TRASFORMATORE
(Parte II)
Allievi Ing. Navale
Versione aggiornata al 11/11/ 2013
Equazioni di base del trasformatore
nel dominio del tempo
LKT per i due
avvolgimenti
d p
di1
v1  r1  i1  l 1
 N1
dt
dt
d p
di2
v2  r2  i2  l 2
 N2
dt
dt
Legge di Ampére
R   p  N1i1  N 2i2
Diversi modelli del trasformatore
reale di crescente complessità
• Modello 1: r1  r2  0 , l 1  l 2  0 , ferro
ideale, privo di perdite con riluttanza R
finita e costante;
• Modello 2: r1  r2  0 , l 1  l 2  0 , ferro
reale con perdite;
• Modello 3: avvolgimenti reali ( r1, r2  0 ),
loro accoppiamento magnetico non
perfetto ( l 1 , l 2  0), ferro reale con
perdite, rete equivalente a T.
Modello 1 del trasformatore reale
• Avvolgimenti ideali ( r1  r2  0)
• Accoppiamento perfetto ( l 1  l 2  0 )
• Ferro ideale, privo di perdite con riluttanza
R finita e costante.
Modello 1
Equazioni di base:
V1  jN1   p
V2  jN 2   p
R   p  N1  I1  N 2  I 2
Riluttanza nel modello 1 (finita e
costante)
La riluttanza è somma del
contributo del ferro e dei
traferri
4
R

 fe  S  0  S
l fe
B
1
R
dl
p S
Il ferro ha permeablità
cost.→caratterist. B-H
lineare→area nulla del
ciclo d’isteresi →perdite
per isteresi nulle;
analogamente nulle le
perdite per correnti di
Foucault
Funzionamento a vuoto
avvolgim. second. aperto
i2  0
i10
v1
Il sistema può essere considerato come un
bipolo, la cui caratteristica è:
V1  f ( I 10 )
Modello 1: funzionamento a vuoto
avvolgim. second. aperto
Equazioni
V1  jN1   p
 p  N1  I 10 / R

V1
 I 10
jL1
R   p  N1  I 10
V1  j( N / R) I 10  jL1  I 10
2
1
dove
L1  N1 / R
2
Funzionamento a vuoto, confronto
con il trasformatore ideale
La legge di Ampére nel trasformatore ideale
fornisce:
1
I1   I 2
a
A vuoto
I 2  0 → anche
I1  0
→ Il trasformatore ideale a vuoto costituisce un
aperto ideale.
%
Funzionamento a vuoto, confronto con
il trasformatore ideale
Il valore del flusso è imposto dalla
tensione applicata:
V1  jN1   p
Il valore finito del flusso, pur in assenza di
correnti i1 e i2 finite è spiegabile con il
fatto che si è supposta nulla la riluttanza R
R   p  N1  I1  N 2  I 2

0
p 
0
Modello 1 del trasformatore reale;
funzionamento sottocarico
Il flusso  p non varia rispetto al
funzionamento a vuoto essendo sempre
imposto dalla tensione v1 :
V1  jN1   p
Il flusso è pertanto costante al variare del
carico del trasformatore
%
Modello 1 del trasformatore reale;
funzionamento sottocarico
R   p  N1  I1  N 2  I 2 
Legge di Ampére
N1
)
N2
R   p / N1  I1  I 2 / a (a 

V1
 I1  I '2  I 10
jL1

1 R
 ( jN1  p )  I1  I 2 / a
2
j N1
dove
L1  N / R
2
1
I '2  I 2 / a
LKT V1  jN1   p

V1
V2
a
V2  jN 2   p
Modello 1, rete equivalente del
trasformat. reale sotto carico
V1
V2
a
I '2
1

