Dalla relatività Galileiana…
1564 - 1642
…agli albori di
quella Einsteiniana
1879 - 1955
da Galileo,
Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo
«Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto
coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili
animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de'
pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a
goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che
sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente
come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti
della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per
tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi,
gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete
gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno
eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, equali spazii passerete
verso tutte le parti.
Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun
dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder
così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; che (pur che il
moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete
una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli
potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma.
Voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché
la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che
verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato
sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando
alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo,
se egli sarà verso la prua e voi verso la poppa, che se voi fuste situati per
l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave
scorra molti palmi; i pesci nella loro acqua non con più fatica noteranno
verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari
agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e
finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente
verso tutte le parti, né mai accadere che si riduchino verso la parete che
riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso
della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno
state separate e se abbrucciando alcuna lagrima d'incenso si farà un poco
di fumo, vedràssi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e
indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte. E di tutta
questa corrispondenza d'effetti ne è cagione l'esser il moto della nave
comune a tutte le cose contenute in essa ed all'aria ancora, che per ciò
dissi io che si stesse sotto coverta; che quando si stesse di sopra e nell'aria
aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si
vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati: e non è dubbio che il fumo
resterebbe in dietro, quanto l'aria stessa; le mosche parimente e le
farfalle, impedite dall'aria, non potrebber seguire il moto della nave,
quando da essa per spazio assai notabile si separassero; ma
trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbrica
anfrattuosa, porta seco parte dell'aria sua prossima, senza intoppo o
fatica seguirebbon la nave, e per simil cagione veggiamo tal volta, nel
correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli, volandogli
ora in questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle gocciole cadenti
pochissima sarebbe la differenza, e ne i salti e ne i proietti gravi, del tutto
impercettibile».
Oggi la scoperta di Galileo viene espressa, con linguaggio moderno,
come principio di relatività galileiana:
le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento che si
muovono tra loro di moto rettilineo uniforme (detti sistemi inerziali).
Quindi, in particolare, le leggi che valgono in un sistema di riferimento
inerziale rimangono valide in tutti i sistemi di questo tipo.
NB:
II principio di relatività galileiana dice che nei due sistemi di riferimento
le leggi sono le stesse, non che la descrizione del moto è identica.
Riassumiamo la relatività Galileiana come trattato in…
… “L’evoluzione della fisica “ di A.Einstein-L.Infeld
1) Non si conoscono regole per trovare un sistema inerziale. Ma
dato che ne esista uno, se ne possono trovare altri in numero
infinito, poiché tutti i sistemi di coordinate in moto uniforme
l'uno relativamente all'altro, sono dei sistemi inerziali,
sempreché uno di essi lo sia.
2) II tempo corrispondente ad un evento è lo stesso in tutti i
sistemi di coordinate. Ma le coordinate e le velocità sono
diverse e differiscono in conformità alle leggi di
trasformazione.
3) Ancorché coordinate e velocità differiscano quando si passa
da un sistema di coordinate ad un altro, forza ed accelerazione
e pertanto le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle
leggi di trasformazione.
Le leggi di trasformazione, testé formulate per le coordinate e
per la velocità, le chiameremo leggi di trasformazione della
meccanica classica o, più brevemente, la trasformazione
classica.
Le trasformazioni galileiane
y
y’
u
O’
x
x’
ut
• Il sistema di riferimento x’O’y’ si muove di moto
rettilineo uniforme lungo l’asse x, con velocità u,
rispetto a xOy
• Le relazioni tra le coordinate del punto, le velocità e
le accelerazioni nei due sistemi sono:
vx '  vx  u
a x '  a x
 x '  x  ut


y'  y
v y '  v y
a y '  a y


v '  v
a '  a
z
'

