Progetto elementi in calcestruzzo armato Eurocodice 0: Vita prevista delle struttura (Design working life): Categorie di progetto Indicative vite di progetto (anni) esempi 1 10 Strutture provvisorie 2 da 10 a 25 Strutture sostituibili, e.g. gantry girders, appoggi 3 da 15 a 30 Strutture per agricoltura e similari 4 50 Strutture per edifici e strutture comuni 5 100 edifici monumentali, ponti, e altre strutture civili Durabilità “Una struttura deve essere progettata ed eseguita in modo tale da minimizzare i costi e, con le situazioni ambientali previste, con appropriati gradi di affidabilità, durante tutta la sua vita prevista: 1) rimanga adeguata all’uso per cui è costruita; 2) sopporti tutte le azioni e le influenze che possono verificarsi durante l’esecuzione e l’uso.” Deve essere inoltre progettata ed eseguita in modo da non essere danneggiata a seguito di eventi eccezionali (fuoco, esplosioni, impatti, errori umani) in modo sproporzionato alla causa. Definizioni (EC1) Fasi dell’analisi: 1) Definizione delle azioni F (singole e loro combinazioni); 2) Calcolo effetti delle azioni E (Sollecitazioni) – risposta della struttura; 3) Calcolo delle resistenze R; 4) Verifica. L’ADERENZA Il corretto funzionamento delle strutture in cemento armato dipende dalla effettiva possibilità che i due materiali costituenti, calcestruzzo ed acciaio, siano realmente solidali, cioè subiscano le stesse deformazioni. Questo comportamento è reso possibile dall’aderenza, il fenomeno attraverso cui si trasmettono gli sforzi tra i due materiali. Se una barra, annegata per una lunghezza l in un blocco di calcestruzzo, viene sollecitata a trazione fino allo sfilamento si distinguono diverse fasi. Inizialmente la forza cresce in assenza di scorrimenti; questa fase è dominata dai legami chimici, che si formano durante la presa, tra il cemento e l’acciaio. Superata la modesta resistenza offerta da questi legami, la forza può ancora crescere, ma con scorrimenti più elevati (secondo ramo della curva). Nelle barre lisce l’incremento di forza in questo tratto è piccolo e dipende dall’ingranamento tra il calcestruzzo e le microrugosità della superficie delle barre. Nel caso di barre ad aderenza migliorata questo incremento è più sensibile grazie all’ingranamento con le nervature sulla superficie delle barre; per vincere l’aderenza devono rompersi i denti di calcestruzzo che ostacolano lo scorrimento. La lunghezza di ancoraggio di base lb è la lunghezza di ancoraggio (misurata in asse alla barra, sia essa rettilinea o curva) ottenuta assumendo tensione di aderenza costante. Di solito si assume che la tensione sia costante su tutta la superficie a contatto; in questo caso la forza che può essere trasmessa fra una barra di acciaio di diametro Φ annegata nel calcestruzzo per una lunghezza lb è legata alla tensione τc di aderenza, dalla relazione: Fb = π Φ lb τc , Se alla barra si richiede di poter raggiungere una tensione di snervamento σy la forza necessaria risulta Fb = σy(π Φ2/4). Uguagliando le due relazioni si ottiene la lunghezza di ancoraggio di base lb lb = (σy Φ)/(4 τc) . Assumendo σy = 4400 kg/cm2, c = 20 kg/cm2 (limite di adesione chimica), si ottiene lb = (3555) Φ. Si comprende che se si desidera una trave che collassa solo con uno snervamento è necessario che la barra sia ancorata di 3555 volte il diametro. Per esempio una barra con diametro = 1,2 cm, verrà ancorata di 48 cm. L’AFFIDABILITÀ DI UN’OPERA deve essere valutata nei riguardi di: 1) SICUREZZA STRUTTURALE: nei riguardi di possibili dissesti - o disservizi; 2) DURABILITÀ: possibili fenomeni di degrado nel tempo degli elementi strutturali e non strutturali; 3) FUNZIONALITÀ: l’opera deve rispondere agli scopi per i quali è stata progettata. È possibile verificare o dimensionare strutture secondo i due diversi metodi, tensioni ammissibili e stati limite. Nell’analizzare le prescrizioni della normativa italiana occorre tenere presente che essa ha subito negli anni una progressiva evoluzione, dal metodo delle tensioni ammissibili a quello degli stati limite, non priva di resistenze e compromessi. Con le tensioni ammissibili si richiede che le azioni di calcolo non comportino in alcun punto della struttura il superamento della tensione corrispondente al limite ammissibile del materiale. Fino agli anni ‘60: Analisi puramente deterministiche con il Metodo delle tensioni ammissibili. Coefficiente di sicurezza: γ=Rmin/ Smax Rmin: “limite inferiore per le resistenze” Smax: “limite superiore per i carichi” Rmin, Smax definiti sulla base dell’esperienza sulle strutture già costruite. Difetti: 1) Definisce l’affidabilità sulla base di una valutazione puntuale dello stato tensionale. 2) I livelli di resistenza e delle azioni utilizzati non tengono in conto la natura probabilistica delle grandezze. 3) La mancanza di una definizione dei vari termini da cui dipende l’affidabilità della struttura non consente di differenziare i criteri di progetto per nuove strutture, int. recupero, opere provvisionali, ecc. 1964 -1973: Proposta del metodo dei coefficienti parziali (anche detto metodo semi-probabilistico). Grande successo nella progettazione strutturale. 1974 -1976:Redazione di numerosi codici di applicazione e di normative (es. Normativa Italiana e linee-guida del CEB), rimasti sostanzialmente inalterati fino ai giorni nostri. 1974 -1984: Sviluppo di analisi per calibrare i coefficienti del metodo (rimane però ancora molto da fare). 