a
I2
V1
 I1  I '2  I 10
jL1
V1  jN1   p
V2  jN 2   p
R   p  N1  I1  N 2  I 2
Modello 1, rete equivalente del
trasformat. reale sotto carico
Se si divide I e II
membro della legge di
Ampere per N 2 si
ottiene un’altra rete
equiv. La corrente
I ' '1   a I 1
L2  N / R
2
2
rappresenta la
corrente I 1
dal lato 2
vista
Modello 2 del trasformatore reale
• Avvolgimenti ideali ( r1  r2  0)
• Accoppiamento perfetto ( l 1  l 2  0 )
• Ferro reale con perdite
Comportamento reale del ferro
B è sinusoidale, le
correnti no. Infatti:
v1  2V1  sin( t )
v1  N1
d p
dt
R   p  N1i1  N 2i2
1
R
dl
p S
Comportamento reale del ferro
L’area del ciclo
rappresenta l’energia di
magnetizzazione per
unità di volume dissipata
in calore. Una relazione
empirica fornisce la
potenza dissipata:
Pi  k   2p
K cost del materiale
proporzionale alla
frequenza ed al volume.
%
Comportamento reale del ferro
Perdite per correnti parassite nel ferro (o
correnti di Foucault) in una lastra piana
indefinita di spessore Δ:
Pcp  C
f 2 2  2p
 fe
C cost. opportuna,  fe resistività del ferro
Il fenomeno non è portato in conto dalle
eq. di base precedenti.
%
Comportamento reale del ferro
La potenza complessiva dissipata nel ferro
è fornita dalla somma delle perdite per
isteresi e di quelle per correnti parassite:
Pfe  Pi  Pcp  k ' 2p
e conseguentemente:
Pfe  k"V
 12
Confronto del model. 2 con il
model. 1 nel funzionam. a vuoto
La potenza assorbita dal trasformatore è nulla.
Tale modello non è quindi in grado di
rappresentare i fenomeni dissipativi nel ferro. La
potenza trasformata in calore nel ferro deve
essere fornita dalla rete di alimentazione
Modello 2 (ferro reale):
funzionamento a vuoto
Si possono trattare
in maniera separata i
problema della non
linearità e della
dissipazione di
potenza nel ferro,
riducendo il ciclo alla
sua linea media e
considerando a parte
le perdite nel ferro.
Pfe  k"V
 12
%
Modello 2 (ferro reale):
funzionamento a vuoto
Si può linearizzare la
linea media del ciclo,
considerando cost. la
riluttanza. Le perdite
 12
nel ferro Pfe  k"V
possono essere
rappresentate da una
resist. in parall. a L1
tale che:
Pfe  V / R' m
2
1
Modello 2 (ferro reale): rete
equival. nel funzionam. a vuoto
R'm  V / Pfe
2
1
L1  N12 / R
Modello 2 (ferro reale):
funzionamento a vuoto
La corrente a vuoto
risulta pari alla
somma:
I 10  I ' a  I ' 
Pfe  V1 I ' a
Q  V1 I ' 
Modello 2 (ferro reale con perdite):
funzionamento sotto carico
L1  N / R
2
1
R'm  V / Pfe
2
1
%
Modello 2 (ferro reale con perdite):
funzionamento sotto carico
L2  N / R
2
2
R"m  V22 / Pfe
%
Modello 2 (ferro reale con perdite):
funzionamento sotto carico
Nel trasformatore ideale
1
I1   I 2
a
Nel trasformatore reale
1
I 1  I ' 2  I 10   I 2  I 10
a
Il rapporto tra le correnti è
diverso da 1/a. Lo
scostamento è prodotto
da I10
%
Modello 2 (ferro reale con perdite):
funzionamento sotto carico
Il trasformat. non è più
trasparente né alla
pot. attiva, né a quella
reattiva. La pot. attiva
assorbita dal primario
è la somma di quella
trasferita al second. e
delle predite nel
ferro. Il rendimento è
diverso da 1.
Riduzione della potenza reattiva Q
e delle perdite nel ferro Pfe
Per ridurre Q occorre
ridurre la riluttanza R,
