Anteprima Estratta dall' Appunto di
Matematica finanziaria 10 cfu
Università : Università La Sapienza
Facoltà : Economia
Indice di questo documento
L' Appunto
Le Domande d'esame
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L' Appunto
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ABCtribe.com - [Pagina 2]
Corso di
Matematica Finanziaria
m
o
Prof. ssa Anna
Attias
c
.
e
b
ri
t
C
B
A
Corso di Laurea in Economia
Aziendale
a.a. 2009/10
ABCtribe.com - [Pagina 3]
Presentazione del corso
•
Corso (10 CFU) :
– 80 ore di lezione
– 20 ore di esercitazione
•
Riferimenti bibliografici:
– Supporti didattici online (slides delle lezioni e dispensa esercizi)
– Operazioni in condizione di certezza:
• Bortot, Magnani, Olivieri, Rossi, Torrigiani, Matematica Finanziaria, Monduzzi Editore,
Cap. I-II-III-IV
m
o
.c
– Titoli azionari e portafogli:
e
b
ri
• F. Cacciafesta, Lezioni di Matematica Finanziaria classica e moderna, Giappichelli
– Titoli derivati:
t
C
B
• J. Hull, Opzioni, futures ed altri titoli derivati, Il Sole 24 Ore
A
•
Orari:
– Lezioni: Mercoledì 8-10; Giovedì 8-10
– Esercitazioni: Lunedì 8-10 o Venerdì 10-12
•
Assistenza didattica: Mercoledì 10-11
•
Prova finale: esame scritto (sugli argomenti del modulo A) e prova orale (sugli
argomenti di entrambi i moduli)
ABCtribe.com - [Pagina 4]
Programma
•
Operazioni finanziarie in condizioni di certezza
– L’operazione finanziaria elementare
– Operazioni a pronti e a termine
•
Regimi finanziari
– Della capitalizzazione composta
– Della capitalizzazione semplice
– Dello sconto commerciale
•
•
Operazioni finanziarie complesse
– Rendite
– Obbligazioni
m
o
.c
e
b
ri
t
C
Indici temporali e di variabilitàB
A
– Maturity
– Scadenza media aritmetica
– Scadenza media finanziaria
– Durata media finanziaria (duration e convexity)
•
Costituzione di capitali e ammortamenti
– Ammortamento italiano
– Ammortamento francese
– Ammortamento tedesco
– Ammortamento americano
ABCtribe.com - [Pagina 5]
Programma (segue)
•
Operazioni finanziarie in condizioni di incertezza
– Titoli obbligazionari:
• Immunizzazione semideterministica
• Teoremi di Fisher-Weyl e Redington
– Titoli azionari:
• Generalità
• Criterio rischio-rendimento
• Modelli monoindice
• Capital Asset Pricing Model (CAPM)
m
o
.c
e
b
ri
– Titoli derivati:
• Forward
• Futures
• Swap
• Opzioni
t
C
B
A
ABCtribe.com - [Pagina 6]
Definizioni introduttive
Matematica Finanziaria
Branca della matematica applicata che
modellizza le operazioni finanziarie
Operazione finanziaria
m (o.f.)
o
c
e.
Ogni atto che produce una variazione
di capitale per effetto
b
i
r
t
dello scambio non contemporaneo
di almeno due importi.
C
B
A
 Oggetto di studio è la coppia (I, t) - Importo, Epoca
 Più in generale, un’operazione finanziaria può scriversi
come insieme di coppie F = {(I1, t1), (I2, t2),..., (In, tn)}
Notazione:
Rispetto al soggetto che valuta l’o.f., l’importo ha segno negativo se
costituisce un’uscita e segno positivo se costituisce un’entrata.
