TFA A049
Corso di Complementi di Fisica
Moderna
prof. M. Casalboni prof. A. Sgarlata
dott. G. Casini
dott. F. De Matteis
Meccanica quantistica
Gli esperimenti condotti da Lenard sull’effetto fotoelettrico e
da Compton sullo scattering, avevano portato alla luce
l’evidenza di una doppia natura onda-particella della luce
Louis de Broglie nella sua tesi di dottorato avanzò l’ipotesi che
la stessa dualità onda-particella potesse applicarsi ugualmente
bene anche a particelle materiali. Così come un fotone ha
un’onda associata che governa la sua propagazione, così una
particella materiale ( ad esempio un elettrone) ha un’onda
associata che governa il suo moto.
E = hn
Impulso
p = h/l
m =1 kg
v=10 m/s
m
l= h/p Lunghezza d’onda di
de Broglie
h
6.6 x10-34 joule- sec
35
λ 
 6.6 x10 m
p
1 kg 10 m/s
h
-31
λ


=9.1x10 kg
p
K=100 eV
Energia
h
6.6 10-34 joule- sec

2mK
2  9.11031 kg 100 eV 1.6 1019 joule / eV
 1.2 1010 m  1.2 A
Per osservare fenomeni della natura
ondulatoria (diffrazione) di particelle
materiali occorre un sistema di “fenditure” di
dimensioni paragonabili alla lunghezza d’onda
Reticolo cristallino
Diffrazione di elettroni dal filamento F,
accelerati dal potenziale V vengono
diffratti dal reticolo di nickel C
Davisson&Gelmer USA
Thomson GB
Diffrazione alla Bragg
nl  2d sin 


2


2
d=0.91 Å
l  1.65 Å
h
l
 1.65Å
2mE
Natura corpuscolare e natura ondulatoria
Quando si tratta di studiare le proprietà di emissione o assorbimento vengono
evidenziati gli aspetti corpuscolari mentre quelli ondulatori si evidenziano nel
comportamento di propagazione Tali aspetti sono più difficili da osservare quanto
più la lunghezza d’onda diviene piccola
l= h/p
Per questo si dice che le proprietà quantistiche
scompaiono nel limite di h→0. Limite classico
Ciò non toglie che si è ottenuta la diffrazione anche di oggetti pesanti quanto un
fascio atomico (He ad esempio)
Raggi X interagiscono (debolmente) con gli elettroni degli atomi e vengono diffratti
con più difficoltà (specie dagli elementi a basso numero atomico). Gli elettroni
interagiscono anche con i nuclei ma anche essi elettromagneticamente e quindi
relativamente debolmente.
I neutroni per interazione forte con i nuclei e quindi si prestano bene anche con
elementi leggeri (materia biologica ricca di H)
Dualismo onda corpuscolo
Bisogna considerare un modello corpuscolare in alcune situazioni, come nell’effetto
Compton e un modello ondulatorio in altre, come per la diffrazione dei raggi X. E lo
stesso vale per la materia. Il rapporto carica-massa ed i processi di ionizzazione
indicano la natura corpuscolare, la diffrazione elettronica quello ondulatorio. I due
modelli coesistono ma occorre applicare l’uno o l’altro nelle varie circostanze
Principio di complementarietà di Bohr
Il modello corpuscolare e ondulatorio sono complementari: se una misura mostra la
natura d’onda della radiazione o della materia, allora è impossibile
contemporaneamente mostrare il carattere corpuscolare, e viceversa.
I due modelli si inquadrano e combinano in un
quadro interpretativo probabilistico
Dualismo onda corpuscolo
I~E2 valore medio su di un periodo del campo
I=Nhn numero medio di fotoni che
attraversano un’area unitaria perpendicolare
alla direzione di propagazione per unità di
tempo
E2 ~N numero medio di fotoni
per unità di volume
Il numero medio di fotoni che attraversano un’area unitaria
diminuisce all’aumentare della distanza dalla sorgente
Dualismo onda corpuscolo
x
E( x, t )  A sin 2 ( nt )
l
x
Y ( x, t )  A sin 2 ( nt )
l
Y2= probabilità di trovare una particella
materiale nell’unità di volume in un dato luogo
ad un dato istante
Principio di indeterminazione
p   x 

