Francesco A. Costabile
Dipartimento di Matematica – Università della Calabria
1
Il calcolatore, opportunamente utilizzato, risulta:
• Supporto valido per l’insegnamento apprendimento della Matematica;
• strumento per l’interpretazione della realtà
sensibile, attraverso l’interazione con la
Matematica;
• strumento di lavoro anche in piccole attività
quotidiane sempre in connessione con la
Matematica;
2
• mediatore in situazioni di apprendimento;
• stimolo per l’autocorrezione e per l’uso di
un linguaggio formale e rigoroso;
• strumento per la visualizzazione di taluni
nostri processi mentali, quindi, uno
stimolo per lo sviluppo di capacità logiche,
creative, intuitive e deduttive.
3
Obiettivi formativi
 Capire/approfondire taluni concetti fondanti
della Matematica;
 Facilitare il collegamento Matematica – realtà
sensibile, ovvero staccare la Matematica dalla
lavagna;
 Usare il computer per eseguire calcoli, grafici,
diagrammi, figure di uso comune in problemi
matematici;
 Avere consapevolezza
delle potenzialità
programmatorie del computer.
4
“Opportunamente utilizzato” significa:
deve essere usato in connessione con un
ambiente di programmazione utile allo
scopo,
nella
fattispecie
adeguato
all’insegnamento - apprendimento della
Matematica relativamente alla fascia d’età
scolare interessata.
Ne scaturiscono i seguenti:
5
Esempio 1
Costruzione del prisma retto a base esagonale
Supposto che la classe (biennio della
scuola secondaria superiore) abbia la
definizione del prisma retto a base
esagonale, come momento di ulteriore
approfondimento e/o di verifica se ne
propone la costruzione in ambiente
virtuale,
attraverso
l’ambiente
di
programmazione MatCos 2.x
6
Costruzione del prisma retto a base esagonale
I passo: ricerca di una strategia risolvente
Si clicca su Spazio 3D per prendere visione dei
comandi disponibili che possono essere utili allo
scopo. Dopo attento esame, sotto la guida
dell’insegnante, si acquisisce che:
1) Lo Spazio 3D di MatCos richiede le tre dimensioni
(lunghezza, larghezza, altezza) per rappresentare i
punti;
2) Esistono i comandi: Segmento(punto,punto);
faccia(punto, punto, …);
7
Costruzione del prisma retto a base esagonale
I passo: ricerca di una strategia risolvente
La strategia risolvente, dunque, può essere quella di
determinare, attraverso le dimensioni, i vertici del
poliedro e conseguentemente usando il comando
faccia(punto, punto, …); rappresentare le diverse
facce che lo compongono.
Scaturisce, quindi, un sottoproblema tutto
matematico:
Determinare le coordinate, in un riferimento
cartesiano, (dimensioni) dei vertici del prisma retto
a base esagonale.
8
Costruzione del prisma retto a base esagonale
Determinare le coordinate (dimensioni) dei vertici del prisma
retto a base
Tale sottoproblema va, ulteriormente,
precisato:
si decide, per es., che la base esagonale
inferiore sia posta ad altezza zero, ovvero in
altro linguaggio, sul piano xy.
9
Costruzione del prisma retto a base esagonale
Determinare le coordinate (dimensioni) dei vertici del prisma
retto a base
Individuati i vertici di tale base e denominati con A, B, C,
D, E, F, facilmente, successivamente, si ricavano quelli
della base superiore, la quale dovendo stare su un piano
parallelo ad altezza, ad esempio, h basterà lasciar fisse le
due dimensioni dei vertici trovati ed introdurre l’altezza h,
otteniamo così i vertici A1, B1, C1, D1, E1, F1.
Le facce laterali sono, poi, facilmente determinate dai
rettangoli ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, DEE1D1, EFF1E1, FAA1F1
nei rispettivi piani.
10
Costruzione del prisma retto a base esagonale
Il problema si è, dunque, ricondotto a
determinare le coordinate dei punti A, B, C, D,
E, F, vertici di un esagono in un piano, che è di
per sé interessante.