ABCtribe.com - [Pagina 7]
Classificazione delle operazioni finanziarie
Elementare, se #(F) = 2
(se lo scambio è fra una sola prestazione ed
una sola controprestazione)
Composta, se #(F) > 2
(se lo scambio riguarda più prestazioni e/o
controprestazioni)
m
o
.c
A pronti
se il prezzo dell’o.f. viene pagato nel momento
in cui esso viene concordato tra le parti
e
b
ri
t
C
B A termine
L’operazione finanziaria è
A
se il prezzo dell’o.f. viene pagato in un’epoca
successiva a quella in cui esso è concordato
Certa
se entrambi gli elementi della coppia (I,t) sono
deterministici (decisioni finanziarie in condizioni
di certezza)
Aleatoria
se tale è almeno uno degli elementi della coppia (I,t)
(decisioni finanziarie in condizioni di incertezza)
ABCtribe.com - [Pagina 8]
Il mercato dei capitali
Le transazioni che hanno ad oggetto operazioni finanziarie avvengono nel
Mercato dei capitali
inteso come luogo di incontro della domanda (finanziamenti con vincolo di
credito [obbligazioni] e/o di capitale [azioni]) e dell’offerta (emissioni e/o
negoziazioni di titoli relativi prestiti monetari).
m
o
.c
e
b
ri
t
C
BFormulazione di ipotesi sul comportamento degli
Teoria
A
partecipanti al mercato per definire un modello:
il mercato ideale
Analisi del mercato
dei capitali
Pratica
Valutazione della convenienza finanziaria delle
opportunità sulla base delle transazioni nel
mercato reale
ABCtribe.com - [Pagina 9]
Caratteristiche del mercato dei capitali ideale
Competitività (competitive)
•
Ogni operatore:
a) usufruisce gratuitamente delle stesse informazioni
b) ignora le conseguenze delle proprie azioni sul mercato
c) è un massimizzatore di profitti (mira a conseguire il maggior risultato economico
con il minimo costo
m
o
.c
e
b
ri
Non frizionalità (frictionless)
t
C
B
•
Le transazioni sono libere da costi aggiuntivi (di intermediazione, fiscali ecc.)
•
Le operazioni:
A
a) sono divisibili (possono cioè avere ad oggetto importi qualsiasi)
b) possono essere effettuate in ogni istante
•
Sono ammesse vendite allo scoperto (short sales) (è cioè possibile vendere titoli che
non si possiedono)
•
Non c’è rischio di insolvenza (default risk)
Assenza di arbitraggi
ABCtribe.com - [Pagina 10]
Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue)
Definizione di arbitraggio
Un arbitraggio è un'operazione finanziaria che consente al soggetto che la pone
in essere di conseguire un profitto certo senza correre alcun rischio.
Distinguiamo tra:
m
o
.c
Arbitraggio di tipo A
Si ha quando l’o.f.:
• ha un costo nullo o negativo e
• genera un flusso di importi tutti non negativi, con almeno un pagamento
positivo
e
b
ri
t
C
B
A
Arbitraggio di tipo B
Si ha quando l’o.f.:
• ha un costo negativo e
• genera un flusso di importi tutti non negativi
ABCtribe.com - [Pagina 11]
Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue)
«Con il termine arbitraggio si intende indicare un'operazione che consente di ottenere
un profitto certo, senza che il soggetto che la mette in essere corra alcun rischio.
Solitamente l'arbitraggio consiste nell'acquisto/vendita di uno strumento finanziario
(ma anche non finanziario, come una commodity) e in una contemporanea operazione
di segno opposto sullo stesso strumento negoziato su un mercato diverso dal
precedente, oppure su uno strumento diverso ma avente le stesse caratteristiche a
livello di payout del primo.
m
o
.c
e
b
ri
Appare evidente che una siffatta operazione può generare un profitto solo nel caso in
cui esista un differenziale di prezzo tra due strumenti pressochè identici,
differenziale determinato da una inefficienza di tipo informativo (o normativo): questo è il
presupposto fondamentale perché si creino opportunità di questo tipo.
t
C
B
A
Un altro presupposto è rappresentato dalla esistenza di strumenti finanziari
perfettamente sostituibili. Questo può avvenire nel caso in cui si prendono in
considerazione strumenti identici ma scambiati su mercati diversi, oppure in quello
relativo a strumenti diversi ma aventi lo stesso payout (ad es. un paniere di titoli azionari
ed il future avente lo stesso paniere come sottostante), o ancora in quello di cui uno
strumento può essere replicato sinteticamente (triangolazioni sul mercato valutario).»
Da “www.borsaitaliana.it”
ABCtribe.com - [Pagina 12]
Il mercato dei capitali reale
Diretto
Le negoziazioni avvengono mediante
accordi diretti tra le parti, che determinano
autonomamente le condizioni di scambio.
