Dimostrazioni
5 febbraio 2010
Prof Fabio Bonoli
Sommario
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Introduzione
La dimostrazione diretta
La dimostrazione per assurdo
La dimostrazione per induzione
La dimostrazione per invarianza
Introduzione
In un problema di dimostrazione non si chiede di trovare
un elemento incognito, né di determinare una regola o
una formula.
Si chiede piuttosto di spiegare perché sussiste una certa
proprietà, o una certa relazione che tuttavia già si
conosce o si intuisce essere vera.
Introduzione
Anche i problemi di costruzione possono essere visti
come problemi di dimostrazione: una dimostrazione di
esistenza.
Costruire l'asse di un segmento vuol dire dimostrare che è
possibile costruirlo a partire dai dati (il segmento
stesso) con determinate regole(l'uso di riga e
compasso), vuol dire cioè dimostrare che esiste (e che
nel caso specifico è unico).
Introduzione
Che cosa si dimostra?
Sarebbe più semplice chiedersi: che cosa non si
dimostra? La matematica è infatti una scienza deduttiva
e le sue proposizioni sono, di norma, accettate se, e
solo se, sono dimostrate.
Anche se talvolta la dimostrazione di una proposizione
viene omessa perché considerata ovvia, la
dimostrazione resta necessaria.
Introduzione
Che cosa si dimostra?
Le uniche proposizioni di cui non si richiede dimostrazione
sono gli assiomi, che sono le proposizioni alla base di
ogni teoria matematica.
Agli assiomi si affiancano le definizioni, che servono ad
introdurre nuovi termini a partire da quelli di base della
teoria (questi vengono anche detti "primitivi").
Le proposizioni che si dimostrano a partire dagli assiomi
sono invece i teoremi.
Introduzione
Che cosa si dimostra?
Finché una proposizione non è stata dimostrata, essa
rimane una congettura o un'ipotesi: dimostrarla vuol
dire
fare
una
catena
di
ragionamenti,
che
si
susseguono rigorosamente in base a regole di
deduzione accettate, e che, a partire da assiomi o da
proposizioni precedentemente già dimostrate, portano
alla proposizione voluta.
Introduzione
Come si dimostra?
Leggendo la dimostrazione di un teorema, si può rimanere
perplessi per la difficoltà di comprenderla, e talvolta la
difficoltà dipende dalla particolarità degli stratagemmi o
delle costruzioni impiegate:
come può venire in mente una cosa simile?
Di fatto, le dimostrazioni che si trovano pubblicate non
descrivono il procedimento mentale seguito per
ottenerle
Introduzione
Come si dimostra?
La ricerca di una dimostrazione:
1.
(fase di analisi) si studia e si rappresenta il problema,
analizzando le relazioni tra le ipotesi e la tesi. Una volta
"compresi" i legami tra ipotesi e tesi, ordiniamo le varie
deduzioni che dall'ipotesi portano alla tesi.
2.
(fase di sintesi), si elabora l'esposizione chiara dei
legami, degli assiomi e dei teoremi precedenti che
possiamo utilizzare.
Introduzione
Come si conclude?
Nei testi di matematica si trova spesso una sigla, o un
simbolo, che segnala il termine di una dimostrazione.
Tradizionalmente, si trovano le seguenti sigle:

c.v.d. (come volevasi dimostrare)

c.d.d. (come dovevasi dimostrare)