Esso
può
essere
facilmente
risolto
considerando la circonferenza con centro
nell’origine degli assi, circoscritta all’esagono e
applicando proprietà del triangolo equilatero,
unitamente alle simmetrie della circonferenza.
11
Costruzione del prisma retto a base esagonale
Se r è il raggio della circonferenza si trova:
A(r,0,0),
B(r/2,r*Radice(3)/2,0),
C(-r/2,r*Radice(3)/2,0), D(-r,0,0),
E(-r/2,-r*Radice(3)/2,0),
F(r/2,r*Radice(3)/2,0).
Tornando al prisma le coordinate dei vertici A1 B1 C1
D1 E1 F1 si determinano sostituendo l’altezza 0 con h in
A, B, C, D, E, F.
A questo punto si può scrivere facilmente il codice
MatCos nella maniera più generale possibile, senza
alcuna preliminare “teoria della programmazione”
12
Costruzione del prisma retto a base esagonale
MC1
Rifcart3D;
r=legginum("raggio"); h=legginum("altezza");
A=Punto3D(r,0,0); B=Punto3D(r/2,r*Radiceq(3)/2,0);
C=Punto3D(-r/2,r*Radiceq(3)/2,0);
D=Punto3D(-r,0,0); G=punto3D(-r/2,-r*Radiceq(3)/2,0);
F=Punto3D(r/2,-r*Radiceq(3)/2,0);
Coloreriempimento(255,0,255);
Faccia(A,B,C,D,G,F);
A1=Punto3D(r,0,h); B1=Punto3D(r/2,r*Radiceq(3)/2,h);
C1=punto3D(-r/2,r*Radiceq(3)/2,h);
D1=Punto3D(-r,0,h); E1=Punto3D(-r/2,-r*Radiceq(3)/2,h);
F1=Punto3D(r/2,-r*Radiceq(3)/2,h);
Faccia(A1,B1,C1,D1,E1,F1);
ColoreRiempimento(255,128,255);
Faccia(A,B,B1,A1); Faccia(B,C,C1,B1);
Faccia(C,D,D1,C1); Faccia(D,G,E1,D1);
Faccia(G,F,F1,E1); Faccia(F,A,A1,F1);
13
Costruzione del prisma retto a base esagonale
Miglioramenti
del
codice
sono,
ovviamente, possibili ed auspicabili.
L’argomento può essere ripreso nel
corso del triennio, come applicazione di
concetti trigonometrici e l’idea può
essere estesa alla costruzione dei vari
poliedri, inclusi quelli platonici.
14
Considerazioni didattiche
La costruzione del prisma retto in ambiente virtuale
ha funzionato come specchio per le allodole ,
infatti ci ha consentito di svolgere un’ampia attività
matematica su argomenti curriculari, anche se in
un contesto non usuale, ancora, nella pratica
didattica della nostra Scuola secondaria.
Da questo punto di vista l’attività è stata un
approfondimento ed una verifica. Il calcolatore, supportato
dall’ambiente MatCos, ha svolto le funzioni dianzi
annunciate, in particolare quelle relative ai punti 1), 2), 4),
5), 6); così come da tutta l’attività traspaiono gli obiettivi
formativi sopra citati.
15
L’ambiente MatCos
 Linguaggio modulare fortemente orientato
alla Matematica;
 intermedio tra un linguaggio generale ed un CAS;
 utilizza comandi specifici relativi a precisi concetti
matematici;
 è in lingua italiana con una sintassi molto semplice
con istruzioni molto vicine al linguaggio naturale e
a quello matematico;
 ogni comando ha parametri essenziali (relativi) al
concetto matematico che si vuole rappresentare;
 esecuzione “passo – passo”
16
Esempio 2
o
Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede
L’idea di Archimede è tanto intuitivamente semplice quanto
profonda matematicamente al punto da essere ancora oggi
presa ad esempio per ogni metodo di approssimazione.
