Economia Politica.
Il modello di crescita
Accumulazione risparmio e produzione
Lezione 2°
Prof. Giuseppe Travaglini
Pil potenziale




Alcuni richiami teorici.
Il Pil potenziale corrisponde al livello massimo di
prodotto che può essere mantenuto nel lungo
periodo con un'inflazione stabile.
Dal lato del mercato del lavoro, corrisponde al
tasso naturale di disoccupazione (NAIRU).
Non dipende perciò solo da vincoli tecnologici, ma
anche di tipo istituzionale
Pil potenziale



per stimare il PIL potenziale procede in due passi:
vengono stimati i livelli di lungo periodo, ovvero
aggiustati per il ciclo, del lavoro (N) e il capitale
(K)
i livelli degli input così ottenuti vengono utilizzati
come dati della funzione della produzione,
unitamente al livello del progresso tecnologico
stimato attraverso la produttività totale dei fattori,
cioè il residuo di Solow (A).
Pil potenziale

Un esempio
Y AF
K, NAK N 1, con 0  1

In forma intensiva
Y A K
N
N

Pil potenziale

ponendo y=(Y/N) e
k=(K/N). La
funzione di
produzione diviene:
y

Ak
Pil potenziale

1.
2.
In quanto segue, siamo interessati alla funzione di
produzione che abbia le due seguenti proprietà:
Rendimenti decrescenti per ciascun fattore.
L'aumento dell'impiego di un fattore a parità di impiego
dell'altro e del livello del progresso tecnico fa crescere il
prodotto via via di meno.
Rendimenti costanti di scala. Un aumento
proporzionale dell'impiego di tutti e due i fattori fa
crescere il prodotto nella stessa proporzione.
Pil potenziale
Y  KN
3
1.2
2.5
1
2
0.8
1.5
0.6
1
0.4
0.5
0.2
0
0
0
1
2
3
4
5
Capitale, K
6
7
8
9
Rendimenti del capitale
Teniamo fermo il
progresso
tecnico ponendo
A=1 e poniamo
α=0.5 in modo
tale che la
Cobb-Douglas
ha la forma:
Prodotto totale, Y

Pil potenziale

Ovviamente per l'ipotesi dei rendimenti
costanti di scale
sK sN s KN sY

Oppure se s=1/N, e con progresso
tecnologico A
A 1 K  N A K  Y
N
N
N
N
y A k
Pil potenziale

1.
2.
Questo risultato ci conferma che la
crescita del prodotto per occupato y = Y/N
dipende da due elementi:
la dotazione di capitale per lavoratore,
k=K/N;
il progresso tecnologico, A.
Pil potenziale: crescita
Prodotto per occupato
y1

K/
k
N
y0
k0
k1
Capitale per occupato
k
Crescita e Pil

Due sono i fattori che possono contribuire alla
crescita economica di un paese, facendo
aumentare la produttività del lavoro:
1.
l'accumulazione di capitale, Δk
2.
il progresso tecnico, ΔA
3.
Quale di questi due fattori è più importante?
Accumulazione e crescita

Partiamo dall'accumulazione
Stock di capitale => Produzione => Reddito =>
=> Risparmio = Investimento

L'investimento accresce il capitale:
=> Investimento => Δ capitale => Δ Reddito
Accumulazione e crescita



Può questo processo andare avanti all'infinito
sicché il capitale contribuisce in modo permanente
alla crescita?
l'investimento non può far aumentare per
sempre il reddito. Il motivo è la presenza di
rendimenti decrescenti.
Però, un maggior risparmio e investimento
accrescono il livello del reddito.
(1) Modello di accumulazione



Assumi A=1 ed N fisso.
La crescita di Y dipende
solo da K
La funzione di produzione
diviene così:

y t k t
Modello: risparmio e accumulazione
1.
Il punto di partenza è l'uguaglianza tra
risparmi e investimenti.
I t S t
L'investimento lordo It è pari alla somma dello
investimento netto, Δk = Kt+1- Kt e dello
ammortamento, δKt ossia:

It = Kt+1- Kt + δKt
Il risparmio
2.
Il risparmio è una data proporzione del
reddito
St = sYt

dove s è il tasso di risparmio dell'intero
sistema economico.
Investimento = Risparmio


L'uguaglianza tra
risparmio e
investimento è
quindi
K t1 K t K t sY t
Dividendo per N,
che è fisso:
K t1
K
Y
K
t
t

s
 t
N
N
N
N
#
Investimento = Risparmio


Ma dato che:
Possiamo
riscrivere la
precedente
relazione come:

