Epistemologia delle scienze
naturali 09-10 (II Sem.)
La natura del Tempo e la teoria della
relatività di Einstein
Francesco Orilia
Lez. 18 & 19
29/3/10
Vi ricordo il recupero previsto per
oggi, h. 14-15
Dovremmo decidere a quando
rinviare il recupero che era stato
previsto per il 31 Marzo
Distanza spazio-temporale
• d = (x2 - c2t2 )
• d2 = x2 - c2t2
• Va notato che d2 è un (analogo) di una distanza e quindi ci
interessa come quantità indipendentemente dal segno
algebrico possibilmente negativo
• Seguendo le convenzione tradizionalmente usate, possiamo
allora mettere le cose in questo modo:
• d = (c2t2 - x2 )
• d2 = c2t2 - x2
• Infatti, in questo modo al massimo cambia il segno
algebrico, ma il valore assoluto di d2 rimane immutato in
generale. Vediamo perché
• in generale, se (a - b) = c, allora (b - a) = - c. Per
es., 3 = 6 - 3; -3 = 3 - 6
• Ossia |a - b| = |b - a|
• Quindi (x2 - c2t2 ) e (c2t2 - x2 ) al massimo
differiscono per il segno algebrico
• Consideriamo ora due radici di numeri che
differiscono solo per il segno algebrico:
 d2 e - d2
•  d2 = d
• (d) 2 = d2
•  - d2 è un numero immaginario, ossia di,
dove i =  -1
• (di)2 = d2i2 = d2 (-1) = - d2
• In altri termini, elevando al quadrato x o -x,
a parte il segno algebrico otteniamo lo stesso
risultato
• Abbiamo visto che (x2 - c2t2 ) e (c2t2 - x2) al
massimo differiscono per il segno algebrico
• Quindi ((x2 - c2t2 ))2 e ((c2t2 - x2 ))2 al massimo
differiscono per il segno algebrico
• Visto che ci interessa il valore assoluto, scegliamo di
lavorare con ((c2t2 - x2 ))2
• Questo è preferibile perché nei "casi tipici" in cui la
distanza spaziale non è enorme (sicché c2t2 > x2 )
lavoriamo con un numero reale positivo
• Ponendo d = (c2t2 - x2 ), abbiamo
• d2 = c2t2 - x2
differenza spazio-temporale
• d2 = c2t2 - x2
• d è chiamata differenza spazio-temporale tra due eventi. E'
lo stesso valore per tutti i sistemi di riferimento, è assoluto.
• Seguendo Bourne (p. 151), possiamo esplicitamente
indicare, con "e" ed "e*", i due eventi in questione per poi
usare queste convenzioni:
• te, e* = differenza temporale tra e ed e*
• xe, e* = differenza spaziale tra e ed e*
• S(e, e*) = differenza spazio-temporale tra e ed e*
• Otteniamo così:
• S(e, e*)2 = c2(te, e*)2 - (xe, e*)2
Cono del passato e del futuro
• Vogliamo rappresentare il
percorso nello spazio-tempo di un
segnale luminoso che si emana in
tutte le direzione da un evento
localizzato in un certo istante in
un singolo punto.
• Considerando due dimensioni
spaziali (+ quella del tempo)
otteniamo dei coni e
considerandone 3 (+ quella del
tempo) abbiamo degli "iperconi"
(Toraldo di Francia p. 182). Si
parla quindi di coni di luce ed in
particolare di cono del passato e
cono del futuro.
• Per comodità, consideriamo solo una
dimensione spaziale.
• E quindi lavoreremo con due assi cartesiani,
una per il tempo ed una per lo spazio
Equazione della retta
• Continuiamo ad assumere
ct come asse temporale ed
x come asse spaziale e
consideriamo un segnale
luminoso che si espande
dall'origine (0,0).
• Dal momento che ad ogni
unità di tempo ct il segnale
luminoso percorre lo spazio
ct, abbiamo in pratica
l'equazione della retta, x = y.
• Nel nostro caso x = ct.
Cono del passato e cono del futuro
• Consideriamo x = ct (es. x
= ct = 1)
• inviando un segnale
luminoso nella direzione
opposta, abbiamo -x = ct
(es., ct = 1, x = -1, -x = 1,
ct = -x). Questo ci dà il
cono del futuro.
• Analogamente
considerando x = -ct e -x =
-ct abbiamo il cono del
passato.
