LA RETTA
Concetto primitivo
•
La retta o linea retta è uno
dei tre enti geometrici
fondamentali della geometria
euclidea. Viene definita da
Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo. Un filo
di cotone o di spago ben teso
tra due punti è un modello
materiale che ci può aiutare a
capire cosa sia la retta, un
ente geometrico immateriale
senza spessore e con una sola
dimensione. La retta è inoltre
illimitata in entrambe le
direzioni, cioè è infinita. Viene
generalmente contrassegnata
con una lettera minuscola
dell'alfabeto latino.
Definizioni
• Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o
nello spazio tridimensionale.
• Due rette nel piano possono essere:
• incidenti se si intersecano in uno e un solo punto;
• parallele se non si intersecano in uno e solo punto.
• Due rette nello spazio possono essere:
• complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In
questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele
altrimenti;
• sghembe se non sono contenute in un piano comune.
Proprietà
• La retta è in relazione con gli altri enti geometrici
fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo
seguente:
• Per un punto si possono tracciare un infinito numero di
rette.
• Per due punti passa una sola retta.
• Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti
uguali.
• Nello spazio, per una retta passano infiniti piani.
• Le prime 3 proprietà sono valide sia nel piano che nello
spazio.
Retta nel piano
cartesiano
• Una retta nel piano cartesiano è descritta da
un'equazione lineare
ax + by + c = 0
• dove i coefficienti a, b , c sono dei numeri reali
fissati, con a e b non contemporaneamente nulli.
• E’ possibile descrivere la stessa retta in forma
esplicita, rispettivamente in una delle due forme
seguenti:
y = mx + q
oppure
x = my + q
dove m si chiama coefficiente angolare e quantifica
la pendenza della retta.
FORMA ESPLICITA
•
La retta può anche essere descritta in forma esplicita come
•
dove m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza
della retta. Nel caso specifico dell'equazione y = mx + q, il
coefficiente m è la tangente (trigonometrica) dell'angolo che la
retta forma con l'asse delle ascisse; il coefficiente q si chiama
intercetta (od ordinata )all'origine e rappresenta l’ordinata del
punto di passaggio della retta per l'asse delle ordinate, ovvero
l'entità della traslazione della retta dall'origine. Se esso non è
presente in una equazione, ovvero è nullo, vuol dire che la retta
passa per l'origine. In tal caso la forma esplicita si riduce a:
•
•
y = mx + q oppure x = my + q
y = mx.
Lo stesso discorso si applica, invertendo ascisse ed ordinate,
all'equazione x = my + q.
Si tenga presente che, a differenza della forma implicita, ciascuna
delle due forme esplicite non descrive tutte le rette possibili: ad
esempio le rette parallele all'asse y, come la retta x = 3, non sono
descrivibili nella forma y = mx + q, in quanto non si possono
ottenere per alcun valore del coefficiente angolare m; per lo stesso
motivo le rette parallele all'asse x, come la retta y = − 1, non sono
descrivibili nella forma x = my + q.
FORMA PARAMETRICA
• Una retta r in un piano risulta individuata
quando sono descritti un suo punto P(x0 , y0)
e la direzione, individuata da un vettore
v(l,m). Con queste informazioni si possono
immediatamente scrivere le equazioni
parametriche della retta:
• dove k è un parametro reale. La retta è
quindi descritta come l'insieme di punti
ottenuti al variare di k nell'insieme dei
numeri reali. Il punto (x0,y0) è ottenuto per
il valore k = 0.
Retta passante per 2 punti
• La retta passante per due punti
distinti P = (x1 ,y1) e Q = (x2,y2) del
piano è descritta in forma cartesiana
implicita dalla seguente equazione:
che può essere riscritta nel modo
seguente:
Se
, la retta non è verticale e può
essere descritta in forma esplicita:
• Analogamente, se
la retta non
è orizzontale e può essere descritta
eplicitando la variabile x. Se la retta
non è né verticale né orizzontale, può
anche essere descritta dall'equazine
seguente:
Distanza punto-retta
• In matematica, e più
precisamente in
geometria analitica, la
distanza di un punto P da
una retta r è definita
come la minima distanza
fra P ed un punto Q di r.
Se il punto e la retta sono
contenuti nel piano
cartesiano, la retta è
descritta da un'equazione
ax + by + c = 0,
e la sua distanza dal punto
P(x0,y0) è data dalla
formula
–
Perpendicolarità
• La perpendicolarità è
un concetto
geometrico che indica
la presenza di angolo
retto tra due entità
geometriche. Queste
possono essere ad
esempio due rette in
un piano, oppure una
retta ed un piano o
due piani incidenti
nello spazio.
Perpendicolarità nel piano
cartesiano
• Una retta nel piano
cartesiano può essere
descritta in vari modi, e
per ciascuno di questi
esistono delle condizioni
per determinare se due
rette sono perpendicolari.
Ad esempio, due rette
descritte nella forma
y = mx + q
y = m'x + q’
sono perpendicolari se e solo
se:
m * m’ = -1
Parallelismo tra due rette
• Due rette r ed s sono
parallele quando hanno
almeno due proiezioni
complanari parallele.
Ovvero proiettando tali
rette su due piani
distinti α e β, le
proiezioni di r ed s
risulteranno parallele sia
su α che su β. Due
rette(non parallele
all'asse delle y) sono fra
loro parallele se hanno lo
stesso coefficiente
angolare
Coefficiente angolare
•
•
•
•
In geometria analitica il coefficiente
angolare di una retta nel piano cartesiano
è il valore del parametro m nell'equazione
della retta
.
Il parametro q rappresenta invece
l'intercetta con l'asse delle ordinate,
ovvero la retta interseca l'asse y nel
punto (0,q).
Il coefficiente angolare rappresenta
inoltre la tangente dell'angolo α che la
retta forma con l'asse delle x, ovvero
.
Considerando la retta come funzione nella
variabile x (f(x) = mx + q), il coefficiente
angolare esprime la derivata della retta
(che è costante, poiché la funzione è un
polinomio di primo grado).
Il coefficiente angolare di una retta
passante per l'origine del sistema di assi
coordinati è dato semplicemente dal
rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di uno
qualsiasi dei suoi punti. Per una retta
generica, invece, date le coordinate
cartesiane di due punti
e
ad essa appartenenti, si può calcolare il
coefficiente angolare mediante la
relazione