1991 (EC1): Codici come strumento di controllo del processo di Per produrre strutture affidabili (per confronto con strutture simili) nell’arco della vita utile della struttura. METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI Si basa su un comportamento elastico lineare delle strutture. Definizione delle azioni F : 1) Valori nominali; 2) Combinazioni di carico –somma dei valori nominali (indipendentemente dal fatto che sia improbabile avere tale contemporaneità). Calcolo effetti delle azioni E: Calcolo elastico lineare a livello di struttura e di sezione – CALCOLO DELLE TENSIONI. Calcolo Resistenza R: Calcolo elastico Lineare -> si deve avere un coefficiente di sicurezza rispetto alla tensione cui corrisponde la crisi del materiale: VERIFICA: σam = σcrit/γm Momenti di Predimensionamento delle travi Predimensionamento delle travi Trave portante: porta se stessa, il solaio e, se in posizione perimetrale, le tamponature o i parapetti; Trave perimetrale: porta se stessa, le tamponature o i parapetti; Trave portante della scala; Trave di collegamento: porta solo se stessa. Diagramma inviluppo approssimati per diverse condizioni di vincolo Diagrammi inviluppo approssimati TRAVI ALTE TRAVI IN SPESSORE Le travi in spessore presentano il vantaggio di risultare non visibili e di ridurre i costi della carpenteria. Per contro, sono molto meno rigide rispetto alle travi alte (maggiore momento d’inerzia I = bh3/12) e richiedono più armatura. Ingombri indicativi TRAVI ALTE: La larghezza usuale delle travi emergenti è compresa tra 15 e 40 cm. La dimensione più comune è 30 cm. In linea di massima la base della trave è pari alla larghezza del pilastro oppure è più sottile. Un criterio grossolano per dimensionare l’altezza di una trave portante è: H = L/(10 ÷12). TRAVI A SPESSORE: L’altezza di una trave a spessore è pari a quella del solaio. In caso di trave portante una regola grossolana permette di dimensionarne la base come: B = L/6. Nella pratica, la larghezza di una trave in spessore varia tra i 60 e i 120 cm. Predimensionamento dei pilastri (metodo tensioni ammissibili) I pilastri possono essere dimensionati in funzione di tutti i carichi verticali che gravano su di essi. Un metodo molto semplice è quello di individuare per ogni pilastro “i”, ad ogni piano “j”, la sua area d’influenza Aij e di calcolarne, anche grossolanamente, il peso tenendo conto sia del contributo dei carichi permanenti che di quelli variabili. La sezione del pilastro, quindi, al piano “k”, sarà dimensionata in base al carico complessivo Nik calcolato come: Nik = ∑j=1:n(k) Aij Wj + Pik , dove Wj è il carico per unità di superficie di solaio, Pjk è il peso del pilastro e n è il numero complessivo dei piani sopra il pilastro che si dimensiona. Predimensionamento dei pilastri La normativa italiana, prevede che la sezione di un pilastro soggetto a compressione semplice soddisfi la seguente condizione: Aik= Nik/ (0.7 x σc) Considerando che il dimensionamento a compressione semplice non tiene conto della presenza di momento flettente e che il pilastro è soggetto a una rottura di tipo fragile (è bene quindi che non lavori ai limiti delle sue possibilità), conviene amplificare la sezione minima prevista dalla normativa attraverso un coefficiente di sicurezza minore di 0.7. Ad esempio: Aik= Nik/ (0.5÷0.6 σc) Ipotesi per il dimensionamento del pilastro in c.a.: 1. Il calcestruzzo è un materiale omogeneo ed isotropo, con comportamento elastico e lineare. Il suo modulo di elasticità (o modulo di Young) dipende dalla composizione e risulta circa EC = 300000 kg/cm2. 2. Il modulo di elasticità dell’acciaio è ES=2050000 kg/ cm2. 3. I due materiali utilizzati, pur avendo un differente modulo di elasticità, hanno la medesima deformazione, a causa della perfetta adesione. 4. le sezioni trasversali rimangono piane anche dopo essere state deformate. AZIONE ASSIALE L’azione assiale di compressione N si ripartisce fra acciaio e calcestruzzo: N = Na + Nc. Ricordando che: tensione area = forza: A = F, si ottiene che: (S AS) + (C AC) = N. (equilibrio) Il pilastro sottoposto ad una forza di compressione N tende a deformarsi. Accorciamento N La deformazione sarà uguale sia per il calcestruzzo che per l’acciaio. Pertanto: = C = S = /l, (congruenza) dove è lo spostamento e l è la lunghezza iniziale della barra. Ricordando il legame costitutivo: C C , EC S S . ES Si ottiene: C S , EC ES ES S C . EC Il rapporto fra i moduli è il coefficiente di omogeneizzazione e viene indicato con la lettera n. Quindi sostituendo nella equazione di equilibro alla traslazione verticale, si ottiene: n (C AS) + (C AC) = N, da cui: N C . n AS AC Il valore del coefficiente di omogeneizzazione che si assume è n=15. E’ doveroso chiedersi perché sia stato attribuito questo valore a n; considerando che n è il rapporto tra i moduli di elasticità dei due materiali, il suo valore dovrebbe essere: E S 2050000 n 7 EC 300000 La motivazione è che i moduli di elasticità sono misurati in laboratorio istantaneamente, mentre gli edifici sono caricati con carichi prolungati nel tempo. Il comportamento dei due materiali sottoposti a carichi di lunga durata è molto diverso: mentre l’acciaio si deforma e poi si stabilizza, il calcestruzzo evidenzia deformazioni differite. Questo fenomeno per il calcestruzzo viene denominato viscosità e giustifica un valore più elevato del coefficiente n. Per viscosità la deformazione del cl cresce nel tempo a sforzo costante, quindi anche la deformazione dell’acciaio cresce e con essa lo sforzo nell’acciaio; quindi con n=15 colgo la situazione dopo lungo tempo. Esempio: si consideri un pilastro di sezione trasversale quadrata, soggetto a carico concentrato N di compressione. Le ipotesi note sono: - N = 800 kN, - c = 5 MPa. Come mostrato, è agevole calcolare l’area. Infatti: 40 Apilastro = 800000/5 mm2 = 1600 cm2. Se si considera che il pilastro può avere sezione trasversale quadrata, si può facilmente calcolare il lato della sezione. Quindi: Lato pilastro = 40 cm. E’ noto che in un pilastro quadrato sono necessari almeno quattro ferri di armatura La normativa prevede che la superficie delle sezioni trasversali delle barre sia: 0,003 Ap area barre 0,06 Ap A questo punto si inizia il calcolo delle armature del pilastro, del quale sono già note le dimensioni. Si ricorda che tali armature sono di due tipi: i ferri e le staffe. Questi elementi in acciaio hanno evidentemente funzioni diverse. Si considerino ora i ferri, il cui calcolo richiede diversi passaggi: 1. si ipotizza l’utilizzo di quattro ferri con diametro = 1.2 cm; 2. si calcola l’area delle sezioni trasversali delle barre: Area totale n barre area barra 1,2 2 4 4 4 1,12 4 ,48 cm 2 3. Si calcoli ora il rapporto tra l’area delle armature e quella del pilastro e si verifichi che il valore ottenuto sia compreso nei valori previsti dalla normativa: A barre 4 ,48 0,0028. AP 1600 Il valore ottenuto non è accettabile, se confrontato con i valori suddetti. 