Rosetta Zan
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
[email protected]
DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
TFA A048-A049-Matematica
Incontro 3
1 marzo 2013
Wertheimer:
Trovare l’area delle seguenti figure
ESEMPIO DI FIGURE A
ESEMPIO DI FIGURE B
• Pensiero produttivo
…pensiero riproduttivo
…pensiero cieco
• Insight
• Fissità (influenza della ‘buona forma’)
• Importanza di strategie generali
(euristiche)
Psicologia della Gestalt
Che cos’è un problema?
Un problema sorge quando un essere
vivente ha una meta ma non sa
come raggiungerla.
[Duncker, 1945]
problema / esercizio
Che cos’è un problema?
Un problema sorge quando un essere
vivente ha una meta ma non sa
come raggiungerla.
[Duncker, 1945]
La stessa situazione può evocare in individui diversi
mete diverse
 Quale meta?
v. Von Neumann
Il problem solving
Esco di casa per andare a scuola:
cosa faccio?
ESERCIZIO
Torno a casa e mi accorgo di non avere le chiavi:
cosa faccio?
PROBLEMA
ESERCIZIO
PROBLEMA
comportamento
automatico
comportamento
strategico
...nel problema si devono prendere DECISIONI!!!!
Terminologia
•
•
•
•
Obiettivo, meta (‘goal’)
Esercizio / problema
Processi decisionali
Strategie, euristiche
Le euristiche
• I metodi euristici (o euristiche) sono strategie di carattere
generale utili nell’affrontare un problema, in quanto
facilitano il raggiungimento della soluzione.
• Spesso i termini strategie ed euristiche sono usati come
sinonimi.
• "Scopo dell’euristica è lo studio dei metodi e delle leggi
di invenzione e di scoperta” (Polya, 1945).
• Nell'ambito del problem solving il termine ‘euristico’ è
usato come aggettivo, col significato di ‘utile per la
scoperta’:
– ragionamenti euristici
– procedimenti di valore euristico
– metodi euristici.
• …oppure come sostantivo:
- euristiche = i metodi euristici.
Duncker
EURISTICA
META
SOLUZIONE
DATI
Duncker: alcune euristiche
•
•
Che cosa significa precisamente
l’analisi dell’obiettivo
quello che devo dimostrare?
Come si potrebbe formulare in modo
l’analisi della situazione
diverso? o del materiale
posso sfruttare i dati?
• l'analisiCome
del conflitto
…euristiche valide sia per problemi di natura
pratica che per problemi di tipo matematico
Le euristiche in matematica
Polya (1945)
• L'euristica moderna consente la comprensione
del processo di risoluzione dei problemi,
soprattutto per quanto concerne le operazioni
mentali tipiche di esso.
• Tali operazioni possono essere stimolate da
alcune domande chiave che il bravo solutore
di problemi si pone in modo naturale e spontaneo.
• Inoltre nel bravo solutore queste domande si
susseguono con una certa regolarità, nel senso
che egli le formula in genere in corrispondenza di
momenti diversi del processo risolutivo.
Le 4 fasi di un processo risolutivo:
•
•
•
•
Si comprende il problema
Si compila un piano
Si sviluppa il piano
Si procede alla verifica
George Polya
Un esempio
• Una delle euristiche che Polya fa
corrispondere alla prima fase è:
Se non si riesce a risolvere il problema
proposto, si tenti di risolvere prima
qualche problema connesso con questo.
Problema di costruzione:
In un triangolo assegnato, inscrivere un quadrato
avente due vertici sulla base e ciascuno degli altri
due vertici su un lato del triangolo.
Se non si riesce a risolvere il problema
proposto, si tenti di risolvere prima
qualche problema connesso con questo.
“Qual è l’incognita?”
“Un quadrato.”
“Quali sono i dati?”
“Soltanto un triangolo.”
“Qual è la condizione?”
“Che i quattro vertici del quadrato appartengano al contorno del triangolo
e, precisamente, due stiano sulla base e ciascuno degli altri due
giaccia su un lato del triangolo.”
“E’ possibile soddisfare alla condizione?”
“Ritengo di sì, ma non ne sono sicuro.”
“Sembra che tu non trovi il problema troppo facile. Se non si riesce a
risolvere il problema proposto, si tenti di risolvere prima qualche
problema connesso con questo. Si può soddisfare ad una parte della
condizione?”
“Cosa si intende per una parte della condizione?”
“Ecco, la condizione riguarda tutti i vertici del quadrato; ossia quanti
punti?”
“Quattro.”
“Una parte della condizione dovrebbe riferirsi ad un
numero di vertici minore di quattro. Si tenga conto
soltanto di una parte della condizione, trascurando
l’altra. Quale parte della condizione si presta ad
essere soddisfatta più facilmente?”
“E’ immediato disegnare un quadrato con due vertici
sul contorno del triangolo – od anche con tre vertici
su di esso!”
“Si disegni una figura!”
Lo studente disegna la figura 1.
“Così si è tenuto conto soltanto di una parte della
condizione, trascurando l’altra. Fino a che punto
risulta ora determinata l’incognita?”
“Il quadrato richiesto non è ancora individuato:
quello disegnato ha solo tre vertici appartenenti
al contorno del triangolo.”
“Bene! Si disegni un’altra figura!”
Lo studente traccia la figura 2.
“ “Abbiamo detto che il quadrato non è determinato dalla
parte della condizione considerata. Come può variare?”
[...]