Eventi light-like separated
• un evento E le cui
coordinate identificano
un punto che giace su una
delle rette ha coordinate
ct and x tali che |ct| =
|x|, ossia c2t2 - x2 = 0
• E è chiamato light-like
separated dall'evento
origine O con coordinate
(0,0)
• S(E, O)2 = c2(tE, O)2 (xE, O)2 = 0
Eventi light-like separated
• Prendiamo due qualsiasi
eventi E1 ed E2 le cui
coordinate identificano
punti che giacciono in una
delle rette che delimitano
i coni. La loro distanza
spazio-temporale deve
essere zero, sulla base
dell'equazione
•
S2 = c2t2 - x2
• In questi casi gli eventi
sono "light-like
separated".
light-like separated
• Possiamo pensare ad E1 come ad un segnale luminoso
partito dal punto 0 prima del nostro segnale "origine"
(segnale all'origine del sistema di riferimento) che
raggiunge il luogo x1 (prima del segnale origine).
Analogamente pensiamo a E2 come a un segnale che
dal punto 0 raggiunge il luogo x2 (prima del segnale
origine) (assumendo che x2 è più lontano dal punto 0
di x1, E2 parte prima di E1)
• Per es., E1 accade nell'istante ct (dopo la prima unità di
tempo) e quindi, per E1, x = ct, mentre E2 accade
nell'istante 2ct (dopo la seconda unità di tempo) e
quindi, per E2, x = 2 ct
• La distanza temporale, t, tra E1 ed E2 è quindi 2ct - ct = ct.
• Ovviamente otteniamo lo stesso valore per la distanza spaziale
• Quindi S(E1, E2)2 = c2(tE1, E2)2 - (xE1, E2)2 = (2ct - ct )2 - (2ct - ct )2 =
0
• 0 = 0 e quindi in questo caso la distanza spazio-temporale è nulla
• NB: abbiamo detto che E1 ed E2 avvengono in due località diverse
in due istanti diversi
• Eppure diciamo che la loro "distanza" spazio-temporale è nulla
• Evidentemente stiamo usando "distanza" in un senso che non
coincide esattamente con quello del senso comune
Eventi time-like separated
• Un evento E dentro il cono
di luce è time-like separated
dall'evento origine O.
• E ha coordinate x e ct tali
che c2t2 - x2 > 0. Per E vale:
• S(E, O)2 = c2(tE, O)2 - (xE,
2
O) > 0
• La distanza temporale di E
da O è maggiore di quella
spaziale(lo spazio che la
luce percorre nell'unità di
tempo è maggiore dello
spazio che li separa)
• In generale, per eventi E1 ed E2 entro i coni di
luce abbiamo
• S(E1, E2)2 = c2(tE1, E2)2 - (xE1, E2)2 > 0
• in questo caso sono "time-like separated"
• Chiaramente la distanza temporale deve
essere maggiore di quella spaziale
• Per es., E1 ha cordinate t = ct, x = 1/2ct, mentre, per E2, t =
2ct, x = ct
• Insomma, la loro distanza TEMPORALE è il doppio di quella
SPAZIALE
• Possiamo pensare a E1 come ad un oggetto che trovandosi
a distanza 1/2c (circa 150 000 km) dall'origine viene
illuminato dal segnale origine 1/2 sec. dopo la partenza di
quest'ultimo (essendo c = 300 000 km/s)
• Possiamo pensare a E2 come ad un oggetto che trovandosi
a distanza c (circa 300.000 km) dall'origine viene illuminato
dal segnale origine 1 sec. dopo la partenza di quest'ultimo
• gli eventi nel cono superiori sono quelli che il nostro
evento origine influenza o può in linea di principio
influenzare causalmente
• Analogamente, gli eventi nel cono inferiore sono quelli
che in linea di principio hanno influenzato o avrebbero
potuto influenzare l'evento origine
• Possiamo pensare a un evento E nel cono inferiore
come a un segnale luminoso che trovandosi a distanza
1/2c (120.000 km CHECK) dall'origine illumina il nostro
punto origine 1/2 sec. prima che da quest'ultimo parte
il segnale origine
Eventi space-like separated
• Un evento E fuori dal cono
di luce E è space-like
separated dall'evento
origine O.
