Principi di
Elaborazione Digitale
dei Segnali
SERIE TEMPORALI
 Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO
(problemi dinamici)
 Introduzione della variabile t
 Analisi nel dominio del tempo
 Analisi nel dominio della frequenza
ES-1
ES-2
Serie temporali e computer
 I segnali del mondo reale possono essere modellati come
funzioni reali x(•) di una variabile reale t (segnali analogici).
Hp :
x() smooth


-
x 2 t    (energia finita)
 Necessità di segnali campionati
A/D
segnale
x(T)
converter
T
xnT   xT , x2T ,  , xNT 
 Teorema di Nyquist
x(NT)
sequenza
nT
T = periodo di campionamento
{x(nT)} = sequenza
ES-3
Dal segnale discreto al vettore
Hp: x(t) ad energia finita

{x(nT)} di lunghezza finita NT
xn  xn, xn 1,  xn  i  , xn  N 1
Proiezione lungo l’asse Fi
Punto dello spazio
N-D
FN1
x(n-N+1)
x  xn , xn  1,  xn  i   , xn  N  1
L x  
N 1
2
x
 i 
i 0
 E
{x(n)} = x
F1
T
x(n-1)
x(n)
F0
Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore in uno spazio
N-dimensionale
ES-4
L’operatore ritardo
x  xn , xn  1,  xn  i   , xn  N  1

N 1
  xn  i   xi   F i 
x   xi   F i

i 0

 F i   n  i 
1
n

0

delta di Dirac
 n   
n0
0
N 1
x   xi    n  i 
i 0
  basi per rappresentare i segnali discreti
nel dominio del tempo
x(n)
x(n)
x(n)
Z-1
x(n-1)
operatore ritardo
Z-1
x(n-1)
Z-1
x(n-N+1)
linea di ritardo
ES-5
Lo spazio del segnale
input asse x
x(n-3)
x(n-2)
x(n-1)
z
x(n)
Traiettoria
del Segnale
Z-1
asse y
Z-1
asse z
x(n)
x(n-4)
x(n-3)
x(n-2)
x(n-1)
x(n-3)
x(n-5)
x(n-4)
x(n-3)
x(n-2)
linea di ritardo x(n-3)
x(n-2)
x(n-1)
x(n)
x
x(n-2)
x(n-1)
y
Spazio di ricostruzione
o
Spazio del segnale
 La “traiettoria” dipende dalle proprietà della serie temporale e
può permettere ad un sistema connesso all’output della linea di
ritardo di estrarre il modello della serie.
Un enorme numero di campioni  enorme dimensione dello spazio
Sottospazio del segnale
Il sottospazio del segnale
Segnale periodico
(K campioni)
ES-6
Spazio K’- dimensionale (K’ K )
K’ dipende dalla complessità della traiettoria
x
t
basta 1-D
x1
K’ = 1
x1
x
bastano 2-D
(2 << K )
x2
K’ = 2
Mappaggio uno a uno tra
traiettoria e serie temporale
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
20
40
60
80
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1
Potrebbe servire K-D
K’=K
? ?
?
?
ES-7
Trovare la dimensione K’ dello spazio di ricostruzione che
quantifichi appropriatamente le proprietà del segnale
x(NT)
x(T)
1
2
K’
Finestra temporale “sliding”
IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE)
N
y n    wi xn  i   w xn   x n w
T
i 0
xn   xn  xn  1 
w  w0
w1

x(n)
xn N
x(n-1)
y(n) ha l’espressione vista nelle
reti Hebbiane
pesi
w1
z-1 w2
wN 
FIR  FINITE IMPULSE RESPONSE
(risposta impulsiva finita)
w0
z-1
T
ES-8
z-1
x(n-N)
Linea di ritardo
S
y(n)
ES-9
x(n-N)
N
x
y n    wi xn  i   w xn 
T
x(n-1)
i 0
 y è la proiezione di x sul vettore peso w 
x(n)
 Il C.L. è un proiettore lineare dell’input nello spazio del segnale,
secondo la direzione dei pesi
 La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo l’informazione
contenuta nell’input
Idea base del filtraggio
Esempi di filtraggio
ES-10
ES-11
ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO
(SISTEMI LINEARI)
La risposta impulsiva
xn   n  yn  h(n)
Risposta impulsiva [h(n)]
Descrive completamente un sistema lineare
per il combinatore lineare
 hn    wi n  i   w0 n   w1 n  1    wN  n  N 
i 0
 (n)
w2
w0
w1
h(i) = wi
z-1 w0
w1 
-1
N
z
w2
h(0) h(1) h(2)
La h(n) di un C.L. ha lunghezza finita  FIR
h3
ES-12
La convoluzione
y(n)
risposta ad un generico input x(n)
y n   xn   hn  
 convoluzione


i  
i  
 xi  hn  i    xn  i  hi 
N
N
y n   xn   hn    xi   hn  i    xn  i   hi 
i 0
sistema causale
i 0
Per il combinatore lineare
 y 0   w0  x0   0
 y 1  w  x1  w  x0 
0
1

 y 2   w0  x2   w1  x1  w2  x0 

 y 3  w0  x3  w1  x2   w2  x1
 y 4   w  x3  w  x2 
1
2

 y 5  w2  x3

 y 6   0
x  x0 x1 x2 x3 M  4
w  w0 w1 w2 
N 2
M + N campioni
(notare la pesantezza del calcolo)
ES-13
Sistemi ricorrenti e stabilità
IL FILTRO IIR
Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni ricorrenti o feedback
output
Esempio:  y n   1     y n  1  xn 
y(n)