z
 z
 z
z
z

t '  t
O
Invarianza rispetto alle
trasformazioni galileiane
• La distanza tra due punti calcolata in xOy o in x’O’y’ è
la stessa
• La durata di un intervallo di tempo è la stessa
• L’accelerazione di un corpo è la stessa
• Sostituendo la trasformazione di coordinate
precedente nelle leggi di Newton otteniamo leggi
identiche: le leggi di Newton sono invarianti rispetto
alle trasformazioni galileiane. In altre parole, non è
possibile stabilire con esperimenti di meccanica se
un sistema è in moto rettilineo uniforme rispetto ad
un altro (senza guardare “fuori” dal sistema).
Le leggi dell’elettromagnetismo
• Maxwell descrive tutti i fenomeni elettromagnetici
mediante 4 leggi, dette appunto leggi di Maxwell, ed
interpreta la luce come un’onda elettromagnetica (la
conferma sperimentale sarà data da Hertz)
• Le leggi di Maxwell non sono invarianti rispetto alle
trasformazioni galieliane
• Possiamo quindi usare esperimenti di elettromagnetismo
(o di ottica, dato che la luce è un fenomeno
elettromagnetico) per stabilire se un sistema è in moto o
no rispetto ad un altro?
L’idea semplificata
dell’esperimento
• Secondo le equazioni di Maxwell la luce si propaga in
tutte le direzioni(isotropa) alla stessa velocità c 
300.000 km/s, indipendentemente dal moto della
sorgente
• Se un’automobile procede in autostrada a velocità u e
viene superata da un raggio luminoso, un osservatore
sull’automobile dovrebbe misurare una velocità della
luce pari a c – u.
• Il problema è che la differenza di velocità è molto piccola
e quindi l’esperimento deve essere non solo accurato,
ma anche ingegnoso per misurare in maniera indiretta
tale differenza.
L’idea dell’etere
Prima di vedere come tale esperimento è stato realizzato, è
necessario analizzare come si immaginava avvenisse la
propagazione della luce:
• Interpretando la luce come un fenomeno oscillatorio, i fisici
dell’ottocento ipotizzavano l’esistenza di un mezzo
materiale, detto “etere”, le cui vibrazioni permettevano la
propagazione delle onde luminose, così come l’aria
permette la propagazione delle onde sonore.
• L’etere doveva avere proprietà ben strane, dato che
propagava la luce a velocità elevatissime e, d’altra parte si
lasciava attraversare da masse enormi (stelle, pianeti)
senza nessuna perturbazione apparente.
• Nell’etere (e quindi in un sistema di riferimento ad esso
solidale) le onde luminose si propagavano con velocità c.
Cosa ne pensava Maxwell?
• Anche lui riteneva indispensabile un mezzo che
propagasse le onde elettromagnetiche, non era
ipotizzabile che si trasmettessero nel vuoto:
“Qualunque difficoltà possiamo avere nel
formare un'idea consistente della costituzione
dell'etere, non ci può essere dubbio che gli spazi
interplanetari e interstellari non sono vuoti, ma
sono occupati da una sostanza materiale o
corpo, che è certamente il più grande e
probabilmente il corpo più uniforme fra quelli di
cui abbiamo qualche conoscenza.”
Misurare la velocità della terra
rispetto all’etere
• Tornando all’esempio dell’automobile, possiamo
immaginare la terra al posto dell’automobile e
misurare la sua velocità rispetto all’etere.
• Prima idea: prendere due stazioni A e B sulla
terra a distanza L e misurare il tempo che un
raggio luminoso impiega per andare da A e B e
ritornare in A.
1° caso: terra ferma rispetto all’etere
(o movimento perpendicolare alla
direzione del raggio)
L
A
B
Tempo da A a B:
t1 = L/c
Tempo da B a A:
t2 = L/c
Andata e ritorno:
t1 + t2 = 2L/c
2° caso: terra in movimento
rispetto all’etere con velocità u
L
A
u
Tempo da A a B:
Tempo da B a A:
Andata e ritorno:
B
L
t1 
cu
L
t2 
cu
L
L
2L / c
t1  t2 


u2
cu cu
1 2
c
E’ realizzabile un tale
esperimento?
• Potremmo pensare di prendere stazioni in direzioni
diverse in modo da evidenziare il movimento della terra
rispetto all’etere in ciascuna direzione.
• La differenza di tempo sarebbe apprezzabile?
• Immaginiamo che la velocità della terra rispetto all’etere
sia uguale a quella rispetto al sole (30 km/s), che
distanza dovremmo avere per misurare una differenza di
tempo di 10-6s?
2 L / c 2 L 2 Lu 2 / c 3
t 


2
u
u2
c
1 2
1 2
c
c
Circa 15 milioni di
km (più di 40 volte la
distanza terra-luna)
L’idea di Michelson
• Per evidenziare un differenza di tempo molto piccole si usa
l’interferenza delle onde luminose!
B
S
C
Gli specchi B e C
si trovano alla
stessa distanza
L da A
A
O



Un fascio luminoso viene emesso dalla sorgente S
Un vetro argentato posto a 45° A riflette parzialmente il fascio
verso lo specchio B e lascia passare il resto del fascio verso lo
specchio C
I raggi vengono riflessi da B e C verso A dove si ricompongono
e arrivano all’osservatore O
La struttura è ferma
• Supponiamo che la struttura sia ferma rispetto all’etere
B
L
S
L
C
A
O