Pensò di approssimare la lunghezza della circonferenza con i
perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti alla
circonferenza. Senza la conoscenza del simbolismo moderno
e senza il contributo di alcun strumento di calcolo, Archimede
riuscì a considerare poligoni regolari di 6, 12, 24, 48, 96 lati
giungendo alla diseguaglianza:
10
1
3
  3
71
7
17
Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede
Ad esempio il seguente codice MatCos riproduce
l’esagono regolare inscritto e circoscritto alla
circonferenza .
Esso è basato sulla suddivisione della
circonferenza in sei archi uguali, tramite la
rotazione di un suo punto intorno al centro, di
60° e sulla costruzione delle tangenti in questi
punti.
18
Esagono inscritto e circoscritto ad una circonferenza
MC2
P=punto; r=legginum("raggio"); c=circ(P,r);
A=lista; B=lista; D=lista; A(1)=punto_su(c);
per (i da 2 a 6) esegui;
A(i)=ruota(A(i-1),P,60,antiorario);
fine;
ColorePenna(128,0,64); poligono(A);
segmento(A(1),P); segmento(A(2),P);
StilePenna(5); r=retta(a(1),a(2)); s=perpendicolare(r,p);
h=intersezione(r,s); B(1)=intersezione(c,s); t1=tangente(C,B(1));
per (i da 2 a 6) esegui;
b(i)=ruota(b(i-1),P,60,antiorario);
t2=tangente(c,b(i)); t3=tangente(c,b(i-1));
d(i-1)=intersezione(t2,t3);
cancella(t2,t3);
fine;
n=distanza(d(1),d(2));
stampa(“il lato dell’esagoni circoscritto è" , " ",n);
t4=tangente(c,b(6)); d(6)=intersezione(t1,t4);
cancella(r,s,t1,t4); ColorePenna(128,0,64); poligono(d);
19
Il calcolo di ∏ con il
metodo di Archimede
o
Lavorando quasi sperimentalmente con questo
programma si cerca di intuire la relazione tra il raggio
ed il lato dell’esagono inscritto e tra questo ed il lato
del poligono circoscritto.
Infine, con semplici considerazioni sul triangolo
equilatero si dimostra che il raggio è uguale al lato
dell’esagono inscritto e con l’uso dei teoremi di
Pitagora e di Euclide si trova che il lato L dell’esagono
circoscritto è legato al lato l dell’esagono inscritto
dalla relazione:
L=2*l/Radice(4-l^2)
20
Il calcolo di ∏ con il
metodo di Archimede
o
Con l’esagono si trova perciò la diseguaglianza:
3< ∏ <3.4
Si passa quindi ad esaminare il dodecagono regolare
inscritto e circoscritto, procedendo allo stesso modo
e tenendo conto che questa volta l’angolo di
rotazione è di 30°.
Si ha il seguente codice MatCos:
21
Dodecagono regolare inscritto e circoscritto ad una circonferenza
P=punto; r=legginum(“raggio”); c=circ(P,r);
A=lista; B=lista; D=lista; A(1)=puntoacaso_su(c);
per (i da 2 a 12) esegui;
A(i)=ruota(A(i-1),P,30,antiorario);
fine;
m=distanza(a(2),a(3)); stampa(m*6/r);
poligono(A);
segmento(A(1),P); segmento(A(2),P);
r1=retta(a(1),a(2)); s=perpendicolare(r1,p);
h=intersezione(r1,s);B(1)=intersezione(c,s);
t1=tangente(C,B(1));
per (i da 2 a 12) esegui;
b(i)=ruota(b(i-1),P,30,antiorario);
t2=tangente(c,b(i)); t3=tangente(c,b(i-1));
d(i-1)=intersezione(t2,t3); cancella(t2,t3);
fine;
m1=distanza(d(2),d(3)); stampa(m1*6/r);
t4=tangente(c,b(12)); d(12)=intersezione(t1,t4);
poligono(d);
MC3
22
Il calcolo di ∏ con il
metodo di Archimede
o
Sperimentalmente, il software ci dà la diseguaglianza:
3.1< ∏ <3.2
Teoricamente, questa volta non si riesce a dare la
relazione tra il raggio della circonferenza ed il lato del
poligono inscritto; tuttavia, con il solo uso del
teorema di Pitagora si dimostra una relazione tra il
lato dell’esagono, le e quello del dodecagono, ld :
ld =Radiceq(2-radiceq(4- le ^2))
23
Il calcolo di ∏ con il
metodo di Archimede
o
Per il lato del dodecagono circoscritto in modo
analogo si trova la relazione con il lato del
dodecagono inscritto, anzi è la stessa di prima.