riducendo i traferri e
aumentando la
permeabilità.
Per ridurre Pfe si
usano lamierini isolati
laminati a freddo di
ferro silicio. Tali
lamierini sono
anisotropi.
Nucleo magnetico
Modello 3 del trasformatore reale
• Avvolgimenti reali (r1, r2  0)
• Accoppiamento non perfetto (l 1 , l 2  0)
• Ferro reale con perdite
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam.
magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio del tempo:
di1
v1  e p1  r1  i1  l 1
dt
d p
e p1   N1
dt
R   p  N1i1  N 2i2
v2  e p 2
di2
 r2  i2  l 2
dt
ep 2   N2
d p
dt
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam.
magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio dei fasori
V 1  E p1  (r1  jl 1 ) I 1
V 2  E p2  (r2  jl 2 )I 2
E p1   jN 1  p
E p 2   j N 2  p
R   p  N1  I1  N 2  I 2
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam.
magnet. reali, ferro senza perdite)
LKT
V 1  E p1  (r1  jl 1 ) I 1
E p1   jN 1  p
V 2  E p 2  (r2  jl 2 ) I 2
E p 2   j N 2  p
R   p  N1  I1  N 2  I 2
Modello 1, rete equivalente del
trasformat. reale sotto carico
L1  N12 / R
V1  jN1   p
V2  jN 2   p
R   p  N1  I1  N 2  I 2
Modello 3: rete equivalente (ferro
senza perdite)
L1  N12 / R
Modello 3: rete equivalente (ferro
reale con perdite)
L1  N12 / R
Modello 2: rete equivalente
L2  N / R  L1 / a
2
2
2
R"m  V22 / Pfe  R'm / a 2
Modello 3: rete equivalente (ferro
reale con perdite)
L2  N / R  L1 / a
2
2
2
R"m  V22 / Pfe  R'm / a 2
Modello 3: rete equivalente a T
Nel trasformatore ideale
z' 2  a 2  z 2
%
Modello 3: rete equivalente a T
z' 2  a 2  z 2
zu
%
Modello 3: rete equivalente a T
dove
I '2  I 2 / a
r ' 2  a r2
2
l ' 2  a l  2
2
z'u  a  zu
1
V '2  z 'u I '2  (a zu )(  I 2 )  a( zu I 2 )  aV 2
a
2
2
%
Modello 3: rete equivalente a T
Impedenze
z1  r1  jl1
z'2  r '2  jl ' 2
z1
m
z'
z'2
z'm  ( jL1 ) // R'm
Modello 3: deduzione rete
equivalente a L
LKT
LKC
V 1  (r1  jl 1 ) I 1  (r '2  jl ' 2 ) I '2 V '2
I 1  I ' 2  I 10
%
Modello 3: deduzione rete
equivalente a L
LKT
dove
V 1  (r1  jl 1 ) I 10  (r 'eq  jl 'eq ) I ' 2 V ' 2
r ' eq  r1  r ' 2
l 'eq  l 1  l ' 2
%
Modello 3: deduzione rete
equivalente a L
Trascurando (r1  jl 1 ) I 10
I 1  I ' 2  I 10
→ V 1  (r ' eq  jl 'eq ) I ' 2 V ' 2
Bilancio delle potenze
Pfe  V12 / R' m
Pcu  r 'eq I ' 22
Bilancio delle potenze
Potenze
Potenza assorbita
Pass  V1 I1 cos 1
Potenza utile
Put  V2 I 2 cos  2
Invarianza delle potenze rispetto al
lato del trasformatore
Pot. Utile Put  V2 I 2 cos  2  V ' 2 I ' 2 cos  2
essendo V ' 2  a V2
Pfe  V / R' m  V / R"m
2
1
essendo
2
2
R"m  R' m / a 2
I ' 2  (1 / a ) I 2
Pcu  r 'eq I ' 22  r"eq I 22
r"eq  r 'eq / a 2
Funzionamenti a rendimento nullo
Rendimento= Put / Pass= 0 se
.
Put  0
Put  V2 I 2 cos  2
Put  0 se
I 2  0 (funzionamento a
vuoto) o se V2  0 (funzionamento in
corto circuito)
Pass  Pcu  Pfe
Prova a vuoto
Schema di misura
W A
V
1
f
P  Pfe  r I
2
1 10
T
V
V
2
r
I
trascurabile 1 10
20
I 10  10 2 I 1n
Prova a vuoto; determinazione
parametri verticali circuito ad L
W A
V
1
f V
T
V
R' m  V / W
2
L1  V / I ' 
20
I ' a  V / R' m
I '  I102  I '2a  A2  I '2a
Prova in corto circuito
Schema di misura
P  Pcu  Pfe  Pcu  Vcc2 / R'm Vcc2 / R 'm trascurab.
Vcc  102V1n
Prova in corto circuito