4. Si ipotizzi allora l’utilizzo di quattro ferri di diametro = 1,6 cm; se ne calcoli l’area totale e si confronti questo risultato con l’area del pilastro: Area barre n barre area barra 1,6 2 4 4 4 2 8 cm 2 A barre 8 0,005. AP 1600 Questo valore è accettabile e quindi l’ipotesi di utilizzare quattro 16 è corretta. 5. Ora si sostituiscano tutti i valori noti nella formula di verifica: si otterrà così il valore dello sforzo cui è sottoposto il calcestruzzo. Con N = 800 kN, n=15, Abarre= 8 cm2, AP= 1600 cm2, si ottiene: c = 4.65 MPa. 6. Si confronti lo sforzo calcolato con quello ammissibile effettivo. Si ricordi che lo sforzo ammissibile effettivo è dato da cam = 5.95 MPa = 0.7 c. La tensione ammissibile è stato ridotto del 30% perché nelle colonne infatti non si realizza mai un carico concentrato in un unico punto; inoltre mentre nelle travi si realizza l’ipotesi di compressione parziale della sezione, nei pilastri si verifica sempre una compressione totale della superficie, che in caso di rottura comporta un collasso di tipo fragile e quindi estremamente pericoloso. Ora si considerino le staffe. Queste sono costruite con ferri di diametro minimo = 6 mm. Il passo delle staffe, cioè la loro distanza, deve essere calcolato con la seguente formula: d = 15 steffa. Il passo delle staffe non deve comunque mai essere maggiore di 25 cm. Si ricordi che in prossimità degli estremi del pilastro è buona norma infittire le staffe, riducendo la distanza a metà passo. La normativa attuale antisismica impone un passo in prossimità dei nodi travecolonna dell’ordine di 6-7 cm. Le staffe svolgono importanti funzioni nella loro applicazione strutturale. Esse infatti servono: - per posizionare i ferri verticali; - per proteggere il pilastro da urti accidentali; - per contrastare il taglio; - per conferire stabilità ai ferri verticali. Un esempio particolarmente significativo è quello di un ferro verticale sollecitato a compressione. Tale barra tenderebbe a sbandare, a instabilizzarsi. Le staffe sono utili proprio per trattenere i ferri verticali e per annullare quindi gli effetti di instabilità provocati da un carico di punta sui ferri. Appare quindi evidente che non ha senso utilizzare staffe aperte, perché non riuscirebbero a svolgere la loro funzione. staffa chiusa Si ricorda che i diametri delle armature e delle staffe maggiormente usate sono: ARMATURE: STAFFE: =12 =6 =16 =8 =20 =12 Pilastri snelli Quando un pilastro è sollecitato da una forza di compressione se è snello, ossia il rapporto tra la dimensione longitudinale e quella trasversale è abbastanza elevato, insorgono altri effetti che ne modificano il comportamento rispetto a quello della sezione considerata isolatamente. In generale la variazione di configurazione causata dalla deformazione modifica le sollecitazioni che pertanto vengono a dipendere dalle deformazioni in modo tale che le equazioni di equilibrio divengono non lineari. Tuttavia, poiché normalmente gli spostamenti prodotti dai carichi sono piccoli, si ritiene che l’influenza di questi sulle sollecitazioni sia trascurabile e si assume che lo stato di sollecitazione coincida con quello relativo alla configurazione iniziale non deformata. Tale approssimazione, spesso verificata, è detta teoria del primo ordine e le sollecitazioni relative alla configurazione indeformata sollecitazioni del primo ordine. In alcuni casi però questa semplificazione non è accettabile in quanto gli effetti delle deformazioni sulle sollecitazioni non sono trascurabili; le variazioni delle sollecitazioni prodotte da questi fenomeni sono dette effetti del secondo ordine. Un esempio è l’asta di Eulero; un pilastro sollecitato da una forza di compressione N con eccentricità e. La deformazione prodotta dalla flessione aumenta l’eccentricità del carico e pertanto accresce l’entità della flessione: quando il carico approssima il valore critico euleriano l’equilibrio diviene impossibile, per quanto piccola sia l’eccentricità iniziale e. Al carico critico corrisponde una tensione critica: σcr = Ncr/A = π2E/λ2 , dove λ = lo /i è il rapporto tra la lunghezza libera di inflessione, che per la mensola è il doppio della lunghezza l, ed il raggio di inerzia i = (I/A); λ viene detta la snellezza della trave. Per elementi con piccola snellezza σcr risulta molto più grande della resistenza del materiale; per questi elementi (tozzi) il collasso avviene prima che gli effetti del secondo ordine possano divenire significativi e pertanto la teoria del primo ordine risulta soddisfacente. Al contrario, quando λ è molto elevato, la tensione critica è molto inferiore alla resistenza; per questi elementi il collasso sopraggiunge a causa dei fenomeni del secondo ordine mentre in loro assenza il materiale sarebbe ancora in campo elastico. I fenomeni di instabilità devono essere considerati per snellezze λ = (lo/ i) maggiori di 40, essendo lo la lunghezza libera di inflessione ed i il corrispondente raggio d’inerzia. Carico centrato Le verifiche dei pilastri compressi devono essere condotte secondo i criteri della Scienza e della Tecnica delle Costruzioni mettendo in conto le eccentricità non volute ed i fenomeni viscosi. In via cautelativa, per snellezze 40 < 80, si può effettuare la verifica utilizzando i coefficienti indicati nel successivo prospetto: Snellezza 40 50 60 70 80 coefficiente di amplificazione 1,00 1,30 1,60 1,90 2,30 LA FLESSIONE Esaminiamo il metodo per verificare il dimensionamento dei ferri d’armatura, in un caso di flessione retta. Si consideri una trave, la cui altezza sia h ed i cui ferri d’armatura distino dai bordi superiore ed inferiore di una distanza c. Equazioni di equilibrio: Equilibrio alla traslazione N = 0 C + C’ = T, Equilibrio alla rotazione M = C (d – x/3) + C’(d - c) . C d-c x d – x/3 - d = h-c; - C’ = risultante a compressione dell’acciaio; - C = risultante a compressione del cls; - T = risultante a trazione dei ferri d’armatura. E’ ora necessario ricordare alcune ipotesi: 1. le sezioni possono ruotare, ma rimangono piane (ipotesi di Navier); 2. il cls è omogeneo ed isotropo, con comportamento elastico e lineare; 3. l’acciaio è omogeneo ed isotropo, con comportamento elastico e lineare; 4. C = S, sia in zona compressa che in zona tesa (perfetta aderenza); 5. il cls non resiste a trazione. H 0, 1 C b x 'S A'S S A S 0 2 L’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale è stata espressa con le tensioni. Vi sono però tre tensioni incognite. Si cerca ora di esprimere tutte le incognite in funzione di una sola. Per questo si ricordino ora le uguaglianze dei triangoli simili e si sostituiscano alle deformazioni i valori degli sforzi. Si ottiene: C S C EC S ES 'S , , 'S ES . Quindi, ricordando la similitudine e sostituendo i valori delle tensioni, si ottiene: C C 'S S EC x E'S x c ES d x x Grazie a queste uguaglianze si riesce ad esprimere l’equazione di equilibrio in una sola incognita. Infatti si possono esprimere gli sforzi dell’acciaio (in trazione ed in compressione) in funzione dello sforzo del cls: 1 xc dx x b C A'S n C A S n C . 2 x x La tensione C è semplificabile. Quindi moltiplicando entrambi i membri per x, si ottiene una equazione di secondo grado in una incognita x. x1,2 n A'S n AS b n A'S n AS 2 n A'S c n AS d . b b 2 Ovviamente una delle due soluzioni non è accettabile in quanto negativa. La soluzione accettabile è quella che indica un asse neutro interno alla sezione considerata. Nota l’equazione e la posizione dell’asse neutro è possibile calcolare la massima tensione nel calcestruzzo tramite l’equazione di equilibrio alla rotazione M C x J id dove 1 x2 2 2 3 Jid bx bx n AS x c n AS d x 12 4 La tensione dei ferri tesi è: M S n d x J id PROGETTO DI MASSIMA DI UNA SEZIONE: Per poter calcolare le dimensioni delle armature è necessario prendere il valore massimo del momento. q l pl 8 2 Richiamando l’equazione risolvente precedente, si può dire che le uniche incognite sono la base b, l’area dei ferri compressi A’S e l’area dei ferri tesi AS. La prima incognita da calcolare è AS. Si consideri la figura, in cui sono visualizzate le risultanti a trazione e a compressione. C C'+C x 0,8d T La coppia di forze applicate rappresenta il momento resistente, il cui valore è stato calcolato precedentemente. Si ottiene: T 0,8d M pl 2 M 8 T S A S Considerando S=amm, si riesce a calcolare il valore dell’area dei ferri tesi: pl 2 S A S 0,8d 8 S amm 2600 kg2 cm Dal sistema si ottiene il valore dell’area AS . Ora bisogna calcolare l’incognita b, che è l’incognita più importante. E’ necessario ipotizzare un valore della base e verificare l’ipotesi fatta con le formule di verifica precedentemente esposte. Vengono fornite solamente due informazioni utili in fase di progettazione. Facendo un equilibrio attorno al baricentro dell’armatura tesa, adottando la _ tensione ammissibile del calcestruzzo σc e ipotizzando una zona compressa alta 0.3d (30% altezza utile), si ha: _ 1 σ _ 2 (0.12 ● σc ● b ● d2) = pl2/8 c ● b ● 0.3d ● 0.8d = pl /8 . 2 Dalla quale si ricava la base b che generalmente ha dimensione compresa tra 60120 cm; con un momento M = 50006000 [kN cm], la base può essere circa 80 cm. Infine è necessario dare alcune informazioni su come dimensionare l’area dei ferri compressi. La superficie dei ferri compressi dovrebbe essere circa il 25% di quella dei ferri tesi. Progetto di sezioni rettangolari a semplice armatura Per il progetto di sezioni rettangolari a semplice armatura si possono utilizzare semplici relazioni rielaborando le due equazioni di equilibrio. Si consideri una sezione rettangolare, come quella illustrata in Figura, con un solo livello di armatura e sollecitata a flessione retta da una coppia di momento M. Si vogliono determinare le dimensioni della sezione e l’armatura necessaria perché le tensioni massime nei materiali siano esattamente quelle ammissibili. Avendo solo due equazioni possono essere determinate solo due incognite; in genere si determina una dimensione fra b e d e l’area di acciaio in zona tesa. Questa relazioni si possono mettere nella forma: ____ d = r √ (M/b) oppure b = r2 M2/d, in cui r è un coefficiente, funzione di n e dei valori delle tensioni ammissibili dei materiali. _ As = M / ( ζ d σs ). _ I valori dei coefficienti r e ζ che compaiono nelle formule di progetto dipendono, oltre che dal coefficiente n, dalle tensioni ammissibili _ _del calcestruzzo e dell’acciaio e sono riportati, per i valori più frequenti di σc e σs, nella tabella. La seconda relazione è _ particolarmente importante; in essa l’unico parametro che dipende da σc e da n è il coefficiente del braccio delle forze interne ζ. Un esame della tabella dimostra che ζ è poco sensibile alle variazioni delle tensioni ammissibili: nel campo dei valori riportati in tabella la variazione è circa compresa tra 0.8 e 0.9. Questo fatto è importante per diversi motivi: 1) giustifica in parte l’adozione di un coefficiente di omogeneizzazione convenzionale, indipendente dal reale modulo elastico del calcestruzzo, in quanto l’area di armatura richiesta per resistere ad un momento M è praticamente indipendente dal valore di n; 2) consente di dimensionare l’armatura tesa occorrente, quando sia fissata l’altezza della sezione, senza necessità di determinare la tensione del calcestruzzo. Quest’ultima osservazione semplifica notevolmente il dimensionamento delle armature: si tenga presente che generalmente in una trave la sollecitazione massima viene raggiunta in una sezione; tuttavia, per ragioni costruttive, la sezione di calcestruzzo comunemente è mantenuta costante in tutta la campata, spesso anche in più campate di uno stesso allineamento. Non però l’armatura, che viene fatta variare di sezione in sezione (ovviamente in modo discreto), seguendo la legge di variazione del momento. Le verifiche delle sezioni