Poiché il lato dell’esagono inscritto è pari al raggio
della circonferenza, posto questo per semplicità
uguale ad 1 si ha per il dodecagono la
diseguaglianza:
6  2- 3 < <12  2- 3 / 2+ 3
24
Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede
Si può, ora, generalizzare questo discorso ai
poligoni regolari di n e rispettivamente 2n lati,
dimostrando i teoremi:
Teorema 1
Se ln (n=3,4,5,…) indica il lato del poligono
regolare di n lati inscritto nella circonferenza di
raggio 1 (per comodità), allora il lato l2n del
poligono regolare inscritto di 2n lati è dato da:
l2 n  2  4  ln2
25
Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede
Teorema 2
Sia Ln il lato del poligono regolare di n lati
circoscritto alla circonferenza di raggio 1 ed ln il
lato del poligono regolare con lo stesso numero di
lati inscritto, allora vale la seguente relazione
Ln 
2ln
4  ln2
26
Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede
Combinando questi due teoremi si ha la diseguaglianza:
nln
 
2
nln
4  ln2
Su di essa si può scrivere il seguente codice MatCos:
27
MC4
Algoritmo di Archimede
n=6; L=1; eps=LeggiNum("precisione voluta");
d=10;
Esegui Finquando (d>eps);
Pinf=n*L/2; Psup=n*L/RadiceQ(4-L^2);
d=(Psup-Pinf);
n=n*2;
L=radiceq(2-radiceq(4-L^2));
Fine;
Stampa("per n= ",n, " il valore approssimato per difetto è ",pinf);
Stampa("per n= ",n, " il valore approssimato per eccesso è
",psup);
Stampa("Pigreco è compreso tra ", Pinf, " e ", Psup);
28
Assumendo
  103
si ottengono i seguenti valori in output :
La precisione può aumentare fino ad assumere
così, i seguenti valori in output :
  1013ottenendo,
29
Per   1014 si ha un risultato sbagliato, non già per
errori nell’algoritmo o nel codice MatCos, ma a causa
dell’errore di arrotondamento e della sua
propagazione. Si ha, così, l’opportunità di introdurre ed
approfondire un argomento importante quale è
l’errore di arrotondamento, dovuto alla natura dei
numeri ed all’uso dell’aritmetica finita. Infatti,
sostituendo la formula
l2 n  2  4  ln2
con l’altra equivalente
l2 n 
ln
2  4  ln2
30
il programma precedente dà buoni risultati anche per   1014
cioè fornisce 15 cifre esatte.
Nel corso del triennio è opportuno riprendere il
calcolo di π dopo che si sono acquisite le nozioni
fondamentali di trigonometria e magari la
formula di Taylor, se si vuole uno studio più
approfondito dell’errore.
31
Infatti, applicando il Teorema dei Seni e note
identità trigonometriche, il lato del poligono
regolare inscritto nella circonferenza di raggio 1 è:
ln  2sin
e quindi:

n
pn nln


 n sin
2
2
n
32
Tenendo conto dello sviluppo di Taylor - McLaurin della
funzione sin x si ha:
  1   3 1    5

pn
 n         .........
2
 n 3!  n  5!  n 

da cui:
pn

 O  n 2 
2
che fornisce lo sviluppo asintotico dell’errore.
Infine, ricordando che per x>0
x3
sin x  x 
6
si può ottenere la maggiorazione dell’errore:
3
 22 
pn  3  7  5.17
  2 
 2
2
2 6n
6n
n
33
Combinando la
pn nln


 n sin
2
2
n
3
 22 
pn  3  7  5.17
con la    2 
 2
2
2 6n
6n
n
si può ottenere un algoritmo con stima a-priori
dell’errore, implementabile facilmente in MatCos dal
momento che esiste il comando sin(α) con α assegnato
in gradi.
