Strumentazione per bioimmagini
Metodi di ricostruzione da proiezioni
Ricostruzione 3D
• Una funzione 3D f(x,y,z) viene ricostruita a partire da un numero
P di proiezioni 2D p(x’,y’|,)
• Complessita’ teorica: ricostruire C=MxNxZ voxels
occorrono P=C equazioni (es. risoluzione 200x200x200 voxel = 8 milioni di
equazioni!!). Per ogni piano di scansione:
p0 (  N )   f (  N , y )
y
p0 ( N  1)   f ( N  1, y )
y

p0 ( N )   f ( N , y )
y
Coordinate cilindriche
• fascio parallelo e assenza di riflessioni (X-ray)  riduzione della
complessità
• stima di Z densita’ bidimensionali: riduzione a Z sistemi indipendenti di
MxN equazioni
piani paralleli non interferiscono
p(x’,y’) e’ determinato solo dai voxel attraversati
dal raggio incidente
il sistema e’ separabile
y’
coordinate cilindriche r,,z
z
piano di
proiezione
fascio parallelo di
illuminazione
y
θ
p(x’,y’)
d(x,y,z)
x’
x
r
Tomografia assiale (TA)
– TA realizza “in hardware” il sistema di coordinate
cilindriche
– proiezioni radiali bidimensionali: si puo’ usare la Radon
Transform
linea di proiezione
f(x,y|z)
p θ,z(x’)
fascio piano parallelo
di illuminazione
Risoluzione del problema inverso
• Risolvere numericamente le equazioni algebriche
direttamente:
• Computazionalmente oneroso
• Computazionalmente instabile al crescere delle equazioni
• Metodi alternativi:
– Ricostruzione iterativa
– Trasformata di Fourier
– Retroproiezione
– Retroproiezione filtrata
Ricostruzione iterativa
•
•
•
•
Data una stima f*(x,y) di f(x,y)
Si calcolano le proiezioni p*(x’)
Si calcola l’errore p(x’)-p*(x’)
Si aggiorna f*(x,y)
Stima della
proiezione a  da
f*(x,y)
ek 1 ( x' ) 
Data: proiezione a 
*
 , k 1
p
( x' )  p ( x' )
N
*
*
f k x, y   f k 1 x, y   ek 1 ( x' )
Aggiornamento
della stima f*(x,y)
Ricostruzione iterativa: schema a blocchi
inizializzazione:
f *(x,y)=0
dati: p θ(x’)
f*(x,y)
xcos(q)+ysin(q)=x’
Calcola p*θ(x’)
dalla stima f*(x,y)
e(x’)
nuova
direzione di
proiezione
θ=θk
sottrai l’errore
a tutti i pixel
sulla linea di
scansione
Ricostruzione iterativa:esempio
f(x,y)
f1=5
f2=7
f3=6
f4=2
Retroproiezione
x’
Da ogni proiezione sappiamo solo
che dei punti che sommano alla
misura della proiezione sono da
qualche parte lungo la linea
Le misure di ogni proiezione sono
riproiettate indietro sulla linea da
cui sono state ottenute,
assegnando il valore misurato
y’
Retroproiezione
Retroproiezione a 
b ( x, y )   p ( x' ) ( x cos( )  y sin(  )  x' )dx'

f * ( x, y )   b ( x, y )d
0
Ricostruzione a partire
dalle retroproiezioni
Retroproiezione: risposta impulsiva
Dato un impulso unitario nell’origine
p ( x' )   ( x' )
hb (r )   d   ( x' ) (r cos(   )  x' )dx'
1
   (r cos(   )) d 
r
Risposta impulsiva
Retropriezione filtrata
Calcolo del filtro
Ricostruzione
Radon Transform: Retro-proiezione filtrata
• Proiezione di densita’ bidimensionali  trasformata di Radon
• dalla trasformata Radon ricostruiamo la FFT polare della densita’ d(x,y)
• il reticolo polare non e’ uniforme  trasformiamo in reticolo ortogonale (Jacobiano
|w|)  retroproiezione filtrata
x’
abs(P(w)|θ)
p(x’)|θ
FT(1D)
RT
θ
x’
w
d x, y    F 1  w P ( w) d   pfiltered ( x) d
filtered

p
(x)
FT-1
|w
|
w
Ricostruzione da proiezioni in sintesi
• Il problema generale della ricostruzione da proiezioni e’ il problema
inverso della proiezione di una distribuzione 3D su piani 2D. In generale,
il problema e’ molto oneroso dal punto di vista computazionale
• Se il sistema di proiezione (problema diretto) segue una geometria
cilindrica, il problema inverso 2D->3D diventa un piu’ semplice problema
(1D->2D) x numero di piani sull’asse z.
• Il problema 1D->2D puo’ essere risolto attraverso metodi diretti (es.
ART). i metodi diretti hanno problemi di convergenza.
• Il problema 1D->2D e’ piu’ agevolmente risolto utilizzando la trasformata
inversa di Radon (non disponibile nel problema 2D->3D), risolvibile con
una IFFT (teorema della sezione centrale).
• Per ottenere un campionamento cartesiano uniforme dello spettro
attraverso la RT occorre utilizzare un filtro di retro-proiezione.
• La geometria a ventaglio permette un notevole risparmio nella
costruzione della TAC in quanto puo’ essere usata una sorgente
compatta di radiazione piuttosto che un array lineare. La geometria a
ventaglio richiede un filtro di retro-proiezione piu’ complesso.