possono limitarsi a quelle critiche più sollecitate, mentre la determinazione dell’armatura occorrente nelle sezioni intermedie si calcola facilmente con la relazione precedente. Comunemente si assume ζ=0.9. Questo è un poco maggiore della media dei valori riportati nella tabella, ma si deve tener presente che se, come accade sovente, vi è un certo quantitativo di armatura nella zona compressa, il braccio delle risultanti delle tensioni aumenta. _ r ζ Sezione a T Sono possibili due casi: 1. x<s: l’asse neutro taglia la soletta e la sezione si comporta come rettangolare con b=bs; 2. x>s: le ali sono equivalenti ad un’area di acciaio Ase=(bs-b) · s/n e c’=s/2; la sezione si assume rettangolare con base uguale a b. Ase bs x s xc d b In linea di massima e contrariamente ai solai, in una trave in calcestruzzo armato sono sempre presenti sia superiormente che inferiormente un numero di correnti (detti anche reggi-staffe) pari a quello delle braccia delle staffe che si utilizzano. La distanza tra due tondini accostati non deve essere inferiore al diametro del tondino stesso o a 2 cm. Φ Momento resistente di una sezione Una volta trasformato le aree di acciaio minimo in tondini, è necessario stabilire la disposizione delle armature, dove interromperle, dove aggiungerle ecc…. Questa operazione può essere svolta graficamente attraverso il diagramma dei momenti resistenti: Il momento resistente Mr relativo ad una sezione armata con un certo quantitativo Aeff di armatura, può essere calcolato, in via approssimativa, invertendo la formula semplificata con cui vengono calcolati i quantitativi minimi di armatura: Afmin= Md/(0.9·d ·σs), Mr= Aeff·0.9 ·d · σs. Regole specifiche per l’armatura longitudinale 1) Nelle strutture inflesse in elevazione la percentuale di armatura longitudinale, nella zona tesa, riferita all'area totale della sezione di calcestruzzo, non deve scendere sotto lo 0,15%. Tale armatura deve essere convenientemente diffusa. 2) In presenza di torsione si deve disporre almeno una barra longitudinale per spigolo e comunque l'interasse fra le barre medesime non deve superare 35 cm. 3) Alle estremità delle travi il cui comportamento è assimilabile ad uno schema di trave appoggiata, deve essere disposta una armatura inferiore, convenientemente ancorata, in grado di assorbire, con le tensioni ammissibili una forza di trazione uguale al taglio. 4) Almeno due barre di diametro non inferiore a 12 mm, devono essere presenti superiormente ed inferiormente per tutta la lunghezza delle travi. 5) A ciascuna estremità collegata con pilastri, per un tratto pari a due volte l’altezza utile della sezione trasversale, la percentuale di armatura compressa non deve essere minore della metà di quella tesa nella stessa sezione. 6) PRESCRIZIONI DOVUTE ALLA NUOVA NORMATIVA SISMICA Azione assiale e Flessione La condizione di sollecitazione più generale che produce tensioni normali nei pilastri dei telai è la combinazione di azione normale e flessione. Lo stato di sollecitazione viene individuato dalla forza normale N e dal punto P di coordinate xP , yP , detto centro di sollecitazione, intersezione della retta di azione di N con il piano della sezione. In alternativa la stessa sollecitazione può descriversi mediante N ed i due momenti baricentrici Mx,My relativi agli assi principali di inerzia della sezione. Tuttavia questa forma di rappresentazione può risultare ambigua in quanto non sempre il baricentro e gli assi principali della sezione omogenizzata coincidono con quelli della sezione di calcestruzzo e comunque certamente ne differiscono quando questa risulta parzializzata. Nel seguito, nella parte dedicata al calcolo elastico, si farà di solito riferimento agli assi principali dell’intera sezione omogenizzata, che sono, quando la sezione è interamente compressa, gli assi principali della sezione reagente. Generalmente questi assi coincidono, o differiscono di poco, dagli assi della sezione geometrica. N Mx My N Piccola Eccentricità Si considera il caso che l’azione normale sia di compressione; se, con riferimento alla sezione omogenizzata, il centro di sollecitazione è interno al nocciolo centrale di inerzia, l’asse neutro è esterno alla sezione che pertanto risulta interamente compressa e dunque reagente. In questo caso le caratteristiche geometriche della sezione sono note a priori e per calcolare lo stato di tensione si possono utilizzare le relazioni che si ottengono applicando la sovrapposizione degli effetti, ben note dallo studio delle travi. Sempre con riferimento agli assi principali di inerzia, la tensione in un generico punto della sezione, di coordinate x, y è data dall’equazione: σc = N/A + (N· xp ·x) /Iy + (N·yp· y) Ix , in cui xp, yp sono le coordinate del centro di sollecitazione e Ix, Iy i momenti d’inerzia della sezione omogenizzata. Se la posizione del centro di sollecitazione nei pilastri soggetti a compressione eccentrica è tale che, pur essendo esterno al nocciolo centrale di inerzia della sezione di calcestruzzo interamente reagente, la forza normale dia luogo a trazioni minori di 1/5 della tensione al lembo compresso, la sezione può essere verificata come interamente reagente, purché la sezione d’armatura in zona tesa sia idonea ad assorbire la risultante delle trazioni alla tensione convenzionale di 175 N/mm2. Grande eccentricità. Pressoflessione retta Quando il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo l’asse neutro taglia la sezione che risulta parzializzata e, come nel caso della flessione, la sezione reagente non è a priori determinata. Se la sezione ha un asse di simmetria ed il centro di sollecitazione è uno dei suoi punti l’asse neutro è ortogonale a questo asse, e la sua giacitura dunque è nota; questo, come già fu visto per la flessione, semplifica il problema che tuttavia si può trattare in forma analitica solo per sezioni dalla geometria semplice. Anche qui il caso più elementare e di maggior interesse pratico è quello delle sezioni rettangolari. Se y è l’asse di simmetria su cui giace il centro di sollecitazione