34
MC5
n=legginum("numero lati poligono iniziale");
eps=legginum("errore richiesto");
d=10;
p=n*sen(180/n);
esegui finquando (d>eps);
n=n*2;
p=n*sen(180/n);
d=5.17/(n^2);
fine;
stampa("il valore approssimato è ", p);
Stampa("il numero di lati è ", n);
Stampa("l'errore effettivo è ", pi-p);
Stampa("l'errore stimato è ", d);
35
Per molti di noi, di sicuro per me, p-greco, nel
corso della Scuola secondaria, è stato inizialmente
il “numero fisso” della circonferenza e
successivamente la lettera dell’alfabeto greco che
a volte assumeva il valore 3.14 e altre 180°.
Al contrario, oggi, ci sono le condizioni per
svolgere intorno a questo fatidico numero
un’ampia attività matematico-informatica e a vari
livelli di apprendimento,
attuale
e non
tecnicistica.
36
Esempio 3
Funzioni reali di variabili reali
Comandi dell’ambiente :MatCos:
Graficofunz; consente di tracciare il grafico di una
funzione assegnata, fissato il riferimento cartesiano;
Valutafunz;
consente di calcolare il valore della
funzione in un punto assegnato;
Fzero; consente di calcolare lo zero di una funzione,
supposto esistente in un dato intervallo, con una
precisione assegnata;
Derivatafunz; consente il calcolo analitico della
derivata di una funzione;
37
Grafico di una funzione e della sua derivata
Rifcart;
f=leggifunz;
graficofunz(f);
g=derivatafunz(f);
stampafunz(g);
colore(128,12,128);
graficofunz(g);
MC6
38
Funzioni reali di variabili reali
L’importanza didattica di un tale programmino è
evidente: si possono illustrare in un’infinità di esempi
le proprietà qualitative delle funzioni ed i relativi
legami col la funzione derivata.
Per quanto attiene proprietà quantitative, ovvero
valori in punti particolari si può fare uso del comando
valutafunz unitamente alle istruzioni generiche, in
particolare condizionale e ciclo nelle due forme
possibili.
39
Funzioni reali di variabili reali
Ad esempio si possono costruire programmi che
calcolano i valori della funzione in un intorno
sufficientemente ristretto di un punto con
esclusione del punto stesso, in cui la funzione
stessa può non essere definita e, con i numeri
davanti, si può illustrare la definizione epsilondelta e farne apprezzare la profondità.
Il seguente programma raggiunge lo scopo:
40
Senx/x
Funzioni reali di variabili reali
f=Leggifunz("Introdurre la funzione");
MC7
x0=Legginum("Punto limite");
n=Legginum("Num pti in cui valutare la funzione");
ms=matrice(n,2); md=matrice(n,2);
h=1/n; xs=x0-n*h; xd=x0+n*h; rifcart;
i=1;
esegui finquando (i<=n);
ys=valutafunz(f,xs); ms(i,1)=xs; ms(i,2)=ys;
punto(xs,ys);
xs=xs+h;
yd=valutafunz(f,xd);
md(i,1)=xd; md(i,2)=yd; punto(xd,yd);
xd=xd-h;
i=i+1;
fine;
stampamatr(ms); stampamatr(md);
41
Calcolo dell’integrale definito
Per il calcolo dell’integrale definito,
ovvero di aree, si possono creare dei
semplici programmi che calcolano le
somme integrali nelle diverse forme e fare
intuire quella che sarà, poi, la definizione
rigorosa ; ad esempio il seguente codice è
adatto allo scopo:
42
Calcolo dell’integrale definito
MC7bis
f=leggifunz; rifcart; graficofunz(f);
a=legginum;b=legginum;n=legginum;
h=(b-a)/n; x=vettore(n-1); y=vettore(n-1); ColorePenna(255,0,0);
segmento(punto(a,0),punto(a,valutafunz(f,a)));
segmento(punto(b,0),punto(b,valutafunz(f,b)));
eps=legginum;
s=0; s=s+h/2*(valutafunz(f,a)+valutafunz(f,b));
per(i da 1 a n-1)esegui;
x(i)=a+i*h;
y(i)=valutafunz(f,x(i)); ColorePenna(255,0,0);
segmento(punto(x(i),0),punto(x(i),y(i)));
s=s+h*(valutafunz(f,x(i)));
fine;
stampa(n, " ",s); s1=0; xx=vettore(2*n-1); yy=vettore(2*n-1);
hh=(b-a)/(2*n); s1=S1+hh/2*(valutafunz(f,a)+valutafunz(f,b));
per (i da 1 a 2*n-1) esegui;
xx(i)=a+i*hh; yy(i)=valutafunz(f,xx(i)); ColorePenna(255,0,0);
segmento(punto(xx(i),0),punto(xx(i),yy(i)));
s1=s1+hh*(valutafunz(f,xx(i)));
fine;
stampa(2*n, " ",s1);
43
Calcolo dell’integrale definito
Per il calcolo effettivo del valore di un integrale
definito, specialmente per alcuni istituti tecnici,
c’è il comando MATCOS:
integrale(funz,a,b,ep);
che fornisce il valore dell’integrale della
funzione, nell’intervallo a,b a meno della
tolleranza ep.
