentrazione delle specie polimero
legato (Σi[PXi]), polimero non associato [P] e molecole di legante
libero [X].
β = numero medio di siti occupati
n
[ siti occupati ]


[conc. totale po lim ero ]
 i [ PX i ]
i 1
n
 [ PX i ]
i 0
Esempio: n=4 (Emoglobina, Hb)
[siti occupati] = [PX] + 2 [PX2] + 3[PX3] + 4[PX4] =
= [HbX] + 2 [HbX2] + 3[HbX3] + 4[Hb4]
[conc. totale polimero] = [P] + [PX] + [PX2] + [PX3] + [PX4]=
= [Hb] + [HbX] + [HbX2] + [HbX3] + [HbX4]
[ HbX ]  2[ HbX 2 ]  3[ HbX 3 ]  4[ HbX 4 ]

[ Hb ]  [ HbX ]  [ HbX 2 ]  [ HbX 3 ]  [ HbX 4 ]
1) ciascun sito di legame può legare una sola molecola di
legante;
2) i siti sono identici;
3) i siti sono indipendenti, quindi non interagiscono tra loro e
hanno tutti la stessa energia di interazione con il legante,
indipendentemente da quante molecole di legante si siano già
legate sul polimero.
Poiché gli n siti sono tutti identici e indistinguibili
e
consideriamo gli eventi di binding indipendenti tra di loro,
possiamo prendere in considerazione l’equilibrio generico:
sito libero + X ⇄ sito occupato
[ siti occupati ]
K
[ siti liberi ][ X ]
n
[ siti occupati ]   i [ PX i ]  Cb
i 1
n
[ siti liberi ]  n[ P ]tot   i [ PX i ]  n[ P ]tot  Cb
i 1
[ legante libero ]  C f
Cb
K
n[ P ]tot  Cb C f
Cb

[ P ]tot
Cb

lim K 

C f 0
n[ P ]tot  C f nC f
n [ P ]tot
lim  
n
C f 
[ P ]tot
Cb
K
n[ P ]tot  Cb C f
Moltiplicando e dividendo per [P]tot a destra:
Cb /[ P ]tot

K

n[ P ]tot  Cb  C n   C f
f
[ P ]tot
Da cui si ottiene:

lim   nKC f
C f 0
nKC f
1  KC f
lim   n
C f 
 max  n
nK
lim   nKC f
C f 0
lim    max  n
C f 
Θ = frazione di siti occupati
n
 i [ PX i ]
[ siti occupati ] i 1




[siti totali ]
n [ P ]tot
n
0 ≤ Θ ≤1
Θ = probabilità di trovare un sito occupato
( n siti identici e indipendenti)
1-Θ = probabilità di trovare un sito libero

lim   KC f
C f 0

n

KC f
1  KC f
lim   1
C f 
L’equazione di Langmuir può essere derivata da semplici
considerazioni cinetiche:

P  X k PX
i


kd
Per la velocità della reazione diretta:
vd  k d [ P ][ X ]  k d ( 1   )C f
Per la velocità della reazione inversa:
vi  ki [ PX ]  ki
All’equilibrio:
vd  vi
k d ( 1   )C f  ki
Da cui si ottiene facilmente:

KC f
1  KC f
kd
K
ki

nKC f
1  KC f
1
1
1
 
 n nKC f
Alternativamente:

nKC f
1  KC f
  KC f  nKC f

Cf
 nK  K
Cooperatività
positiva
Non cooperativo
Cooperatività
negativa
Nel caso di due diversi siti di legame non interagenti n1 e n2:
1 

1
n1 K1C f
1 K1C f
2 
n2 K 2C f
1 K 2C f
2
n 1 K1
n2 K2





Cf Cf Cf
1  K1 C f 1  K 2 C f
n1K1  n 2 K 2  (n 1  n 2 ) K1 K 2 C f

1  K1C f  K 2 C f  K1 K 2 C f2

 (K 1  K 2 )   K 1 K 2 Cf   n1K 1  n 2 K 2  (n 1  n 2 ) K 1K 2 Cf
Cf

 n1K 1  n 2 K 2  (n 1  n 2 ) K 1K 2 Cf  (K 1  K 2  K 1 K 2 Cf ) 
Cf
Isoterma di associazione
(25°C, pH=7.2) di ioni Mg2+
con t-RNA.
n1=6 n2=10
K1=7.14104 M-1
K2=5103 M-1
lim
C f 0
lim
C f 

Cf

Cf
 n1K1  n2 K 2  ( K1  K 2 )
 0  ( n1  n2 )K1K 2C f  K1K 2C f 
K1+K2
P + A ⇄ PA
P = macromolecola con un solo sito di binding
A = ligando
[PA ]
K
[P][ A]
Inizialmente:
[P]0
[A]0
Membrana semipermeabile
All’equilibrio:
[P]
[A]
[PA]
[A]
All’equilibrio:
(A)dx = (A)sx
Poiché i potenziali chimici di riferimento sono gli stessi:
a(A)dx = a(A)sx
(A)dx c(A)dx = (A)sx c(A)sx
Assumendo:
(A)dx≈ (A)sx
E quindi:
c(A)dx = c(A)sx
Nel box di sinistra:
c(A)tot,sx = c(A)b,sx+ c(A)f,sx
c(A)0 = c(A)tot,sx + c(A)f,dx = c(A)b,sx + 2 c(A)f,dx
c(A)b,sx = c(A)0 - 2 c(A)f,dx
Quindi:
[PA] = c(A)b,sx = c(A)0 - 2 c(A)f,dx
[P] = [P]0 - [PA]
[A] = c(A)sx = c(A)dx
c( A )b ,sx
[ PA ]
K

[ P ][ A ] ([ P ]0  c( A )b ,sx )  c( A )f ,dx
K
c( A )0  2c( A )f ,dx
([ P ]0  c( A )0  2c( A )f ,dx )  c( A )f ,dx
La costante di associazione può essere determinata dalle
concentrazioni iniziali di polimero e di ligando e dalla
determinazione sperimentale della concentrazione di ligando
libero (scomparto di destra).
G   RT ln K
0
B
1. Perdita dei gradi di libertà traslazionali e rotazionali
Gtr0 ,rot  TStr0 ,rot  0
Per un legante di P.M.=200 (T=25°C):
Gtr0 ,rot  50kJ  mol 1
2. Restrizioni alle rotazioni interne
0
0
Grot


T

S
.int .
rot .int .  0
Per ogni grado di libertà interno perduto:
G
0
rot .int .
 5  6kJ  mol
3. Effetti idrofobici
Per 1Å2 di superficie sottratta al solvente:
G
0
hydr
 0.2kJ  mol
1
1
4.Interazioni tra gruppi funzionali
(legame idrogeno, dipolo-dipolo, Van der Waals)
5. Interazioni elettrostatiche
6. Rilascio di molecole di solvente dalla sfera di idratazione
Generalmente a Tamb:
H  0.5  3kcal  mol
0
B
1
S  10  40cal  mol  K
0
B
1
1
Processi di associazione sono generalmente guidati dall’entropia.