Y t y k   K t
t
t
N
N
K t1
 K t s K t
N
N
N

 K t
N
#
Il modello di accumulazione
yt
St
AMM t
K t1
K
 t
N
N

Y
K
t
 t 
N
N
Y
K
t
t
s 
s 
N
N
K
  t
N

K
K
t
s
 t
N
N

Un esempio

Esempio.
A=1
α=1/3
s=0.3
δ=0.1
1/3
y t k t
S t 0. 3
1/3
Kt
N
AMM t 0. 1
Kt
N
K t1
K
K
t
t

0. 3
N
N
N
1
3
K
0. 1 t
N
2.5
Prodotto
Prodotto, risparmio, ammort
A
2.0
1.5
Ammortamento
1.0
B
E
0.5
Risparmio
C
0.0
0
1
2
3
4
5
Capitale
6
7
8
9
10
La variazione di k.

Qui k = 8 e perciò y = (8)0.3 = 2.
Il risparmio è il 30% del prodotto quindi,
S = s * Y(k) = 0.3* 2 = 0.6
Il punto C identifica questo livello del risparmio sulla
funzione del risparmio.


Possiamo dire che se il k fosse pari a 8, nel
periodo successivo il capitale per occupato
diverrebbe:
k + Δk = 8 + 0.6 = 8.6
La variazione di k.


Occorre però tener conto dell’ammortamento
Nel grafico questa è la linea nera tratteggiata. Se
k = 8, allora
AMMt = δ kt =0.1 * 8 = 0.8
(il punto B)
e il capitale per addetto si riduce di 0.8.
La variazione di k.

Nel complesso quindi il capitale varia di
k t k t 0. 6 0. 8 0. 2 0
 Ossia diminuisce


Questo esito è comune a tutti i punti che si trovano a
destra del punto E.
Oltre questo punto E l'ammortamento è
superiore all'investimento sostenibile dal
sistema economico
La variazione di k.



A sinistra del punto E invece il capitale
aumenta.
Per esempio, se kt=1 allora yt=1 e il risparmio è
S = 0.3
Dato che l'ammortamento sarebbe pari δkt=0.1,
la variazione del capitale è complessivamente
positiva 0.3 – 0.1 = 0.2 > 0
Lo stato stazionario

In E sono in equilibrio di lungo periodo
 Stato stazionario (steady state).


Al di fuori di E ho processo di aggiustamento
convergente => se sono al di fuori torno sempre
in E
La velocità di aggiustamento dipende dal
valore dei parametri
Stato stazionario


Quando siamo in stato stazionario lo stock di
capitale per addetto non varia più al trascorrere del
tempo
K t1
Kt
k  N  N 0
e quindi:
Kt
0 s
N
s  K

N

1
Kt

N
Stato stazionario

Quindi nell’esempio in stato stazionario:

 k  K  s

N
y  s

k
y


1
 s

1
1
 0. 3
0. 1
3
2
3 1.5 5. 2 #

31/2 1. 73 #
1
1
 s 3 #

Risparmio convergenza
1.
2.
3.
In equilibrio di lungo periodo, il capitale per occupato è
costante e quindi anche il prodotto per occupato è
costante. Questo significa ovviamente che la crescita è
nulla.
Dunque: il risparmio e l'investimento non influiscono
sulla crescita (nello stato stazionario)
Anche se in equilibrio di lungo periodo il risparmio non
influisce sulla crescita , esso influenza comunque il
livello del prodotto pro capite (vedi foglio excel)
Risparmio e convergenza

Per esempio, se la propensione al risparmio aumenta da
s=0.3 a s=0.4, il capitale per occupato di lungo periodo è 8
in quanto

k 

K
N

s

1
1

0.4
0.1
3
2
e il prodotto per addetto è 2 poichè

y 
s


1

0.4
0.1
1/2
2
8
Un aumento della propensione al risparmio
2.5
Prodotto, risparmio, ammort
A
2.0
1.5
Ammortamento
1.0
B
0.5
Risparmio
C
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Capitale
Un aumento della propensione al risparmio
Sentiero di aggiustamento di y verso il nuovo stato
stazionario dopo un'aumento di s da 0.3 a 0.4
Prodotto per occupato (Y/N)
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
Tempo
Sentiero di crescita verso il nuovo stato stazionario
Risparmio e consumo



Il risultato precedente mostra che il livello del prodotto e
lo stock di capitale pro capite aumentano con il
risparmio.
Questo può condurci alla errata conclusione che più
elevato è il valore di s, maggiore è il benessere
dell'economia
Per capire in cosa consiste l'errore, poniamo al centro
della nostra attenzione il valore del consumo per
occupato c=(C/N) in stato stazionario, ed il modo in
cui questo valore cambia al variare di s.
Risparmio e consumo