44
Esempio 4
Elementi di geometria analitica
Nello studio/apprendimento della Geometria
analitica, il calcolatore supportato dall’ambiente
MATCOS offre varie opportunità di chiarimento e
quindi di approfondimento/verifica.
Infatti la rappresentazione dei punti nel piano
cartesiano richiede l’assegnazione delle coordinate
e viceversa di un punto arbitrario nel piano è
possibile stampare le coordinate, il tutto con il
semplice e intuitivo programmino:
45
Rifcart;
MC8
P=punto(2,-3);
Q=punto_a_caso;
as=Q.x;
or=Q.y;
Stampa(“l’ascissa di Q è”,as,”l’ordinata di Q è”,or);
46
Passando all’equazione della retta, uno dei primi
concetti fondanti della matematica del triennio,
l’ambiente MATCOS con il comando
Punto_su (Retta);
consente un’attività sperimentale propedeutica
all’acquisizione del concetto e alla dimostrazione
rigorosa dell’equazione della retta.
Infatti è possibile verificare, entro limiti di
approssimazione, la relazione algebrica lineare
esistente tra le coordinate dei punti di una stessa
retta, ad esempio il semplice programmino seguente è
adeguato allo scopo:
47
Rifcart;
P=punto(2,3);
Q=Punto(-2,-1);
r=retta(P,Q);
T=puntoacaso_su(r);
a=T.x;
b=T.y;
Stampa(“L’ascissa di T è ”,a,”L’ordinata di T è ”,b);
48
Si possono, poi, illustrare graficamente, con una
moltitudine di esempi in tempo reale, il significato del
coefficiente angolare e dell’intercetta, ottenendo il fascio
di rette sia proprio che improprio (rette parallele).
Per quanto attiene le coniche il discorso è ancora più
interessante.
Tradizionalmente la prassi didattica nella scuola italiana
su questo argomento segue due vie che dovrebbero
essere una il proseguimento dell’altra ma che, invece,
spesso appaiono separate. Infatti, alcune volte si inizia il
discorso affermando che le coniche sono le curve
intersezioni di un piano con una superficie conica e a
seconda dell’inclinazione del piano sull’asse si ha
un’ellisse, un’iperbole o una parabola.
49
Il giorno successivo, magari … a causa della
fretta, si prosegue: si chiama ellisse il luogo dei
punti …… e si buttano giù una marea di calcoli ….
La relazione concettuale con quanto affermato il
giorno prima evidentemente non c’è, né teorica
né “sperimentale”; quindi una lacuna
didatticamente notevole.
Altre volte, invece, si parte direttamente dalla
seconda parte, trascurando sia aspetti storici
che culturali; ma neanche didatticamente
questa seconda via è molto valida, perché a
molti studenti sfugge la generazione di questo
luogo e quindi la sua importanza.
50
Si può avere, invece, con il calcolatore un valido supporto
per migliorare didatticamente questa presentazione.