x(n)
 y 0  0
-1
z
+
 Eq.ne alle differenze
y(n-1)
h0  0  1
1-

h1  1     0

Coefficiente di feedback
2




h
2

1






n
hn   1   
La h(n) ha estensione infinita IIR  Infinite Impulse Response
(risposta impulsiva infinita)
input
Analisi della stabilità
1 h(n)
0<<1
ES-14
 decrescente
stabile
n
=0
1
h(n)
n
< 0
marginalmente stabile
h(n)
instabile
1
n
Obiettivo dell’elaborazione dei segnali: avere un sistema che
risponda all’input  a risposta impulsiva di durata finita
Importanza del coefficiente di feedback
ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
ES-15
Descrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO

x(t)
{x(n)}
n = 0, … , N-1
Tf = N Tc
Intervallo di campionamento
Numero di campioni
t
Tc
n=0
x(n)
n=N-1
generico campione
n = 0, … , N-1
N 1
xc t    xn    t  nTc 
n 0
segnale campionato
ES-16
La trasformata di Fourier
N 1
xc t    xn    t  nTc 
n 0
N 1
X  f    xn   e j 2fnTc
Trasformata di Fourier
del segnale
n 0
X( f )
x(t)
t
Tc
N numeri
Tf = N Tc
(N-1)Tc
0
fc/2
fc
Spettro continuo
fc
ES-17
La trasformata di Fourier discreta (DFT)
N 1
X k    xn   e
 j 2 k f f nTc
n0
N 1
  xn   e
j
2
kn
N
DFT
n 0
2
j n
1 N
xn    X k  e N
N k 1
IDFT
X (k)
Tf = NTc
t
Tc
T f  N Tc
N-1
N CAMPIONI
fc
1
 ff 

N N Tc
ff
fc/2
Spettro di N righe
k
ES-18
(n - N +1)
x(N -1)
X(N -1)
(n - 1)
x(1)
x(0)
Dominio del tempo
x(k)  R
X(1)
(n)
X(0)
Dominio della frequenza
X(k)  C
X(k) = k - esimo coeff. di Fourier
{X(k)} = trasformata di Fourier discreta
DFT o spettro
{|X(k)|} = spettro delle ampiezze
{/ X(k)} = spettro delle fasi
ES-19
La Z-trasformata

zC
X  z    xn   z  n
xn 
n  

 n  1 D z     n  1  z  n  z 1
z-1
n  
operatore ritardo
Combinatore lineare
N
y n    hi xn  i 
i 0
Y z  


N
 h(i)  xn  i  z
n   i  0
N
  h(i ) 
i 0

 xn z
n  
 n i
n
N
  h(i ) 
i 0
N

n


x
n

i

z


n  
  h(i ) z 
i 0
i

n


x
n

i

z
 H z   X z 

n  
Y z   H z   X z 
Y z   Z yn; X z   Z xn; H z   Z hn
La funzione di trasferimento
Y z 
H z  
X z 
N
Funzione di trasferimento
H z    h(i ) z i  Z hn 
i 0
ES-20
Z-trasformata della risposta impulsiva
(polinomio algebrico)
yn  xn hn
Convoluzione in t
Y n  X z  H z 
Moltiplicazione in z
ES-21
La risposta in frequenza
xn   e j nT
y n  


k  
xn  k   hk    e j T n  k hk   e j nT   e  j Tk hk  
 xn    hk   z k
k
H(e jt) = H’()
k
k
z  e  j T

 x(n)  H z  z ei T  xn   H e j T

risposta in frequenza
H’() è H(z) calcolata nel cerchio unitario |e j T|
Im(z)
z =j
z

Re(z)
z =1
z =-1
z =-j

z
0
/T
1
-1
/2T
j
 /T
1
H’() è periodica in 
con 2/T (come e jT)
ES-22
H '    H e jT    hk   e  jkT
k
DFT della risposta impulsiva
Proprietà:
Risposta a regime
Calcolo veloce (FFT)
H’()  C |H’(|
/ H’()
ES-23
Poli e zeri della risposta in frequenza
y n   1     y n  1  xn   y n   1     y n  1  xn 
Y  z   [1  (1   ) z 1 ]  X ( z )
z
1

H z  
zeri: z = 0
1
z  1   
1  1     z
poli: z = 1-
polo
Osservazioni qualitative:
 
H e   0
H e j0T  0

j 0T

Stabilità
0<1
H ' 0   0
H ' 0  ha una valle
Polo nel cerchio unitario
zero
ES-24
Filtri lineari
x(N)
x(1)
y(N)
y(1)
H(k)
kcut
Tc
Segnale +
Rumore ad alta frequenza
Tf = N Tc
|X(k)|
Segnale filtrato
fc
1
ff 

NTc N
|Y(k)|
|H(k)|
rumore
k
k
f
fc
2
1
kcut
PASSA – BASSO
N
1
N
ES-25
|H’()|
|H’()|
|H’()|
f
f
fc
Passa - basso
fc
Passa - banda
N
y n    wi  xn  i 
i 0
Per la scelta dei wi :
Procedura di sintesi
Procedure di ottimizzazione
f
fc
Passa - alto