q.e.d. (quod erat demonstrandum)
La dimostrazione diretta
Una dimostrazione diretta procede direttamente dalle
ipotesi alla tesi, attraverso una catena di ragionamenti
che utilizzano gli assiomi della teoria o teoremi
precedentemente dimostrati.
Caso particolare della dimostrazione diretta: si suddivide il
teorema da dimostrare in più sottocasi che, uniti,
conducono alla dimostrazione del teorema nella sua
globalità (dimostrazione per casi).
La dimostrazione diretta
Esempi
1.
Dimostrare che ogni angolo
alla circonferenza è la metà
dell'angolo al centro
uno bis.ggb
corrispondente allo stesso
arco.
Uno.ggb
La dimostrazione diretta
2. Dimostrare che il
teorema "due triangoli
sono congruenti se
hanno congruenti due
lati e l'angolo opposto ad
due bis.ggb
uno di essi" è sbagliato.
due ter.ggb
Due.ggb
La dimostrazione diretta
3. Dimostrare che la
somma degli angoli
interni di un poligono
convesso con n lati è
uguale a n-2 angoli piatti
((n-2)*180°).
Tre.ggb
La dimostrazione diretta
4. Dato un triangolo ABC e il
cerchio circoscritto ad esso, si
consideri un punto arbitrario P
sulla circonferenza e da
questo si traccino le
perpendicolari ai 3 lati del
triangolo. Dimostrare che i
piedi di tali perpendicolari
sono allineati.
Quattro.ggb
La dimostrazione diretta
Una possibile strategia di dimostrazione:
1.
cercare di formulare in termini equivalenti
la tesi;
2.
risalire dalla tesi finale a tesi intermedie,
analizzando relazioni e teoremi che si
intravede di poter utilizzare.
La dimostrazione per assurdo
Si basa sull’equivalenza logica:_
_
abba
Un teorema ha la forma IPOTESI →TESI (ovvero NON
TESI→ NON IPOTESI).
Negando la tesi (supponendo cioè che non sia vero ciò
che si vuole dimostrare) si giunge alla negazione
dell’ipotesi.
La dimostrazione per assurdo
Ma l’ipotesi è data per vera, quindi dove si è sbagliato?
Nel negare la tesi, pertanto la tesi è vera.
Non è necessario dimostrare che dalla negazione della
tesi segue la negazione dell’ipotesi, è sufficiente
giungere ad un qualunque altro assurdo (ad esempio
negare una proposizione già dimostrata o un
assioma).
La dimostrazione per assurdo
Dimostrare che nell'insieme dei numeri reali vi è un
solo elemento neutro per l'addizione (lo zero).
Dim
Supponiamo per assurdo che esista un altro elemento
neutro z≠0. Pertanto per ogni a reale si ha
a+z=z+a=a.
Come numero reale considero 0, quindi: 0+z=0 ,ma
anche 0+z=z (perché pure 0 è elemento neutro).
In conclusione z=0, contrariamente all’ipotesi che sia
diverso da 0.
La dimostrazione per assurdo
L'irrazionalità di radice di 2: uno scandalo filosofico!
Dim
Tradizionalmente si dice che Ippaso di Metaponto produsse una
argomentazione (probabilmente con considerazioni
geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2
scoprendo i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare
la radice quadrata di 2 come frazione. La dimostrazione
geometrica si basa sul fatto che se due segmenti L e D sono
commensurabili, e L<D<2L, allora sono commensurabili
anche D–L e 2L–D.
La dimostrazione per assurdo
radicedi2.ggb
Supponiamo ora per assurdo che il
lato L e la diagonale D di un
quadrato siano commensurabili,
e sia H un sottomultiplo
comune. Dividiamo in due parti
uguali l’angolo ABP, e dal punto
E tiriamo la perpendicolare EF
alla diagonale. I due triangoli
ABE e BEF sono uguali (sono
rettangoli, hanno gli angoli in B
uguali, e il lato BE comune);
quindi BF=AB=L, e PF=D-L. Il
triangolo PEF è isoscele (infatti
l’angolo EPF è di 45 gradi), e
dunque si ha AE=EF=FP=D-L,
ed EP=L–(D–L)=2L-D.
Completiamo il quadrato EFPG.
La dimostrazione per assurdo
Siccome avevamo supposto che il lato L e la diagonale D
avessero un comune sottomultiplo H, anche il lato PF=D–L e
la diagonale EP=2L–D del quadrato piccolo avranno lo stesso
sottomultiplo H. Se ripetiamo in questo quadrato la
costruzione che abbiamo fatto nel precedente, otteniamo un
nuovo quadrato, ancora più piccolo, il cui lato e la cui
diagonale hanno ancora H come sottomultiplo. Continuando
sempre nello stesso modo, otteniamo dei quadrati sempre più
piccoli, tutti però con il lato e la diagonale che hanno H come
sottomultiplo comune. Ma questo non è possibile, perché il
lato e la diagonale diventano sempre più piccoli, e dopo un
certo numero di passi finirebbero per diventare minori di H,
cioè di un loro sottomultiplo. Siamo dunque arrivati a un
assurdo, e quindi il lato e la diagonale di un quadrato non
possono essere commensurabili.
La dimostrazione per assurdo
Dim
L’altra dimostrazione pervenutaci è quella di cui ci parla
Aristotele; supponiamo che siano commensurabili, ossia che il
loro rapporto d/l sia un numero razionale m/n, con m ed n
numeri interi primi fra loro, per cui (m/n)2= 2, cioè m2= 2n2.
Pertanto m2 è pari e quindi m è pari. Se poniamo m = 2p si ha
che 4p2 = 2n2 da cui otteniamo che anche n dovrebbe essere
pari contro l’ipotesi che m ed n non avessero fattori in
comune. Ne segue che l’ipotesi della commensurabilità tra
diagonale e lato di un quadrato è falsa.
La dimostrazione per assurdo
Dimostrare che esistono infiniti numeri primi.
Dim
Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano in numero finito p1, p2,
p3,… pk,
Consideriamo q = p1* p2* p3*… *pk,+1. Se si divide q per p1 si ottiene
p2*p3*,… *pk come quoziente e 1 come resto, quindi q non è divisibile
per p1.
In modo analogo si trova che q non è divisibile per nessuno degli altri
primi, ma se un numero non è primo deve essere scomponibile in
qualcuno dei k fattori primi.
In conclusione q non è scomponibile, e allora rappresenta un nuovo
numero primo, contro l’ipotesi che i numeri primi siano solo k.
La dimostrazione per induzione
Come possiamo dimostrare che un’asserzione `e vera
per ogni numero naturale?
E’ chiaro che non possiamo dimostrare un asserto
generale verificando che questo è vero quando il
numero in questione è 1 oppure 2 o 3 e così via,
poiché non é possibile effettuare infinite verifiche.
La dimostrazione per induzione
Anche se verifichiamo che una proposizione è vera per
ogni numero fino a un milione, o a un miliardo, non ci
siamo neppure minimamente avvicinati a stabilire la
veridicità in generale.
Ad esempio Dato un polinomio p(x) =x2 + x + 11, si ha che
p(0) = 11
p(1) = 13
p(2) = 17
p(3) = 23
p(4) = 31
p(5) = 41
p(6) = 53
p(7) = 67
p(8) = 83
p(9) = 101.
E’ facile vedere che tutti questi numeri sono primi. Ma il numero
successivo p(10) = 121 = 11 × 11 non è più un primo.
La dimostrazione per induzione
Supponiamo di saper dimostrare che se la
proposizione in oggetto é vera per il numero n, allora
essa è vera anche per il numero successivo n + 1.
Allora il fatto che la proposizione sia vera per il numero
1 ne implicherà la validità per il numero successivo 2;
ed ancora, il fatto che essa sia vera per il numero 2
comporterà che essa è vera per il numero 3, e così
via.
La dimostrazione per induzione
La proposizione sarà pertanto vera per ogni numero
naturale a patto che essa sia vera per il numero 1.
Principio dell’induzione
La proposizione si dimostra per induzione tramite i
seguenti passi:
(a) La proposizione è vera per n = 1;
(b) Supponi che la proposizione sia vera per n;
(c) Verifica che la proposizione è vera per n + 1.
Allora la proposizione è valida per tutti i numeri
naturali.
La dimostrazione per induzione
Esempio 1. Dimostrare che
n(n  1)( 2n  1)
1  2  ...  n 
6
2
2
2
Esempio 2. Dimostrare che
1
1
1
n