P, si indichi con u la distanza di P dal bordo compresso della sezione, considerata positiva quando P è esterno alla sezione, con yp la distanza (incognita) di P dall’asse neutro e con yc l’altezza (incognita) della zona compressa si ha: yp = yc + u , Con riferimento all’asse x’ perpendicolare ad y e passante per P, la condizione di equilibrio alla rotazione della sezione richiede che: ∫ σ y’ dA = 0 , A dove y’ indica la distanza di un punto generico della sezione dall’asse x’. Se y è la distanza dello stesso punto dall’asse neutro, si avrà ovviamente y = yp − y’. Tenendo presente che, per la linearità del diagramma delle tensioni, si può porre σ = ky=k(yp − y’), dalla equazione precedente si ottiene: yp ∫ A y’ dA − ∫ A y’ 2 dA = 0 , y’ che, sinteticamente, si può scrivere: yp Sx’ − Ix’ = 0 , (1) in cui Sx’ e Ix’ sono il momento statico e quello d’inerzia della sezione reagente omogenizzata, riferiti all’asse x’. Sezione rettangolare Per una sezione rettangolare l’espressione esplicita di Sx’ e Ix’ è semplice: Sostituendo queste espressioni nell’eq. (1) e riordinando i termini in funzione dell’unica incognita (yp) che vi compare, si ottiene l’equazione cubica: che si può scrivere in modo compatto: yp3 + ypp − q = 0 , dove i coefficienti p e q dipendono dalla geometria della sezione, dalle armature e dalla posizione del centro di sollecitazione. La soluzione dell’equazione cubica è nota in forma esplicita: Oppure si può risolvere rapidamente mediante un procedimento numerico iterativo. Specificatamente al caso di sezione con un solo strato di armatura a trazione e a compressione: y’ c yc s s ky c2 y b u c nk y c d As u d nk d y c As u d 0 2 3 Dal valore di yp si determina quindi l’altezza della zona compressa yc = yp − u. Individuata la posizione dell’asse neutro la sezione reagente risulta definita e quindi si può procedere al calcolo delle sollecitazioni. Risulta comodo utilizzare l’equazione monomia che si ricava dall’equilibrio alla traslazione: ∫ A σ dA = k ∫ c yc A y dA = k Sn = N s s k y c2 b n k y c d As n k d y c As N 2 in cui si è fatto uso della relazione lineare σ = ky e si è indicato con Sn il momento statico della sezione omogenizzata relativamente all’asse neutro. Risolvendo l’equazione rispetto a k e sostituendo la soluzione nella espressione di σ = ky si ha: σc = (N/ Sn ) y . I valori delle tensioni nell’acciaio si ottengono con una relazione analoga amplificata del fattore n: σsi = n (N/ Sn ) (yc − di) . Per le sezioni rettangolari il momento statico relativo all’asse neutro è dato da: Dimensionamento della sezione Il problema di determinare le dimensioni ed il quantitativo di armatura di una sezione in cemento armato a partire dalle sollecitazioni presenta, nel caso della pressoflessione, un grado di indeterminazione maggiore di quello relativo alla flessione semplice. Infatti, quando non esistono vincoli di altra natura, le dimensioni “ottimali” di una sezione inflessa sono ovviamente quelle per cui entrambi i materiali lavorano alla massima tensione consentita; pertanto si dispone di due equazioni che permettono di calcolare l’area dell’armatura e una dimensione della sezione in calcestruzzo. Nel caso della sollecitazione di pressoflessione la tensione nell’armatura dipende dall’eccentricità del carico. Tenendo ferme le altre condizioni, al diminuire dell’eccentricità la tensione nell’acciaio diminuisce finché, se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo, l’armatura risulta compressa; è evidente che per eccentricità che portano il centro di sollecitazione di poco fuori il nocciolo la tensione nell’acciaio teso sarà piccola. Da queste considerazioni segue che il valore di progetto della tensione nell’armatura non sempre potrà coincidere con la tensione ammissibile dell’acciaio; se l’eccentricità non è molto grande, relativamente alle dimensioni della sezione, sarà conveniente assumere un valore minore, tanto più piccolo quanto più è piccola l’eccentricità. In generale al crescere del valore di progetto della tensione dell’acciaio si ottengono soluzioni, se esistono, con sezioni più grandi e meno armate. L’inverso avviene se la tensione viene ridotta. Pertanto spesso è necessario procedere per tentativi, fissando diversi valori di σs (ovviamente non superiori a σs), fino a trovare una soluzione ragionevole, ossia una sezione non troppo grande e non troppo armata. Fissate le tensioni di esercizio del calcestruzzo e dell’acciaio è possibile sviluppare delle formule di progetto analoghe a quelle valide per la sollecitazione di sola flessione. La tensione nel calcestruzzo si assumerà ovviamente uguale al suo valore ammissibile mentre per quella dell’acciaio si dovrà tener conto delle considerazioni precedenti. Indicando con σcm la tensione massima nel calcestruzzo e con σs e σs’ i valori assoluti delle tensioni nell’acciaio teso e compresso e supponendo la sezione armata simmetricamente (As’ = As), il fattore K = yc/d e la tensione nell’armatura compressa sono noti: dove δ = d’/d. A rigore questa quantità, dipendendo dall’altezza utile della sezione, che è incognita, a sua volta non è nota; ma non avendo eccessiva influenza sulla soluzione può fissarsi, in modo approssimato, a priori. Infatti: cm yc cm yc s n y n n d K y c n cm c s cm cm d yc d s n cm s n n yc d n s cm yc d yc yc d d yc d d cm n K cm K Indicando con h l’altezza della sezione, per la sua simmetria si ha h = d+d’; quindi le equazioni di equilibrio si scrivono: In queste equazioni le incognite sono l’altezza utile d e l’area delle due armature As, in quanto la larghezza b si intende fissata e le altre grandezze sono dei dati o si calcolano mediante le relazioni viste. Eliminando As tra le equazioni precedenti si ottiene un’equazione in d: Dove: da cui si ottiene l’espressione di d: Determinato d il quantitativo necessario di armatura si ottiene risolvendo rispetto ad As una delle due equazioni di equilibrio. Per esempio dalla seconda si ottiene: I coefficienti α e β dipendono dalle tensioni di esercizio dei materiali e dal coefficiente δ; i loro