Il raggio che va verso B percorre un percorso pari a 2L per
tornare ad A
Il raggio che va verso C percorre sempre un percorso lungo 2L
I due raggi si ritrovano in A in fase e vengono riflessi verso O
che nota un’interferenza costruttiva
La struttura si muove rispetto all’etere
con velocità u nella direzione AC
(verso destra)
• Consideriamo il raggio orizzontale AC e poniamoci nel sistema di
riferimento solidale all’etere.
• Se t1 è il tempo per andare da A a C il raggio compie un percorso
L + ut1 in quanto C si è spostato verso destra di ut1. Per trovare t1,
basta considerare che la luce viaggia nel sistema a velocità c e
quindi avrà percorso una distanza ct1.
ct1 = L + ut1
t1 = L/(c-u)
• Il percorso di ritorno (CA) è invece più breve in quanto C si è
avvicinato di ut2 (t2 è il tempo nel ritorno)
ct2 = L – ut2
t2 = L/(c+u)
• Il tempo totale, andata e ritorno, è
t1 + t2 = L/(c-u) + L/(c+u) = 2Lc/(c2 – u2)
raccogliendo c2 :
2L / c
t1  t2 
1 u / c
2
2
La struttura si muove rispetto all’etere
con velocità u nella direzione AC
(verso destra)
• Consideriamo ora il raggio AB sempre nel sistema di riferimento
solidale all’etere.
B’
B’’
B
u
ct3
ut3
S

A
A’’
A’
Il percorso è ora AB’A’’. Indicando con t3 il tempo per andare da
A a B’, possiamo applicare il teorema di Pitagora a AA’B’:
 ct3 

L
2
  ut3   L2
2
Il tempo totale AB’A’’ è:
t3  L / c 2  u 2
2t3 
2L
c u
2
2

2L / c
1  u2 / c2
Confrontiamo i due tempi
• I tempi nei due percorsi non sono uguali:
percorso tramite B
percorso tramite C
t ABA 
2L / c
1 u / c
2
2
t ACA
2L / c

1  u2 / c2
• Qual è il minore?


Il tempo per andare verso B (direzione perpendicolare a quella
del moto della terra) e ritorno è minore di quello attraverso C
(direzione parallela al moto terrestre)!
La differenza tra i due tempi e rispetto al tempo che si
otterrebbe se la struttura fosse ferma ( 2L/c) è comunque molto
piccola in quanto il termine u2/c2 è molto piccolo se u non è
paragonabile a c.
Come rivelare la differenza tra i
due tempi?
• E’ praticamente impossibile rendere perfettamente uguali le distanze
tra gli specchi AB e AC. La conseguenza è che in ogni caso
l’osservatore vedrà delle frange di interferenza.
• Michelson e Morley ebbero l’idea di effettuare due misure, ruotando
di 90° l’apparecchiatura nella seconda in modo che fosse ora AB
lungo la linea del moto.
• In questo caso, a causa della differenza tra i tempi nei due percorsi
prima esposta, si sarebbe dovuta vedere uno spostamento delle
frange di interferenza della seconda misura rispetto alla prima, dalla
quale si sarebbe potuta misurare la velocità della terra u rispetto
all’etere.
La realizzazione
dell’esperimento
• Michelson e Morley orientarono il loro dispositivo in modo che la
linea AC fosse parallela al moto della terra lungo la sua orbita.
Questa velocità è di circa 30km/s (rispetto al sole) e la velocità
rispetto all’etere doveva essere almeno altrettanta in un qualche
periodo dell’anno e in un qualche momento del giorno.
• Il dispositivo realizzato era ampiamente sensibile per rilevare un
effetto dovuto ad una tale velocità, ma nonostante i molti tentativi,
non fu rilevato uno spostamento nelle frange di interferenza e quindi
nessuna velocità della terra rispetto all’etere.
L’apparecchiatura usata
• L’apparecchiatura era montata su un blocco di pietra che
galleggiava in una vasca piena di mercurio, in modo da poter
farla ruotare e da renderla meno sensibile alle vibrazioni
• Si usavano più riflessioni del fascio nelle due direzioni per
aumentare la distanza percorsa dalla luce e potere misurare lo
slittamento delle frange di interferenza (sensibilità dello
strumento).
Conclusioni sull’esperimento MM
L’esperimento è fallito! Per quale motivo?
• La terra è solidale all’etere?
• La terra trascina con sé l’etere? (spiegazione data
inizialmente da Michelson in accordo con le teorie di
Stokes, che però spiegano in maniera molto artificiosa il
fenomeno dell’aberrazione stellare)
• Le leggi di Maxwell sono errate? (ma avevano trovato
proprio in quegli anni una spettacolare conferma nella
scoperta delle onde elettromagnetiche da parte di Hertz)
• Forse le cose sono meno semplici e bisogna rivedere i
concetti che stanno alla base della fisica, cioè spazio e
tempo?
L’idea di Lorentz
• H. A. Lorentz aveva suggerito che il risultato
dell’esperimento (nessuna differenza di tempo nei due
percorsi) poteva spiegarsi se si ipotizza che gli oggetti in
movimento si contraggano nella direzione del moto.
• Se L0 è la lunghezza quando il corpo è fermo, quando si
muove con velocità u parallela a L0 la sua lunghezza è
L  L0 1  u 2 / c2
Spiegazione di Lorentz
Se applichiamo l’idea della contrazione all’interferometro
di MM, notiamo che la distanza tra A e B non cambia
(direzione perpendicolare al moto), mentre quella tra A e
C, parallela al moto, diventa L 1  u2 / c2
.
Nella formula che da il tempo totale percorso va sostituita
quindi L 1  u2 / c2
al posto di L.
2
2
2
L
/
c
1