trascurabile I10

Prova in corto circuito
W A
V
1 cc
T
f V
r 'eq  W / I12n  W / A2
2
l 'eq  (V / A) 2  r 'eq
2
V1cc / I1n  V / A  zeq  R'eq
(l 'eq ) 2
Rendimento del trasformatore,
determinazione diretta
Put W2


Pass W1
Inconvenienti
• Notevole influenza
degli errori di misura
dei wattmetri
• Difficile determinare
la variabilità del
rendimento con il
carico
Rendimento convenzionale e sua
determinazione indiretta
Diversa formulazione del rendimento:
Put

Put  Pfe  Pcu
La sua traduzione operativa comporta la determinazione
di Put, Pfe e Pcu.
P utile Put  V2 I 2 cos  2
ipotizzata e non misurata
Pfe e Pcu misurate nelle prove a vuoto ed in corto
circuito
Andamento del rendimento in
funzione del carico
Rendimento convenz.
V2 I 2 cos 2

" 2
V2 I 2 cos 2  Pfe  req I 2
Se V2 è supposta
costante, trascurando
le cadute di tensione,
si ottiene il diagr.
dove per I2= I2p le
perdite nel ferro e nel
rame sono eguali

 0 per
I 2
I2  I2p 
I 2 p  0.6  0.9 I 2 n
Pfe
req"

Rendimento in energia
Ci si riferisce alle energie invece che alle
potenze:
w
Wut

Wut  W fe  Wcu
essendo l’energia data da
W 
t 0 
 vidt
t0
Ci riferisce ad un prefissato intervallo  : si ha
così il rendim. giornaliero, mensile, etc.
Rendimento in energia
W
t 0 
 vidt
t0
Se in  il carico è costante ( I 2 e V2
costanti):
Wut  V2 I 2 cos 2
W fe  Pfe
Wcu  Pcu
e i rendimenti in potenza ed energia sono
eguali.
Rendimento giornaliero
Se si esprime
l’energia in Wh si ha:
Put
Put  V2 I 2 cos  2
h
24
V2 I 2 cos 2 h
w 
V2 I 2 cos 2 h  Pfe 24  req" I 22 h
Andamento del rendim. in energia
in funzione del carico
L’andamento è
analogo a quello del
rendim. in potenza. Si
ha il massimo quando
l’en. persa nel ferro è
eguale all’en. persa
nel rame → per I 2
dato da:
I 2w 
Pfe 24
r"eq h

24
I2p
h
Caduta di tensione
I 10
V1n
I2  0
V 20
Si definisce caduta di
tensione la quantità:
V  V20  V2
I1
V1n
I2
V2
Caduta di tensione: funzionamento
a vuoto
0
 E p 2  V 20   E p1 / a
, trascurando la caduta di
tensione dovuta a I 10 →
 E p1  V 1n  V20  V1n / a  V2 n
V  V20  V2  V2n  V2

Calcolo della caduta di tensione
V 1n  (r 'eq  jl 'eq ) I '2 V '2
dove
I '2  I 2 / a
(conv.gener.)
r 'eq  r1  a 2 r2
l 'eq  l 1  a 2 l 2
Dividendo per a →
V 2n  V 20  (r"eq  jl"eq ) I 2  V 2
dove
r ' eq
l 'eq l 1
r1
r"eq  2  2  r2 l"eq  2  2  l 2
a
a
a
a
Calcolo approssimato della caduta
di tensione
FG perpendicolare a
BG
V 2n  V 20  (r"eq  jl"eq ) I 2  V 2
ΔV=BK, trascurando
CK, ΔV=BC=BH+HC
BH  r"eq I 2 cos  2 HC  l"eq I 2 sin  2
 V  r"eq I 2 cos 2  l"eq I 2 sin 2