PROIEZIONI
ASSONOMETRIC
HE
FONDAMENTI DI GEOMETRIA PROIETTIVA
I metodi della geometria descrittiva
La geometria descrittiva, utilizzando le proprietà della
geometria proiettiva, ha creato diversi metodi di
rappresentazione. Distinguiamo due gruppi principali di
proiezione:
- Il centro di proiezione è un punto proprio,
tutti i raggi proiettanti convergono in esso:
si hanno le proiezioni centrali o coniche
- Il centro di proiezione è all’infinito,
tutti i raggi proiettanti sono paralleli tra di loro:
si hanno le proiezioni parallele o cilindriche
FONDAMENTI DI GEOMETRIA PROIETTIVA
I metodi della geometria descrittiva
Il metodo delle proiezioni centrali è anche
denominato:
-prospettiva
Le proiezioni parallele si distinguono in:
- proiezioni ortogonali (di Monge)
- proiezioni assonometriche
- proiezioni quotate
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Le proiezioni ortogonali, alla Monge, consentono di descrivere gli
oggetti tridimensionali usando più viste bidimensionali.
Le proiezioni assonometriche e le prospettive consentono, invece,
di avere una vista tridimensionale dell’oggetto.
Se C è un punto proprio:
Proiezione conica o prospettiva
Se C è un punto improprio:
Proiezione parallela
assonometrica o assonometria
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Elementi fondamentali:
- il centro di proiezione (a distanza infinita) = direzione assonometrica
- il piano di quadro π su cui proiettare (detto quadro assonometrico)
- l’oggetto da rappresentare
L’immagine P’ del punto P è
definita dall’intersezione tra il
raggio proiettante passante per P
(e parallelo alla direzione
assonom.) e il piano di quadro π.
Fissato P è univocamente
determinata la sua immagine P’.
Data l’immagine P’ non è però
possibile risalire al punto P nello
spazio.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Il piano di quadro e la direzione dei raggi proiettanti sono necessari
per ottenere un’immagine assonometrica, ma non sono sufficienti a
risalire alla posizione dell’oggetto che l’ha determinata.
Perché la corrispondenza tra P e P’ sia biunivoca, è necessario
aumentare il numero degli elementi di riferimento dell’assonometria.
A tal fine si associa all’oggetto da rappresentare un terna di piani
ortogonali (detti piani di riferimento): l’oggetto viene correlato con
essi attraverso tre proiezioni ortogonali effettuate sui tre piani.
La rappresentazione assonometrica consiste nel proiettare sul
piano di quadro non solo l’oggetto, ma anche le sue proiezioni
ortogonali.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
uz
ux
uy
u’z
u’y
u’x
Elementi di riferimento:
- Quadro assonometrico: π (su cui si proietta l’el. da rappresentare)
- Piani di riferimento: π1, π2 e π3
- Assi di riferimento: x, y, z
- Assi assonometrici: x’, y’, z’
- Unità di misura: u=ux=uy=uz (segmento di lunghezza unitaria)
- Unità assonometriche: u’x, u’y, u’z (proiezione di u sui tre assi)
- Direzione della proiezione assonometrica (obliqua o ortogonale
al quadro assonometrico)
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
La direzione assonometrica può assumere infinite posizioni nello
spazio:
- Se la direzione è ortogonale al piano di
quadro, l’assonometria si definisce
ortogonale;
- Se i raggi sono diversamente inclinati
rispetto al piano di quadro, la assonometria
si dice obliqua.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Ulteriori elementi di classificazione
delle proiezioni assonometriche:
Gli angoli che formano tra di loro
nella rappresentazione
assonometrica i tre assi cartesiani x’,
y’, e z’, che nella realtà sono tra di
loro ortogonali (x, y, z).
Al variare delle unità metriche,
l’assonometria prende il nome di
isometrica (o monometrica),
dimetrica o, infine, trimetrica, a
seconda che l’unità di misura sia
uguale su tutti e tre gli assi, solo su
due, o differente sui tre assi.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria ortogonale
Un’assonometria è ortogonale quando la direzione dei raggi
proiettanti è ortogonale al piano di quadro π.
Si considerino i piani di
riferimento π1, π2 e π3 ed un
quarto piano generico π.
Il piano di quadro π interseca i
tre piani fondamentali lungo tre
rette, dette tracce.
La figura delimitata dalle tre
tracce, il triangolo ABC, è
definito triangolo fondamentale
o triangolo delle tracce.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria ortogonale
Si proiettano, da un centro di proiezione
all’infinito e in direzione ortogonale al
piano assonometrico π, i segmenti AO,
BO, CO sul triangolo delle tracce.
Si avrà:
- O’, ortocentro del triangolo delle
tracce, proiezione di O sul triangolo
delle tracce;
-x’, y’, z’ (assi assonometrici), altezze
del triangolo delle tracce, proiezioni di x,
y, z sul triangolo stesso.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria ortogonale
Il raggio proiettante è ortogonale a π,
ma non al sistema di assi cartesiani.
Pertanto, gli assi di riferimento x, y, z
sono ortogonali tra di loro, ma proiettati
su π formano tre angoli diversi,
maggiori di 90°.
In funzione dell’inclinazione del piano
assonometrico rispetto ai piani
fondamentali si possono ottenere i tre
differenti tipi di assonometria:
isometrica, dimetrica e trimetrica.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria ortogonale isometrica
u
u
u
Il triangolo delle tracce
ABC è equilatero.