“Tre vertici dei quadrati precedenti giacciono sul contorno
del triangolo, ma il quarto vertice non è ancora dove
dovrebbe stare. Il quadrato richiesto, come abbiamo già
notato, non è fino a questo momento individuato; esso
può variare e lo stesso accade per il suo quarto vertice.
Come può variare questo punto?”
[...]
“Si facciano dei tentativi pratici, per vedere meglio. Si
disegnino tanti quadrati, come quelli già considerati,
aventi tutti e tre i vertici sul contorno del triangolo:
quadrati piccoli e quadrati grandi. Quale sembra essere
il luogo descritto dai quarti vertici? Come può quindi
variare il quarto vertice di ciascun quadrato siffatto?”
Alcune critiche (Schoenfeld)
• La scelta di trascurare la condizione che impone tutti e 4 i
vertici del quadrato sui lati del triangolo è evidentemente
solo una delle tante possibili.
• Ad esempio si poteva rinunciare invece alla condizione che
il quadrilatero fosse un quadrato, e lavorare sui rettangoli,
ottenendo il problema: inscrivere un rettangolo nel triangolo
dato.
• Inoltre l’euristica di partenza
Se non si riesce a risolvere il problema proposto, si tenti
di risolvere prima qualche problema connesso con
questo.
poteva suggerire anche di:
- partire dal quadrato e costruire un triangolo simile a quello
dato soddisfacente le condizioni;
- inscrivere un quadrato in un triangolo particolare, ad
esempio isoscele o equilatero.
Ognuna di queste scelte avrebbe avuto una notevole influenza
sul processo risolutivo.
Gli episodi
(Schoenfeld,1983):
1. Lettura
2. Analisi
3. Esplorazione
4. Pianificazione
5. Implementazione
6. Verifica
7. Transizione
Terminologia
•
•
•
•
Obiettivo, meta (‘goal’)
Esercizio / problema
Processi decisionali
Strategie, euristiche
• Gestione delle risorse (abilità
metacognitive)
OSSERVAZIONE
• Giudizio sulla strategia / giudizio
sull’obiettivo
 von Neumann
Terminologia
•
•
•
•
Obiettivo, meta (‘goal’)
Esercizio / problema
Processi decisionali
Strategie, euristiche
• Gestione delle risorse
• Successo / fallimento
“Un problema sorge quando un essere
vivente ha una meta ma non sa
come raggiungerla.”
…se il soggetto non raggiunge la meta
FALLIMENTO
• per
quel soggetto
• rispetto a quella meta
Volevo prendere 8 alla verifica
Ho preso 7
FALLIMENTO
Ho preso 6
SUCCESSO
Volevo prendere
la sufficienza alla verifica
Terminologia
•
•
•
•
Obiettivo, meta (‘goal’)
Esercizio / problema
Processi decisionali
Strategie, euristiche
• Gestione delle risorse
• Successo / fallimento
• Interpretazione del fallimento/successo
Attribuzioni di fallimento (successo)
Processo di attribuzione causale (Weiner):
Locus
Stabilità
Controllabilità
 ricerca e individuazione delle cause
del successo / fallimento
Esempi:
• Ho preso l’insufficienza al compito
Perché era difficile
Perché non ho studiato abbastanza
Perché la professoressa ce l’ha con me
Perché non me l’hanno passato
Perché mi sentivo male
Causa interna, non stabile,
controllabile
Attività 2.2
• Pensa a una situazione in cui hai
affrontato un problema e l’hai risolto.
• Qual è stata la tua attribuzione di
successo?
• Pensa a una situazione in cui hai
affrontato un problema e non l’hai risolto.
• Qual è stata la tua attribuzione di
fallimento?
Il bravo solutore di problemi
ESERCIZIO
PROBLEMA
comportamento
automatico
comportamento
strategico
...nel problema si devono prendere DECISIONI!!!!
Chi è il bravo solutore di problemi?
Chi sa prendere decisioni adeguate
Da cosa dipendono le decisioni che
una persona prende di fronte ad un
problema?
Da cosa dipendono le decisioni che
una persona prende di fronte ad un
problema?
Attività 2.3
• Analizza le decisioni che hai preso in una
situazione di problema, cercando di
individuarne le origini.
1. Dalle conoscenze che ha riguardo a quel contesto
2. Dal repertorio di euristiche (Polya)
3. Dalle capacità di gestire le proprie risorse (abilità
metacognitive)
Da cosa dipendono le decisioni che
una persona prende di fronte ad un
problema?
Schoenfeld (1985)
In the best of all possible worlds the three categories
of knowledge and behavior described above
[knowledge, heuristics, control] would suffice to
characterize mathematical problem-solving
performance.
The literature now makes it abundantly clear that this
is not the best of all possible worlds (…).
The literature now makes it abundantly clear that this
is not the best of all possible worlds (…).
1. Dalle conoscenze che ha riguardo a quel contesto
2. Dal repertorio di euristiche (Polya)
3. Dalle capacità di gestire le proprie risorse (abilità
metacognitive)
• Da altri aspetti che andremo ad indagare,
spostandoci sul polo ‘allievo’ e sulla complessità
del processo di apprendimento
Da cosa dipendono le decisioni che
una persona prende di fronte ad un
problema?
ALLIEVO
MATEMATICA
INSEGNANTE
…
l’insegnante
l’allievo
Da cosa dipendono le decisioni che
una persona prende di fronte ad un
problema?
Il ‘modello’ di insegnante
che assumiamo
• L’insegnante come solutore di problemi
• …o come agente decisionale
Riprenderemo l’analisi delle sue decisioni dopo
aver esaminato il polo ‘allievo’