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Statica 2
Università : Politecnico di Milano
Facoltà : Architettura
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L' Appunto
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m
o
.c
e
b
ri
t
C
B
A
PROBLEMA DI SAINT-VENANT
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Il problema particolare di equilibrio elastico di notevole interesse applicativo è
quello di un solido elastico, omogeneo, isotropo di forma cilindrica, ossia un
solido che possiamo chiamare, almeno per la sua forma, trave.
Il problema è stato impostato e risolto da Adhémar Jean-Claude Barré,
conte di Saint-Venant, nella famosa memoria “De la torsion des prismes”
presentata all’Accademia delle Scienze di Parigi
m nel 1853.
o
c
.
Il metodo proposto dal Saint-Venant, professore
all’Ècole des ponts et
e
b al rigore matematico l’intuizione
i
Chaussées, per risolvere il problema
unisce
r
t
C
fisica del problema.
AB
Inizia uno dei capitoli più suggestivi della Scienza delle Costruzioni,
proponendo una soluzione fondamentale per la portata pratica e stimolante per
la congettura (postulato) fatta per giustificare del procedimento proposto.
Tale congettura, ha rappresentato una vera sfida per tutti coloro che ne hanno
tentato una rigorosa dimostrazione.
Il modello, può apparire piuttosto lontano dalla realtà, esso invece, proprio
grazie all’accennata congettura di Saint-Venant, è in grado di descrivere il
comportamento di molte travi reali.
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Ipotesi Generali
Il probema di Saint-Venant si basa sulle seguenti ipotesi:
1) ipotesi di tipo geometrico: si considera una trave prismatica (asse
rettilineo e sezione retta costante). Nella sezione la dimensione minima
m dall’altra; la lunghezza
o
e massima non sono troppo differenticl’una
.dimensioni della sezione retta.
e
della trave è molto più grande delle
b ortogonale con coincidente
i
r
Assumeremo un riferimento cartesiano
t
C
con l’asse della trave e origine
B nel baricentro G della sezione .
A
2) ipotesi sul materiale: si considera il materiale elastico, lineare,
omogeneo, isotropo.
3) ipotesi sui carichi: si considerano le forze di massa nulle e le forze di
superficie agenti solo sulle basi e la superficie laterale della trave
risulta scarica mentre le forze di superficie costituiscono da sole un
sistema equilibrato.
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4) ipotesi sui vincoli: si considera il solido non vincolato coerentemente
con l’ipotesi di sistema di forze equilibrato. Tuttavia, per fissare la
posizione del solido nello spazio, impedendo qualunque moto rigido,
supporremo che:
spostamenti = 0 ⎫
rotazioni = 0 ⎬⎭
per il punto G = (0, 0, 0,)
m
o
.c
e
b
ri
t
C
B
A
x
z
Assi principali d’inerzia
x
y
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y
5) ipotesi sulle tensioni: si considera che
σ xx = σ yy = τ xy = 0
segue che, ossia il tensore degli sforzi è del tipo
⎛ 0
⎜
T=⎜ 0
⎜τ
⎝ zx
m
o
.c
0
t
C
B
0e
b
ri
τ zy
τ xz ⎞
⎟
τ yz ⎟
σ zz ⎟⎠
A
che descrive uno stato di tensione bi-assiale. Il piano del vettore tensione
→
→
→
è quello contenente i vettori σ z = σ zz k e τ z = τ zx i + τ zy j esso è perciò
parallelo all’asse del cilindro; si può facilmente provare che su questi
piani la tensione tangenziale è diretta secondo. Come si vede il modello
di Saint-Venant, nel caso più generale, comporta quindi la riduzione da 6
a 3 del numero delle incognite .
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Occorre naturalmente rendersi conto che questa “ipotesi sulle tensioni” è
una previsione sulla soluzione.
Equazioni costitutive
Le equazioni costitutive del solido elastico,m
lineare, isotropo scritte con
o
riferimento alle due costanti elastiche E,
modulo
di elasticità normale, e ,
c
.
e si riducono a
coefficiente di contrazione trasversale,
b
i
r 1
t
⎧C
B
⎪ε = − E ν σ
A
xx
⎪
⎪ε yy
⎪
⎪ε
⎪
(*) ⎨ zz
⎪ε xy
⎪
⎪ε xz
⎪
⎪ε
⎪⎩ yz
=−
zz
1
ν σ zz
E
σ zz
E
=0
τ
= xz
2G
τ yz
=
2G
=
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I quattro casi fondamentali di sollecitazione
1) Forza Normale Semplice
m
o
.c
e
b
ri
2) Flessione Semplice
t
C
B
A
3) Torsione
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