• E ha coordinate x e ct tali
che c2t2 - x2 < 0. Per E vale:
• S(E, O)2 = c2(tE, O)2 - (xE,
2
O) < 0
• La distanza temporale di E
da O è minore di quella
spaziale (lo spazio che la
luce percorre nell'unità di
tempo è minore dello
spazio che li separa)
Eventi space-like separated
• Per eventiE1 ed E2 al
di fuori coni di luce
abbiamo
S(E1, E2)2 =
c2(tE1, E2)2 - (xE1, E2)2 <
0
• in questo caso sono
"space-like separated".
• Per eventi space-like separated, la loro distanza
spaziale dal segnale origine è troppo grande perché il
segnale origine possa influenzarli causalmente
• Pensiamo ad E1 come ad un segnale inviato da un
punto distante dall'origine più dello spazio che la luce
percorre in un secondo
• Da E1 si diparte un segnale che dopo un attimo
influenza una regione vicina (evento E2)
• Chiaramente, il nostro segnale origine non può arrivare
in tempo per influire su questo rapporto causale tra E1
ed E2
• NB: gli eventi che sono "space-like separated" hanno come
valore della distanza spazio-temporale un numero
immaginario, ossia tale valore è il risultato dell'estrazione
della radice quadrata di un numero negativo
• Ecco perché preferiamo rappresentare la distanza spaziotemporale c2(tE1, E2)2 - (xE1, E2)2 piuttosto che come (xE1,
2
2
2
E2) - c (tE1, E2) .
• E' difficile pensare ad un numero immaginario come ad una
grandezza fisica e ne riserviamo l'uso alla trattazione di
eventi causalmente separati.
• Però, anche per questo motivo (oltre a ciò che abbiamo
visto per "light-like separated events") l'uso di "distanza" in
"distanza spazio-temporale" non rispecchia l'uso comune
Seguendo Dorato, p. 130,
• Consideriamo un certo evento p in un certo istante t nel
luogo L. Nella figura 3 di p. 130, i due lati del triangolo sotto
p rappresentano due raggi luminosi lanciati prima di p
verso L. I lati del triangolo sopra p rappresentano due raggi
luminosi lanciati da p. L'interno del triangolo superiore
rappresenta il futuro di p. Contiene tutti gli eventi che p
può in linea di principio influenzare causalmente, quelli a
cui potrebbe partecipare se viaggiasse alla velocità della
luce
• L'interno del triangolo inferiore rappresenta il passato di p.
Contiene tutti gli eventi che potrebbero in linea di principio
influenzare causalmente p, quelli a cui p avrebbe potuto
partecipare se avesse viaggiato alla velocità della luce
Seguendo Toraldo Di Francia, p. 182
• Al posto di p abbiamo l'evento "io-ora", il luogo in
cui mi trovo in questo momento e lo
rappresentiamo con l'origine 0 degli assi
cartesiani dove le ascisse rappresentano una
dimensione spaziale (lungo la quale mi muovo) e
le ordinate, che indichiamo, con ct, il tempo
moltiplicato velocità della luce. Si prendono le
due rette x = ct e x = -ct per ottenere i due
triangoli. Risulta chiaro quindi che i punti, più
sono all'interno del triangolo superiore più
rappresentano luoghi spazialmente vicini a io-ora.
E analogamente per il triangolo inferiore.
Terminologia italiana (da Dorato)
• Tutti i punti fuori dai triangoli rappresentato luoghi o eventi
con i quali io-ora non posso essere in linea di principio
causalmente connesso. L'insieme di questi punti viene
chiamato la regione di genere spazio di io-ora (o di p).
• Tale regione contiene eventi del genere spazio, che non
possono essere né possibili cause né possibili effetti di ioora.
• I due triangoli (coni) sono invece il futuro assoluto e il
passato assoluto di io-ora (di p). Sono la regione del genere
tempo.
• Contengono eventi del genere tempo (relativamente a ioora), sono possibili cause o effetti di io-ora.
Assolutezza delle distinzioni
appena viste
• Il valore (S)2 (e dunque la distanza spazio-temporale) è lo stesso per tutti
i sistemi di riferimento, è assoluto. Quindi tale è la classificazione in "lightlike separated", "time-like separated" e "space-like separated" (Lorentz
invariant).
• Inoltre, indicando con N l'evento all'origine, tutti gli osservatori
giudicheranno gli eventi nel cono superiore nel "futuro assoluto di N" e
quelli nel cono inferiore nel "passato assoluto di N".
• Inoltre gli eventi al di fuori dei coni sono per tutti gli osservatori nell'
"assoluto altrove di N". Solo gli eventi nel cono inferiore possono
causalmente influenzare N e solo quelli nel cono superiore possono essere
causalmente influenzati da N (Bourne p. 153).