In stato stazionario il livello del consumo pro capite c* è
dato dalla differenza tra il reddito per occupato e
l'ammortamento (in equilibrio uguale al risparmio!) che
deve essere sostenuto per mantenere inalterato lo stock di
capitale

c 

c 
C
N
s


Y 
N

1
K
N

s

1
1
Risparmio e consumo

Notiamo subito che il consumo per individuo è pari a zero
quando s=0 ed s=1.

c 

s


1

s

1
1
Per semplificare, calcoliamo il valore di c* e della derivata
dc*/ds quando δ=0.1, e α=0.5.
Risparmio e consumo in s.s.


Otteniamo
c 
dc 
ds
s
0.1

1
0.1
0. 1
s
0.1

1 2s 
2

1
0.1
s
1 s
Risparmio e consumo in s.s.



Il consumo di stato stazionario è massimo e pari a
c_max*=2.5 quando il tasso di risparmio è
s_gold=0.5
difatti per questo valore l'inclinazione della curva è
pari a zero, ossia dc*(0.5)/ds=0.
La figura che segue è la controparte grafica di
questo risultato.
Consumo e risparmio in stato stazionario
c*
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.25
0.5
0.75
1
s
Progresso tecnologico e
crescita Cap. 12

Indicheremo lo stato della tecnologia con A.
Il progresso tecnologico è dato dal tasso di
crescita di A
gA 
A t1
At
1
Progresso tecnologico

E’ utile riscrivere questa
espressione come:
At1 
1 g A 
At

che caratterizza il modo in cui il
Progresso Tecnologico si
accumula.
Progresso tecnologico



Per semplificare, penseremo ad At come a un
modo per aumentare l'efficienza del lavoro
la rappresenteremo come un aumento del
numero dei lavoratori.
Dire che l'efficienza del lavoro raddoppia è
come dire che un lavoratore è in grado di
produrre quanto due lavoratori.
Progresso tecnologico

La funzione di produzione ha la forma

1
Y F
K, AN K AN 

Progresso tecnologico alla Harrod: il lavoro
è misurato in “unità efficienza”
Il modello completo
1.
Supponiamo che la popolazione cresca a
un tasso:
N t1
gN 
1
Nt
 N t1 
1 g N 
Nt #
1.
Per esempio, dell'1% l'anno.
Il modello
3.
Supporremo inoltre che il progresso tecnico
modifichi lo stato della tecnologia ad un tasso
At1 
1 g A 
At

per esempio del 2%.
Il modello



Esprimiamo adesso la funzione di produzione in
forma intensiva rispetto alle "unità efficienza" di
lavoro
 Dividiamo lo stock di capitale e il prodotto non
semplicemente per la forza lavoro ma per AN
Si ottiene:
Il modello




1
Y t K t 
At N t  

Yt  K t

At N t
At N t


y
k
t
t
Nota che il in unità
efficienza è 
y
t 
Yt
A tN t
e k
t 
Kt
A tN t
Il modello

Iniziamo dall'uguaglianza risparmioinvestimenti
I t S t

da cui come prima
K t1 K t K t sYt
Il modello

Che riscriviamo come:
K t1 sYt 
1 
Kt

E dividiamo per
trasformandolo in
unità efficienza:
At1 N t1
Il modello

otteniamo così l’equazione:
K t1
A t1 N t1

s
Yt
A t1 N t1

1
Kt
A N
t
1 t
1
Che riscriviamo come:
K t1
A t1 N t1

1


1
gA 
1
gN 
s
Yt
A tN t

1
Kt
A tN t
Il modello
sottraendo
K t1
A t1 N t1
K t1
A t1 N t1
Kt
A tN t
da entrambi i lati si ottiene
 AKtNt t  1g
Kt
A N
t t
1

1
gN 
A
1
1g 
1
gN 
A 
s
Yt
A tN t
s AYtNt t 
1 AKtNt t
 AKtNt t
Kt

g N g A  g N g A A tN t
L’equazione di moto
Kt
Se indichiamo con k

il capitale in unità efficienza
t
A tN t
Yt


e con y t  A tN t k
t il prodotto in unità efficienza,
e notiamo che g A g N 0
1


k t1 k t  1g 1g
A
N


sk t g N g A k
t
Lo stato stazionario


Nello stato stazionario il capitale in unità
efficienza K/AN deve rimanere costante al
trascorrere del tempo, diciamo al valore k*.
Affinchè ciò accada, occorre che il numeratore e il
denominatore del rapporto
k* = (K/AN)*
abbiano lo stesso ritmo di crescita.
Investimento