α = β = γ = 120°
u’x = u’y = u’z = u
Assonometria ortogonale isometrica di
un cubo.
Di facile impiego perché si riportano sui
3 assi le misure in vera grandezza.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria ortogonale dimetrica
½u
u
u
Il triangolo delle tracce
ABC è isoscele.
α= γ = 131° 30’
β = 97°
u’x = ½ u
u’y = u’z = u
Assonometria ortogonale
dimetrica di un cubo.
Usata soprattutto nel disegno
meccanico
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria ortogonale trimetrica
½u
u
Il triangolo delle tracce ABC è
scaleno.
α = 157°
β = 95°
γ = 108°
u’x = 1/2 u
u’y = 9/10 u
u’z = u
9/10 u
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria obliqua
Un’assonometria è obliqua quando la direzione dei raggi proiettanti è
obliqua rispetto al piano di quadro π.
Mentre l’assonometria ortogonale deve essere costruita, in genere,
con il rapporto di riduzione, nell’assonometria obliqua questi vincoli
non esistono e la proiezione gode di completa libertà.
Ciò è possibile sulla base di un teorema enunciato intorno alla metà
dell’Ottocento.
Teorema di Pohlke
Scelti sul piano di quadro π tre segmenti U’x, U’y e U’z, uscenti da
uno stesso punto O’, aventi lunghezze e direzioni arbitrarie, esiste
sempre un centro di proiezione all’infinito, individuato dalla direzione
l, tali che essi possono sempre essere considerati come proiezione
su π, dalla direzione l, di tre segmenti di uguale lunghezza U e a due
a due perpendicolari tra loro.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria obliqua
È dunque possibile definire innumerevoli tipi di assonometrie,
caratterizzate dal variare degli angoli della terna cartesiana e dai
diversi parametri metrici.
Anche nell’assonometria obliqua si costruiscono sistemi isometrici,
dimetrici e trimetrici.
L’assonometria è spesso eseguita senza scala di riduzione
assonometrica, con vantaggio grafico evidente, ma rischiando di
ottenere un’immagine deformata.
Nell’assonometria obliqua la terna di assi cartesiani può anche
essere disposta con due assi paralleli al piano di quadro.
Nell’assonometria ortogonale, invece, la terna cartesiana non può
essere disposta con uno o più assi paralleli al piano di quadro, in
quanto si ricadrebbe nel metodo delle proiezioni ortogonali.
Nella pratica professionale si ricorre a un numero limitato di
rappresentazioni assonometriche oblique.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria obliqua monometrica convenzionale, detta
MILITARE
È un’assonometria molto
usata in architettura, in
quanto consente di
disegnare la vera forma
della pianta degli
oggetti.
α = 90°
β = 120°
γ = 150°
È definita monometrica
convenzionale perché le
unità di misura
dovrebbero variare di
poco sui tre assi, per cui
si è scelto, per
convenzione, che esse
siano uguali.
u’x = u’y = u’z = u
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria obliqua CAVALIERA dimetrica
È la più diffusa.
Si mantiene inalterata la
forma della vista
frontale (prospetto).
α = 150°
β = 120°
γ = 90°
u’x = u’z = u
u’y = ½ u
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria obliqua CAVALIERA MILITARE
Questo sistema può
essere :
isometrico
u’x = u’y = u’z = u
oppure dimetrico
u’x = u’y = u
u’z = ½ u
α = 90°
β = γ = 135°
Il primo è di più rapida
esecuzione, ma
l’immagine risulta
deformata rispetto a
quella ottenuta con
l’assonometria dimetrica
(a cui si riferiscono i
disegni).
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Rappresentazione del punto
La rappresentazione del punto P è
data mediante la rappresentazione
assonometrica vera del punto P’ e
dalle sue tre proiezioni P’1, P’2 e P’3.
La posizione di P rispetto agli assi
cartesiani può essere desunta dalle
proiezioni ortogonali: i segmenti O’1,
O’2 e O’3 sono (tenuto conto
dell’eventuale variazione di rapporto
metrico su ciascun asse) le distanze di
P dai piani xy, yz e xz.
In particolare O’1 (su z’) è la quota di P, O’3 (su y’) l’aggetto rispetto al
piano xz, analogamente O’2 (su x’) l’aggetto rispetto al terzo piano di
proiezione yz.
Dati 1, 2 e 3 si conducono da essi le parallele ai tre assi per trovare, per
intersezione, P’ e le tre proiezioni sui tre piani coordinati.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Rappresentazione del punto
La rappresentazione del punto è data da 4
immagini (P’, P’1, P’2 e P’3) ma ne sono
sufficienti solo 2 per ricavare le altre.
Dati, ad esempio, Q’ e Q’2, si conducono da
Q’2 le parallele agli assi x’ e z’, per ottenere i
punti 1 e 2.
Si conduce da 1 la parallela a y’ e da Q’ la
parallela a x’, per ottenere Q’3. Con analogo
procedimento si ottiene Q’1.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Rappresentazione del punto
Rappresentazione assonometrica di
punti disposti in posizioni particolari
rispetto alla terna cartesiana:
- punto Q posto sul piano xy;
- punto P appartenente all’asse z.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria cavaliera di solidi
Dalle proiezioni ortogonali si traggono gli elementi geometrici per la
rappresentazione assonometrica.
Nelle assonometrie le misure della profondità, riportate sull’asse y, sono
ridotte della metà.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometria cavaliera di solidi
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Assonometrie oblique monometriche di solidi
Militare
Cavaliera militare