• Data l'invarianza della velocità della luce se un evento è del genere tempo
per N, allora che esso sia nel passato o nel futuro di N è un fatto oggettivo,
ossia indipendente dall'osservatore inerziale che formula il giudizio e dalla
sua velocità (Dorato 131, che usa "p" invece di "N").
Dati due eventi p e q, esistono
sistemi di riferimento (osservatori
inerziali) per i quali un certo evento
p è prima di un altro evento q, altri
per i quali p è dopo q, e altri per i
quali p è simultaneo con q ?
• Risposta: sì, se i due eventi p e q sono separati
da un intervallo spazio-temporale del genere
spazio (Dorato p. 132), ossia se la loro distanza
spaziale è superiore a quella temporale, ossia
se la loro distanza spaziale è maggiore della
distanza che la luce può coprire nel tempo tp tq (Toraldo di Francia, p. 181)
• Per un sistema K, E2 viene dopo E1 se tE2 - tE1 >
0
• Supponiamo che per K, tE2 - tE1 > 0
• Possiamo avere un sistema K' tale che t'E2 - t'E1 =
0 oppure t'E2 - t'E1 < 0 (ordine temporale
invertito)?
• Risposta. No, se gli eventi sono time-like
separated. Sì, se sono space-like separated
• Sembra seguirne che non solo le A-proprietà, ma
anche le B-relazioni sono soggettive
Lez. 20
31/3/10
ANNUNCIO
• L'esame intermedio, erroneamente fissato per
il 7 Aprile si svolgerà invece il
• 14 APRILE ORE 12
• (il 7 Aprile infatti cade nel periodo di
sospensione delle lezioni, ossia 1 Aprile - 11
Aprile
Dorato, pp. 134-135
• I coni di luce superiore e inferiore ci dicono cosa è futuro e
cosa è passato rispetto ad un certo evento (dal quale si
diramano le rette che danno vita al cono)
• Le distinzioni temporali che possiamo fare da questo punto
di vista sono invarianti, assolute
• Ciò è dovuto al fatto che sono basate su un singolo evento
(punto dello spazio tempo)
• Gli eventi al di fuori dei coni di luce sono tagliati fuori da
questo ordinamento temporale
• Se vogliamo un ordinamento temporale totale dobbiamo
considerare tutti gli eventi simultanei con un "qui-ora", ma
questo lo possiamo fare relativamente ad un certo sistema
di riferimento
Il mazzo di carte
• Ogni osservatore con il suo sistema inerziale si può pensare situato
in un certo punto in un certo istante, il suo qui-ora. Dal suo punto di
vista c'è un piano di simultaneità (una carta del mazzo), che
comprende tutti gli eventi simultanei con tale qui-ora (possiamo
immaginarci che un osservatore determina il piano di simultaneità
con il metodo di sincronizzazione degli orologi (Craig, p 74))
• Gli eventi nelle carte che stanno sotto sono passati rispetto a tale
qui-ora
• Quelli nelle carte superiori sono futuri
• Le carte ce le immaginiamo infilzate in un asse temporale
• Relativamente a tale osservatore TUTTI gli eventi sono ordinati
temporalmente
• Il prezzo da pagare per tale ordinamento totale è che è relativo:
cambia da un sistema all'altro (come vedremo)
• In particolare, come abbiamo detto la volta
scorsa, l'ordinamento temporale varia da un
osservatore K a ad un altro K', se si
considerano eventi del genere spazio dal
punto di vista di K
Inversione temporale
• Consideriamo due eventi A ed B che sono space-like
separated.
• Per essi vale, cioè S(A, B)2 = c2(tA, B)2 - (xA, B)2 < 0.
• Insomma dal punto di vista di un generico sistema K,
vale c2(tB -tA)2 - (xB - xA)2 < 0
• Supponiamo che dal punto di vista di K, A viene prima
di B, ossia tB - tA > 0.
• Date queste condizioni, (i) esiste un sistema di
riferimento K' tale che, per K', B viene prima di A, ossia
t'B - t'A < 0, (ii) esiste un sistema di riferimento K' tale
che, per K', B ed A sono simultanei, ossia t'B - t'A = 0,.
Esempio di Penrose
• Illustriamo (i) esiste un sistema di riferimento K' tale
che, per K', B viene prima di A, ossia t'B - t'A < 0, con un
esempio tratto da Penrose, The emperor's new mind
(1989)
• Consideriamo due eventi.