Ad esempio con l’ambiente MatCos , se si decide di
partire dalla definizione come luogo di punti, si può
facilmente implementare un algoritmo che rappresenta un
certo numero di punti, che hanno la proprietà geometrica
del luogo e poi determinarne l’equazione cartesiana come
naturale completamento. Il programma seguente è in grado
di visualizzare un’ellisse o un’iperbole a seconda che si
scelga un punto interno e esterno alla circonferenza;
naturalmente preliminarmente si dimostra, tra l’altro con
proprietà geometriche molto semplici, che i punti
rappresentati hanno l’una o l’altra caratteristica.
51
C=punto;
r= legginum("raggio della circonferenza"); MC9
c1=circ(C,r);
stampa("scegliere un punto F interno alla
circonferenza");
F=punto;
ColorePenna(0,255,0);
Per ( i da 1 a 200 ) esegui;
A=puntoacaso_su(c1);
s=segmento(A,F);
M=punto_medio(s);
af=retta(A,F);
ac=Retta(A,C);
P=intersezione(perpendicolare(af,m),ac);
cancella(af,ac,s,m,A);
Fine;
52
Se invece non si vuole rinunciare all’introduzione
storica, ovvero il riferimento alla superficie conica,
al momento in Matcos esiste un robusto
programma che genera la superficie conica,
l’intersezione con un piano e quindi la curva
sezione e si può verificare la proprietà focale. In
questo modo la lacuna didattica di cui sopra viene
quantomeno attutita.
A breve, creeremo un comando MatCos diretto
che abbia in input i parametri della superficie e del
piano, con il relativo angolo di inclinazione.
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Esempio 5
Elementi di statistica e probabilità
Per gli argomenti di Statistica che riguardano
la Scuola Secondaria MATCOS dispone dei
comandi diretti
per la costruzione dei
diagrammi
più
comuni:
istogramma,
diagramma a strisce, diagramma circolare,
nonché per il calcolo degli indici più
notevoli:medie, moda, mediana, scarto
quadratico medio, indice di Pearson, varianza,
covarianza, retta di Regressione…
54
Elementi di statistica e probabilità
Ad esempio il seguente programmino traccia i
diagrammi e gli indici di centralità di una
distribuzione di frequenze assegnate:
n=legginum(“numero delle frequenze”);
MC10
v=vettore(n);
leggivett(v);
istogramma(v);
diagstr(v); diagcirc(v);
m=media(v); m1=moda(v);
m2=moda(v);
stampa(“la media è”,m,”la mediana è”,m1,”la
moda è”,m2);
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Per gli elementi di Probabilità, allo stato,
non ci sono comandi specifici ma con i
comandi generici:
numero_a _caso(n,m);
e
int(x);
è possibile creare programmini che simulino
i primi classici esempi di approccio al
concetto frequenti sta di Probabilità, quali
testa-croce, lancio del dado,ago di Buffon
etc.
56
Esempio 6
Matematica e realtà sensibile
In questo contesto il calcolatore, unitamente ad un
ambiente di programmazione è di fondamentale
importanza per esaltare il rapporto intrinseco
Matematica - Realtà sensibile .
L’ambiente MatCos si è rivelato adeguato, a
livello di scuola secondaria, per tale problematica ;
infatti numerosi sono state le proposte fatte agli
studenti, ma anche quelle, autonomamente, fatte
dagli studenti; alcuni esempi sono di seguito
riportati.
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Il logo di una nota casa automobilistica
Il MODELLO REALE
Seguirà l’osservazione del logo.
PREREQUISITI
Si richiede la conoscenza di tutte le proprietà
ed i concetti geometrici di volta in volta richiamati.
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© Annarosa Serpe - Gela 2006
Si mostra poi l’oggetto reale ed in un contesto
di problem solving, con una strategia didattica
di tipo maieutico, si stimola la discussione.
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© Annarosa Serpe - Gela 2006
DISAMINA DELL’OGGETTO REALE
1. L’oggetto a quali figure geometriche fa pensare ?
2. Proviamo a rilevare la misura del lato del rombo e
quella della diagonale minore.