1 2 2  3
n  (n  1) n  1
La dimostrazione per induzione
Esempio 1. la proposizione vale se n = 1
n(n  1)( 2n  1) 1 2  3
1 

1
6
6
2
vogliamo dimostrare che
12  2 2  ...  n 2  (n  1) 2 
sapendo che
(n  1)( n  2)( 2(n  1)  1)
6
n(n  1)( 2n  1)
1  2  ...  n 
6
2
2
2
La dimostrazione per induzione
Pertanto
12  22  ...  n 2  (n  1) 2 
n(n  1)( 2n  1)
 (n  1) 2 
6
n(n  1)( 2n  1)  6(n  1) 2 (n  1)( 2n 2  n  6n  6)

6
6
(n  1)( 2n  3)( n  2)

6
La dimostrazione per induzione
Esempio 2. la proposizione vale se n = 1
1
n
1


1 2 n  1 2
vogliamo dimostrare che
1
1
1
1
n 1




1 2 2  3
n  (n  1) (n  1)  (n  2) n  2
sapendo che
1
1
1
n



1 2 2  3
n  (n  1) n  1
La dimostrazione per induzione
Pertanto
1
1
1
1




1 2 2  3
n  (n  1) (n  1)  (n  2)
n
1


n  1 (n  1)  (n  2)
n(n  2)  1
n 2  2n  1

(n  1)  (n  2) (n  1)  (n  2)
n 1

n2
La dimostrazione per induzione
E’ possibile discutere se il principio abbia la natura di
una definizione, di un postulato, o di un atto di fede.
Il principio di induzione è essenzialmente
un’enunciazione della regola con la quale
enumeriamo i numeri naturali.
Dunque il principio è in effetti una precisazione di ciò
che si intende con la parola “e così via”.
La dimostrazione per invarianza
Operando su una figura con una
trasformazione (isometria, similitudine,
affinità, proiettività), alcune caratteristiche
rimangono invariate, mentre altre cambiano.
Gli invarianti permettono di trasportare alla
nuova figura proprietà della prima.
La dimostrazione per invarianza
Esempio:
Con un’affinità il quadrato si trasforma in un
parallelogrammo (è invariante per affinità il
parallelismo,il punto medio di un segmento, ma non
l’uguaglianza di angoli e lunghezze).
Quindi anche in un parallelogrammo le diagonali si
tagliano nel punto medio
La dimostrazione per invarianza
Dimostrare che in un trapezio i punti medi delle basi, i
punti d'incontro delle diagonali, e il punto di
intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui sono
allineati.
Inva1.ggb
La dimostrazione per invarianza
Sia ABCD un parallelogramma, M ed N siano,
rispettivamente, i punti medi dei lati BC e CD;
siano poi P e Q le intersezioni rispettivamente di
AN e AM con BD: provare che i punti P e Q
dividono la diagonale BD in 3 parti uguali.
Inva2.ggb