valori, per certi intervalli frequenti dei parametri, sono riportati nelle tabelle seguenti. Si ricorda che: Tabella: Coefficienti per il progetto delle sezioni pressoinflesse con armatura simmetrica. Unità di misura: kN — cm. dyc 1 2 d d yc Ne b d K cm 2 2 d 3d d d d d A d A d s s s s 2 2 d d d d 1 K 2 3 2 2 d d As s 2 1 d 2 L’AZIONE TAGLIANTE La presenza della sollecitazione di taglio è dovuta al fatto che ogni variazione lungo l’asse della trave del momento flettente richiede la presenza di una forza di taglio, come risulta dalla ben nota equazione di equilibrio: T = dM/dx , in cui T indica la sollecitazione di taglio, M è il momento ed x l’ascissa misurata lungo l’asse della trave. Dall’equazione precedente segue che il taglio è nullo solo quando M è costante. In pratica questa condizione si verifica di rado, quindi la sollecitazione di taglio accompagna quasi sempre quella di flessione. Inoltre, sempre dalla medesima equazione, risulta che il taglio non può esistere, se non in qualche sezione isolata, senza la contemporanea presenza di M: pertanto sarebbe più corretto parlare della sollecitazione combinata di flessione e taglio. COMPORTAMENTO DELLE TRAVI SOLLECITATE A TAGLIO Se si considera una trave realizzata con un materiale a comportamento elastico lineare e reagente a trazione, quale può considerarsi anche il calcestruzzo, per livelli di sollecitazione sufficientemente bassi, le tensioni tangenziali agenti sulle sezioni normali si possono calcolare con la nota relazione, derivata mediante la teoria approssimata di Jourawski: τ (y) = T S(y)/Ib(y), in cui I è il momento di inerzia baricentrico della sezione, S(y) è il momento statico, relativamente al baricentro, della parte di sezione al disopra della fibra di ascissa y e b(y) è la larghezza di detta fibra. Per una sezione rettangolare le tensioni variano con legge parabolica. Il valore massimo di τ è raggiunto nel baricentro, dove si ha: τmax =T / zb, dove z = I/S(y=0) indica il braccio delle forze interne. T a) T b) Tensioni tangenziali τ (y) per una sezione rettangolare interamente reagente (a) ed una in calcestruzzo armato (b). [T] [M] Meccanismo resistente al taglio delle travi in c. a. (traliccio di Mörsh) Metodo delle tensioni ammissibili. Per il calcestruzzo le tensioni tangenziali ammissibili si calcolano mediante Se risulta τcm ≤ ¯τ c0, non è richiesta la verifica dell’armatura a taglio: in questo caso è comunque necessario prevedere un quantitativo minimo di armatura. Se invece risulta τc0 < τcm ≤ τ c1, la trave deve essere provvista di opportuna armatura. Per la normativa italiana in questo caso tutta la sollecitazione di taglio deve essere sopportata dall’armatura. Il dimensionamento è basato sul traliccio ideale di Mörsh assumendo l’inclinazione delle bielle α = 45◦ e con la condizione che la tensione nell’armatura non superi quella ammissibile dell’acciaio. Forza di Scorrimento C+dC C Per l’equilibrio alla rotazione rispetto al polo O si ha: T+dT z T dC z + (q dx2/2) = T dx, da cui S O T/z = dC/dx. S+dS dx Per l’equilibrio alla traslazione dC=dS, quindi dC = dS = T/z dx. b dS T 1 dM dx z z dx dM dS z M M2 M1 S z z C C+dC S+dS S dx dove M1 ed M2 sono i momenti che agiscono sulle sezioni di estremità del concio di trave per cui si è calcolato S. Nel caso di sole staffe verticali, questa è la forza che devono assorbire le staffe nel tratto nel tratto ∆. Immaginando inclinate a 45o le bielle di calcestruzzo ho: Cc Fs S Cc 2 S Fs ∆ 2 Cc S 2 Il dimensionamento, assumendo che l’inclinazione delle bielle di calcestruzzo compresso sia α = 45◦, si può effettuare considerando l’equilibrio ai nodi del traliccio traliccio di Mörsh osservando che la differenza fra le trazioni nell’armatura inferiore a sinistra e destra del nodo è uguale alla forza di scorrimento S: Fs = ∆S Se p è il passo delle staffe, il numero di staffe nel tratto ∆ risulta (∆/p). Indicando con nb è il numero delle braccia di una staffa, As l’area della sezione trasversale e σs è la ammissibile dell’acciaio, deve risultare: Cc F s As nb s S p S Ricavando l’area della staffa si ha As S p nb s Nstaffe S p As nb s ∆ 1) La normativa italiana prescrive che nelle travi si devono prevedere staffe aventi sezione complessiva non inferiore a Ast = 0.1β*cm2/m ,essendo β* la larghezza corrispondente a τ = τc0, con un minimo di tre staffe al metro e comunque passo non superiore a 0,8 volte l'altezza utile della sezione. 2) In prossimità di carichi concentrati o delle zone d'appoggio, per una lunghezza pari all'altezza utile della sezione da ciascuna parte del carico concentrato, il passo delle staffe non deve superare il valore 12 Φ, essendo Φ il diametro minimo dell'armatura longitudinale. 3) In presenza di torsione devono disporsi nelle travi staffe aventi sezione complessiva, per metro lineare, non inferiore a 0,15 b cm2 essendo b lo spessore minimo dell'anima misurata in centimetri. Inoltre il passo delle staffe non deve superare 1/8 della lunghezza della linea media della sezione anulare resistente e comunque 20 cm. 4) Le staffe devono essere collegate da apposite armature longitudinali. Torsione Le tensioni tangenziali nelle sezioni rette delle travi, oltre che dalla sollecitazione di taglio, sono provocate dalla sollecitazione di torsione. L’azione torcente è presente in molte situazioni: infatti è raro che i carichi siano applicati in modo tale che la loro risultante passi per la linea dei centri di taglio della trave che, di conseguenza, risulta anche sollecitata dall’azione di un momento torcente di entità più o meno grande. Tuttavia nella pratica della progettazione spesso questa sollecitazione viene ignorata: infatti quando, come è frequente, le strutture vengono schematizzate come piane non vi è spazio per mettere in conto l’azione torcente ed anche se si utilizzano più raffinati modelli tridimensionali di solito vengono considerati solo carichi che producono sollecitazioni di taglio e flessione. Torsione travi dovute ai solai Torsione Primaria (Balconi, Scale, etc.) Comportamento in fase elastica Prima della fessurazione