3. Analizzate la posizione dei due rombi rispetto al
terzo.
60
Prime considerazioni
• l’oggetto fisico esaminato “ricorda”
tre rombi di cui due potrebbero
essere la rotazione dell’altro (il
primo) intorno ad un suo vertice di
circa 120° in senso orario e
antiorario;
• nel rombo il lato è “quasi uguale” alla
diagonale minore.
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IL MODELLO MATEMATICO
L’esame del modello reale conduce alla formulazione
di un “plausibile” modello matematico; quindi si può
ipotizzare che:
a) la diagonale minore del rombo sia uguale al
lato;
b) i rombi 2 e 3 si ottengono dal rombo 1 che
ruota attorno ad un suo vertice di circa 120°
in senso orario, e rispettivamente, antiorario.
62
Di conseguenza, ogni rombo è formato da
due triangoli equilateri 1' ed 1" con un lato
in comune disposti su semipiani opposti
rispetto alla retta su cui giace tale lato.
63
ALGORITMO RISOLVENTE
1. disegna un segmento P1P3 (dato iniziale);
2. traccia la circonferenza di diametro P1P3 e centro P1
(Assioma del compasso);
3. traccia la circonferenza di diametro P1P3 e centro P3
(Assioma del compasso);
4. i punti d’intersezione delle due circonferenze sono i
vertici P2 e P4 dei due triangoli equilateri e quindi del
rombo P1P2P3P4 (proprietà della circonferenza );
5. segmenti P1R e P3R, con R punto medio del segmento
P1P3 (Assiomi della riga).
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Per ottenere il prototipo completiamo l’algoritmo con
la rotazione del rombo P1P2P3P4:
6. ruotare il rombo 1 di 120° attorno al centro P4
in senso orario;
7. ruotare il rombo 1 di 120° attorno al centro P4
in senso antiorario.
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Listato programma
Commento
O=Punto;
re riempimento
Disegna il Assegna il punto O nel piano euclideo
Disegna la retta numerica di origine O e lunga 30 unità
Assegna il punto P1 sulla retta r
Assegna il punto P3 sulla retta r
Disegna il segmento P1 P3
Misura la distanza d del segmento P1 P3
Disegna la circonf. di centro P1 e raggio d
Disegna la circonf. di centro P3 e raggio d
Disegna i punti d’intersezione P2 e P4 delle circonf. c1 e c2
Cambia colore
Cambia stile
Cambia colopoligono di punti P1 P2 P3 P4
Ruota il rombo r1 intorno al centro P4 di 120° in senso
orario
Ruota il rombo r1 intorno al centro P4 di 120° in senso
antiorario
r=RettaNum(O,30);
P1=Punto_su(r);
P3=Punto_su(r);
s1=Segmento(P1,P3);
d=Distanza(P1,P3);
c1=Circ(P1,d);
c2=Circ(P3,d);
P2=Intersezione(c1,c2);
P4=Intersezione(c1,c2);
ColorePenna(0,0,0);
SpessorePenna(2);
ColoreRiempimento(255,0,0);
t1=Poligono(P1,P2,P3,P4);
Cancella(c1,c2,s1,r,o);
t2=Ruota(t1,P4,120,orario);
MC11
t3=Ruota(t1,P4,120,antiorario);
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Confronto del prototipo con il modello reale
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Dal confronto emergeranno le “diversità” che, in
generale, possono riscontrarsi tra le due realtà.
Inoltre, l’insegnante richiederà il calcolo della misura
della diagonale maggiore del rombo.
L’immediata applicazione del teorema di Pitagora
porta a:
dM  d 3
e quindi.....
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Lavori autonomi degli studenti
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CONCLUSIONI
A conclusione di questo excursus, si può dire che il
calcolatore,
unitamente ad un ambiente di
programmazione, costituisce un’enorme potenziale
da sfruttare per l’apprendimento e l’uso della
matematica nell’attuale momento storico-sociale.
Il voler volutamente ignorare questa opportunità ci
sembra fuori del comune buon senso, oltre che
voler ignorare le recenti conquiste scientificotecnologiche dell’umanità.
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