Di quanto cresce l'investimento in stato
stazionario?
 g N g A 
K


Ossia in unità efficienza
 g N g A 

K
AN


 
 g N g A 
k
Capitale (K)




In mancanza di progresso tecnico e crescita
dell'occupazione, mantenere il capitale immutato K
richiedeva un investimento pari all'ammortamento.
Ora però AN cresce al tasso gN+gA
Quindi nel lungo periodo, affinchè resti costante il
capitale in unità efficienza k* = (K/AN)*
 lo stock di capitale K* deve crescere allo stesso tasso
gN+gA
Prodotto Aggregato (Y)

Se in stato stazionario il capitale e
l'occupazione in unità efficienza crescono
allo stesso tasso gN+gA.
per l'ipotesi di rendimenti costanti di scala
anche il prodotto Y* deve crescere allo
stesso tasso gN+gA.
 
K e Y in unità efficienza

 I rapporti in unità efficienza
y* = (Y/(AN)* e
k*=(K/(AN)*
Non crescono nello stato stazionario

Questo configurazione di equilibrio della crescita
prende il nome di crescita bilanciata.
Crescita bilanciata
Tassi di crescita in stato stazionario
Y
g N g A
K
g N g A
AN
g N g A


y 
Y
AN

k

K
AN.


0
0
Esempio

Y*=10, K*=20, AN=10

(Y/AN)*=1, (K/AN)=2

Se gN=0.01 e gA=0.02 => gN+gA=0.03

Esempio







Y*+Y*(gN+gA)=Y*(1+gN+gA)
K*+K*(gN+gA)=K*(1+gN+gA)
AN+AN(gN+gA)=AN(1+gN+gA)
Y*(1+gN+gA)/AN(1+gN+gA) = Y*/AN= ͠y*
Δ͠y*=0
K*(1+gN+gA)/AN(1+gN+gA) = K*/AN=͠k*
Δk*=0
Dinamica del capitale e del prodotto in unità efficienza
Investimento necessario
( g N  g A   ) K / AN
Produzione
F ( K / AN )
*
 Y 


 AN 
D
Risparmio
sF ( K / AN )
E
A
B
C
~
k0
K / AN *
Crescita e risparmio




Questa conclusione ci conduce a un primo importante
risultato.
In stato stazionario il tasso di crescita della produzione Y* è
gN+gA.
 Dunque, il tasso di crescita della produzione non
dipende dal tasso di risparmio s.
Come vedremo fra poco, è però possibile che ciò accada
nel breve periodo.
Risparmio e convergenza


In stato stazionario il tasso di crescita della
 dipende
produzione in unità efficienza y
solamente dalla crescita demografica e dal
progresso tecnologico.
Tuttavia, come nel modello di accumulazione le
variazioni del tasso di risparmio
influenzano il livello del prodotto per unità di
lavoro effettivo!
Gli effetti di un aumento del tasso di risparmio
( g N  g A   ) K / AN
*
~
y1
~y *
0
B
A
F ( K / AN )
s1F ( K / AN )
E1
s0 F ( K / AN )
E0
~
k0
~
k1
Il tasso di crescita del
prodotto per occupato



Finora ci siamo concentrati sulla produzione
aggregata misurata in unità efficienza.
Per misurare però la variazione del tenore di vita
dobbiamo analizzare come varia il prodotto per
occupato (non il prodotto in unità efficienza!).
Dobbiamo perciò capire come cresce il rapporto
Y/N (non Y/AN) in stato stazionario.
Prodotto per occupato

In stato stazionario
Y cresce al tasso gN+gA
N cresce a gN

=> Y/N cresce a gA



In altre parole, nello stato stazionario il prodotto
per occupato (la produttività del lavoro) cresce al
tasso del progresso tecnico.
Prodotto per occupato

Ricorda che
g y 

g k 
1 
gA

dove y=(Y/N) e k=(K/N). Quindi in stato
stazionario

gy

g k
Prodotto per occupato

Possiamo quindi scrivere
g y  1 g A
g y  

1
gy 
gA
1 


gy
g A
#
Gli effetti di un aumento del tasso di risparmio
sul prodotto procapite y=Y/N (logaritmo)
sentiero associato ad s1
BB
ln(y)
sentiero di aggiustamento
AA
inclinazione gA
sentiero associato ad s0
t
tempo