Es.: operazioni bancarie
m
o
.c
Mercato
dei capitali
e
b
ri
t
C
B
A
Aperto
Le negoziazioni sono di tipo impersonale
ed hanno caratteristiche (taglio degli
importi, scadenze, tassi, ecc.) standardizzate.
Es: operazioni di cambio
Mercato monetario
(negoziazione di strumenti a
breve scadenza, convenzionalmente non superiori a 18
mesi)
Mercato finanziario
(negoziazione di mezzi
finanziari – obbligazioni e/o
azioni – generalmente a
medio e lungo termine)
Mercato dei cambi
(negoziazione di valute
estere)
ABCtribe.com - [Pagina 13]
L’operazione finanziaria elementare
Accordo che scambia le coppie (P, x) ed (M, y), con y  x ; x  0,y  0
Schema:
A conferisce a B all’epoca x l’importo P in cambio dell’importo
M che B conferirà ad A all’epoca y, con y > x.
mM
o
.c A  B
P
AB
x
e
b
ri
Ct
y
B
A
Acquisto oggi (epoca t) un BOT (Buono Ordinario del Tesoro) al prezzo di € 95,817 ed
Esempio 1:
incasserò tra un anno €100.
Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come
F = { (95,817, t), (100, t+1)}
Esempio 2:
Presento oggi (epoca t) all’incasso un credito per € 1.000 che maturerà tra 30 giorni.
Ricevo dalla controparte € 995.
Assumendo il giorno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come
F = { (995, t), (1.000, t+30)}
ABCtribe.com - [Pagina 14]
L’operazione finanziaria elementare (segue)
Ipotesi:
1. Gli importi P ed M sono espressi nella stessa unità di misura
2. I soggetti che attuano lo scambio sono razionali:
a) ( I , x )  ( I , x)
se
I1 > I2
b) ( I , x)  ( I , y )
se
x<y
1
2
m
o
c di preferenza assoluta
.Criteri
e
b
ri
t
C
B
A
Principio di equivalenza finanziaria
«E’ finanziariamente equivalente ricevere [corrispondere] un importo
immediatamente oppure riceverlo [corrisponderli] in un’epoca
successiva purché — in questa seconda eventualità — all’importo si
aggiunga un interesse per il differimento della transazione.»
ABCtribe.com - [Pagina 15]
L’operazione finanziaria composta (esempi)
Esempio 3:
Acquisto oggi (epoca t) un BTP (Buono del Tesoro Poliennale) con scadenza tra tre anni
al prezzo di € 101,25 che paga cedole semestrali in base al tasso annuo del 4%.
Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come
F  (101.25, t ), (2, t  ), (2, t  1), (2, t  ), (2, t  2), (2, t  ), (102, t  3)
3
2
1
2
m
o
.c
5
2
e
b
ri
Esempio 4:
t
C
B
A
Acquisto oggi (epoca t) un’auto del valore di € 15.000 e la pago con rate mensili di € 300
per i prossimi 5 anni (numero di rate = 125 = 60).
Assumendo il mese come unità di misura del tempo, l’o.f. può scriversi come
F  (15.000, t ), (300, t  1), (300, t  2),...,(300, t  60)
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L’o.f. elementare: investimento e anticipazione
L’operazione finanziaria elementare F  {( P, x),( M , y )} è detta
di investimento (o impiego)
di
se, noto P, deve determinarsi M
se, noto M, deve determinarsi P
In questo caso:
In questo caso:
ri
t
C
y è l’epoca di scadenza
AB
(o
sconto
o
m
o
.c
x
e
b
x è l’epoca di investimento
anticipazione
finanziamento)
è l’epoca di anticipazione
y è l’epoca di scadenza
P è il capitale impiegato (o investito)
all’epoca x
P è il valore attuale all’epoca x
dell’importo M disponibile all’epoca y
M è il montante alla data y del capitale
investito alla data x.
M è l’importo disponibile all’epoca y
M
P (incognita)
M (incognita)
P
x
y
x
y
In entrambi i casi, per il principio di equivalenza finanziaria, deve aversi
M P
yx
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