u
/
c


2L / c
t1  t2 

2
2
1 u / c
1  u2 / c2
Ottenendo lo stesso tempo dell’altro percorso.
Le obiezioni e la conclusione di
Poincaré
• L’ipotesi di Lorentz era stata ritenuta troppo artificiale e inventata a
bella posta per venire a capo delle difficoltà incontrate
• Purtroppo (o per fortuna?) altri esperimenti analoghi a quelli di MM
si imbattevano nelle stesse difficoltà, quasi che la natura stesse
complottando introducendo ogni volta un nuovo fenomeno per
impedire di misurare u.
• Il grande matematico francese Poincaré concluse che “un complotto
totale è esso stesso una legge di natura”. In altre parole il fatto che
non si possa scoprire il vento d’etere (u) con un esperimento è una
legge della natura. Concludendo:
Legge di Natura
Non vi è alcun modo di determinare una velocità assoluta
Un’altra curiosa scoperta di Lorentz
• All’inizio avevamo detto che le leggi di Maxwell non sono invarianti
rispetto alle trasformazioni galileiane. Lorentz scoprì che invece
risultavano invarianti rispetto alle seguenti trasformazioni
• (trasformazioni di Lorentz):
x  ut

x ' 
2
2
1

u
/
c

y'  y

z '  z

t  ux / c 2
t ' 

1  u2 / c2
• Forse che le leggi di natura sono invarianti rispetto a queste strane
traformazioni e non rispetto a quelle galileiane? Quali sono le
conseguenze?
• Che dire di quello strano fattore
1  u 2 / c2 , molto prossimo a 1
se u<<c, che compare dappertutto?
…verdetto definitivo sull’ETERE
…da “L’evoluzione della fisica” di Eisntein-Infeld
Il risultato del celebre esperimento di Michelson-Morley fu un « verdetto di
morte » per la teoria di un oceano d'etere immobile, attraverso il quale tutta la
materia si muoverebbe. Non si è trovato il minimo indizio che la velocità della
luce dipenda dalla direzione. Se la teoria dell'oceano d'etere fosse vera, non
soltanto la velocità della luce, ma anche altri fenomeni del campo, manifesterebbero una dipendenza dalla direzione dello SC in moto. Altri esperimenti
hanno dato risultato negativo come quello di Michelson-Morley; nessuno di essi
ha rivelato la minima dipendenza dalla direzione del moto terrestre.
Ci troviamo pertanto di fronte alla caduta di due ipotesi: la prima, che i corpi in
moto trascinano l'etere, ma il fatto che la velocità della luce non dipende dal
moto della sorgente contraddice questa supposizione; la seconda ipotesi che
esista un SC privilegiato e che i corpi in moto non trascinino l'etere, bensì
attraversino un oceano d'etere eternamente immobile. Ma se cosi fosse la
velocità della luce non dovrebbe essere la stessa in ogni SC.
Dobbiamo porci nuove supposizioni…
Gli albori della
relatività speciale di…
Le nuove supposizioni sono:
1) La velocità della luce, nel vuoto, è la stessa in tutti gli SC, in moto uniforme
gli uni relativamente agli altri.
2) Tutte le leggi della natura sono le stesse in tutti gli SC in moto uniforme, gli
uni relativamente agli altri.
La teoria della relatività s'inizia con queste due supposizioni. Esse sono in
contraddizione con la trasformazione classica, per cui d'ora in poi rinunceremo
a servirci di quest'ultima.
L'essenziale è qui, come sempre nella scienza, di sbarazzarci da pregiudizi
profondamente radicati e spesso invocati senza previa disamina. Poiché le
tentate modificazioni di 1 e 2 conducono a contraddizioni con l'esperienza,
dobbiamo avere il coraggio di riconoscerne decisamente la validità e di
attaccare quindi il solo punto palesemente debole, vale a dire le modalità della
trasformazione per il passaggio da un SC all'altro. Dobbiamo perciò proporci di
trarre anzitutto delle conclusioni dalle nostre supposizioni 1e2, per poi
esaminare dove e come esse contrastino con la trasformazione classica e
quindi scoprire il significato fisico dei risultati raggiunti.