anche le travi in cemento armato si possono trattare, senza eccessivo errore, con le relazioni note dalla teoria delle travi di De Saint Venant, per il quale sono note le soluzioni di tutti i casi di interesse pratico. Finché il materiale ha un comportamento elastico, la torsione produce, nelle sezioni rette delle travi, uno stato di tensione puramente tangenziale, di intensità crescente dal baricentro verso il bordo, dove si raggiungono i valori massimi. In presenza della sola torsione le tensioni principali risultano pertanto ovunque inclinate di 45° rispetto al piano della sezione; queste tensioni, una di compressione e l’altra di trazione, sono in modulo uguali alla tensione tangenziale . Su un cilindro di sezione circolare le isostatiche disegnano delle eliche inclinate a 45°; nelle travi di sezione rettangolare le isostatiche formano un reticolo di linee inclinate a 45°, come illustrato nella Figura. Le prime fessure si sviluppano ortogonalmente alle trazioni principali e quindi seguono l’andamento delle isostatiche di compressione. Poiché le tensioni maggiori si hanno in superficie, le fessure si propagano, al crescere della sollecitazione, verso l’interno. Quando la fessurazione è ben sviluppata due fessure consecutive individuano bielle di calcestruzzo compresso che interessano per un certo spessore la parte più periferica della trave. Se questa è dotata di un’armatura opportuna la trave può essere assimilata ad un traliccio spaziale, formato da bielle di calcestruzzo compresso ed armature tese: entrambe interessano solo un modesto spessore della parte più esterna del cilindro. Questo grigliato ideale può essere assimilato ad un tubo con struttura a traliccio a cui si è soliti dare l’intera resistenza all’azione torcente. Il nucleo interno offre un contributo modesto che può essere trascurato. Ai fini delle verifiche di resistenza la trave viene dunque assimilata ad una di sezione tubolare, di spessore h; come linea mediana del tubo si assume la congiungente delle armature longitudinali poste nei vertici. Schema del traliccio resistente di una trave in c.a. sollecitata a torsione. La tensione media nello spessore del “tubo” si ottiene con la formula di Bredt: τ = Mt / (2Ωh) , dove Ω è l’area racchiusa dalla linea mediana dello spessore; per una sezione rettangolare Ω = b0h0, dove b0 ed h0 indicano le distanze tra i centri delle barre di armatura poste nei vertici della sezione. La forza risultante delle tensioni agenti su di un tratto di lunghezza unitaria della parete del “tubo” è pertanto: τ h 1= Mt / (2Ω). Indicando con l’inclinazione delle bielle di calcestruzzo, questa forza induce una compressione C il cui modulo si ottiene equilibrando la forza stessa nelle direzioni della biella ed in quella longitudinale: C = τ h 1/sin = Mt/(2Ω sin ), mentre la corrispondente componente longitudinale è: Fl1 = C cos = Mt/(2Ω tan ), In corrispondenza dello spigolo della trave la forza C si decompone in una verticale: Fst = C sin = Mt /(2Ω), ed una longitudinale Fh. Quest’ultima è equilibrata dalla corrispondente, di segno opposto, prodotta dalla compressione agente sulla biella della faccia adiacente mentre la componente verticale Fst deve essere assorbita da un’idonea armatura. Dunque la trave deve essere dotata di un doppio ordito di armature: uno longitudinale, per assorbire le forze Fl1, l’altro trasversale (staffe), che sopporta le forze Fst. La forza totale in direzione longitudinale è: Fl = Fl1p = Mt p /(2Ω tan ) dove p indica la lunghezza (perimetro) della linea mediana dello spessore della sezione tubolare equivalente. Al collasso la forza massima portata dall’armatura longitudinale è Alfyd, in cui Al indica l’area totale dell’armatura longitudinale resistente alla torsione; uguagliando questa resistenza alla sollecitazione si ha: Alfyd = Mtu p /(2Ω tan ) , Indicando con Ast l’area di una staffa e con s il passo, l’area dell’armatura trasversale intersecata da una biella di altezza (relativamente alla sezione retta) unitaria è Ast1/(s tan); pertanto la forza ultima Fst equilibrata dall’armatura trasversale è fydAst/(s tan ). 1/(tan); 1 Uguagliando la forza resistente a quella agente Fst = C sin = Mt /(2Ω), si ottiene: fydAst/(s tan ) = Mtu /(2Ω), cui, sostituendo ad Mtu il valore in funzione dell’area dell’armatura longitudinale, si ottiene: Ast/s = (Al/p) tan2 Fissato il valore di , che di solito si assume uguale a 45o, questa relazione consente di determinare il quantitativo di staffe occorrenti per equilibrare lo stesso momento sopportato dall’armatura longitudinale. Combinazione con flessione e taglio Gli elementi sollecitati a torsione sono, nella maggior parte dei casi, anche soggetti a flessione e taglio. Certamente nelle strutture in cemento armato vi è una sensibile interazione tra queste sollecitazioni elementari, ma l’analisi del problema presenta notevoli difficoltà ed i dati sperimentali non sono sufficienti per formulazioni empiriche. Pertanto le normative consentono a questo proposito delle drastiche semplificazioni. Con flessione generalmente non si tiene conto di alcuna interazione; l’armatura longitudinale richiesta per resistere al momento torcente si aggiunge a quella calcolata a flessione. Per le norme europee EC2, nella parte compressa di sezione, quando la risultante delle compressioni dovute alla flessione supera la trazione che agisce sulla stessa zona a causa del momento torcente, si può evitare l’armatura longitudinale aggiuntiva. Nella combinazione con taglio, le armature d’anima (staffe) si calcolano separatamente per entrambe le sollecitazioni e quindi si sommano i quantitativi richiesti, con la condizione di utilizzare in entrambi i casi lo stesso valore dell’angolo di inclinazione delle bielle. Quando la verifica viene condotta con il metodo delle tensioni ammissibili, le norme italiane prescrivono che la tensione tangenziale massima agente sulla sezione, ottenuta sommando quelle dovute al taglio con quelle prodotte dalla torsione, non deve superare il valore ammissibile c1 incrementato del 10%.