• L'evento A, sulla terra, è l'incrociarsi di due persone P1
e P2, P1 fermo e P2 che si muove verso l'altro con V = 2
(km/s).
• L'evento B, nella costellazione di Andromeda (distante
20 000 000 000 000 000 000 km dalla terra,
abbreviamo con G questo valore), è la partenza di una
spedizione contro la terra.
• Supponiamo che all'accadere di A, per P1, B
deve ancora avvenire (è successivo
relativamente al suo piano di simultaneità)
• Assumendo che P2 si muove nella direzione
DA Andromeda verso P1, allora per P2 l'evento
B è già passato.
Prova
• Poniamo (per P1) tA = 0 (orologio fissato a zero quando
c'è l'incrocio con P2) e tB = 1, ossia t'B - t'A > 0 = 1 (per
P1 la spedizione da Andromeda è futura).
• Assumiamo che 0 è il valore della coordinata spaziale
per P1 dell'evento A e che G è il valore della coordinata
spaziale per P1 dell'evento B
• Notiamo che in questo caso abbiamo c2(tB -tA)2 - (xB xA)2 = c2(1 - 0)2 - (G - 0)2 = c2 - G2 < 0, perché G è un
valore molto superiore a c; ossia i due eventi sono per
l'appunto space-like separated .
• Applichiamo le trasformazioni di Lorentz per vedere
cosa succede dal punto di vista di P2
t'A = (0 - (2/c2)0)/ (1- 22/c2) = 0
t'B = (1 - (2/c2)G)/ (1- 22/c2)
(1- 22/c2) è un numero positivo molto piccolo (tra 0 e 1)
(1 - (2/c2)G) è un numero negativo perché (2/c2)G >1
Quindi, t'B è un numero negativo
Quindi, t'B < t'A, ossia t'B - t'A < 0
Insomma, per P2, la spedizione da Andromeda è già partita,
quando avviene l'incontro con P1.
• Questa inversione viene considerata accettabile perché non
ci può essere rapporto causale (assumendo che non c'è
segnale più veloce della luce)
•
•
•
•
•
•
•
simultaneità per K'
•
•
•
•
•
•
•
•
Abbiamo visto che
t'A = 0
t'B = (1 - (2/c2)G)/ (1- 22/c2)
Quindi, per un valore di G che soddisfa
l'equazione (2/c2)G = 1, otteniamo
t'B = 0/ (1- 22/c2) = 0 = t'A
Per avere (2/c2)G = 1, ci vuole 2G = c2
Ossia, G = (1/2) c2
Insomma, Andromeda dovrebbe essere un po'
più vicina alla Terra
illustrazione grafica da wikipedia
• Event B is simultaneous with A in
the green reference frame, but it
occurred before in the blue
frame, and will occur later in the
red frame.
• L'idea è di restringere l'angolo
degli assi cartesiani in
proporzione alla velocità con cui il
sistema blu o rosso si muove
rispetto a quello verde
• L'asse temporale va piegato verso
sinistra (blu) se il sistema si
muove verso l'evento (che quindi
occorre prima)
• Sinceriamoci che, finché consideriamo eventi
del genere tempo, l'ordinamento temporale
non cambia
• Consideriamo due eventi A ed B che sono time-like
separated. Per essi vale
• S(A, B)2 = c2(tA, B)2 - (xA, B)2 > 0.
• Insomma dal punto di vista di un generico sistema K,
vale
• c2(tB -tA)2 - (xB - xA)2 > 0
• Supponiamo inoltre che dal punto di vista di K, A viene
prima di B, ossia tB - tA > 0.
• Date queste condizioni, non esiste un sistema di
riferimento K' tale che, per K', B viene prima di A, ossia
t'B - t'A < 0.
Esempio
• Se dall'origine del sistema K si diparte un cono di luce,
questi eventi, A e B, sono all'interno di uno dei coni,
supponiamo nel cono del futuro dell'evento origine O
con coordinata (0,0). L'evento A, supponiamo, è il
raggiungimento da parte di un segnale A, partito al
momento 0 e la cui velocità è 1/2c, di un punto a
150000 km dall'origine.
• Quindi, xA = 150 00 e tA = 300000 = c.
• L'evento B, supponiamo, è il raggiungimento da parte
di un segnale B, partito al momento 0 e la cui velocità è
1/2c, di un punto a 300 000 km dall'origine.
• Quindi, xB = 300 000 e tB = 600000 = 2c.