2
L’indeterminazione della misura della
posizione è inversamente proporzionale a
quella sul suo impulso
Non è un problema di accuratezza delle misure ma intrinseco.
Se cerchiamo di misurare un valore con crescente precisione
l’altro perde di determinatezza.
Ci sono coppie di grandezze fisiche che sono legate da una
relazione di indeterminazione di Heisenberg.
E↔t
px2
E
2m
px↔x
px
E 
p x  vx p x
m
L↔
x  vx t

E
 p  x 
v x t
2
vx
Principio di indeterminazione
p   x 

2
E’ ancora la costante h a separare il campo di
applicazione delle teorie classiche da quelle
quantistiche. Se portiamo h→0 cade il
principio di indeterminazione
Se non possiamo determinare simultaneamente posizione e
impulso non possiamo prevedere l’evoluzione del sistema con
esattezza. Possiamo solo dare la probabilità di un risultato di
una misura
m  50 g
m  9.110  28 g
v  300m / s  0,01%


p  15  1.5 10 3  kg  m / s
p  2.7 10 28  2.7 10 32 kg  m / s


6.6 10 34
32
x 


3

10
m
3
2p 4 1.5 10

6.6 10 34
3
x 


2

10
m
32
2p 4  2.7 10

5 postulati della Meccanica Quantistica.
Non possono essere provati o dedotti. Sono ipotesi valide nella misura in cui non violano le leggi della
natura (esperimenti) ASSIOMI
Postulato 1
La funzione d’onda Ψ(x, y, z, t) descrive l’evoluzione temporale e spaziale di una particella quantomeccanica.
Postulato 2
Il prodotto Ψ*(x, t) Ψ(x, t) è la funzione densità di probabilità di una particella quanto-meccanica.
Ψ*(x, t) Ψ(x, t) dx è la probabilità di trovare la particella nell’intervallo tra x e x + dx.
Postulato 3
La funzione Ψ(x, t) e la sua derivata (∂ / ∂x) Ψ(x, t) sono continue in un mezzo isotropo. Inoltre deve essere
finita e a singolo valore su tutto lo spazio.
Postulato 4
Gli operatori sostituiscono le variabili dinamiche ed agiscono sulla funzione d’onda Ψ(x, t) (posizione,
momento, o energia).
Postulato 5
Il valore di aspettazione, 〈ξ〉, di una qualunque variabile dinamica ξ, è calcolato a partire dalla
funzione d’onda
5 postulati della Meccanica Quantistica.
Non possono essere provati o dedotti. Sono ipotesi valide nella misura in cui non violano le leggi della
natura (esperimenti) ASSIOMI
Postulato 1
Postulato 2
Postulato 3
Postulato 4
Postulato 5
Variabili dinamiche in meccanica
classica
Operatori quantomeccanici
4 requisiti per una derivazione non-formale
dell’equazione d’onda.
Considerazioni di plausibilità
Requisito 1
Consistente con la relazione di de Broglie.
l= h/p
Requisito 2
Consistente con l’espressione dell’energia (non-relativistica)
p2
E
 V ( x)
2m
Requisito 3
Lineare in Ψ(x, t). In questo modo possiamo spiegare i fenomeni di interferenza.
Requisito 4
Nel caso particolare di potenziale V= cost (particella libera) la soluzione deve essere
un’onda sinusoidale viaggiante con frequenza e lunghezza d’onda costante (e quindi
anche impulso ed energia costanti)
x
Y ( x, t )  A sin 2 ( nt )
l
4 requisiti per una derivazione non-formale
dell’equazione d’onda.
Considerazioni di plausibilità
Requisito 1
Consistente con la relazione di de Broglie.
p= h/l=ħk
Requisito 2
Consistente con l’espressione dell’energia (non-relativistica)
Requisito 3
Lineare in Ψ(x, t). Termini alla prima potenza della funzione e delle sue derivate
Requisito 4
Y ( x, t )  A sin( kx  t )
Sostituendo la Ψ(x, t) si ottiene;
Equazione di Schroedinger
La Ψ(x, t) può essere espressa come prodotto di una funzione T(t) dipendente dal
tempo per una u(x) dipendente dalla posizione
1
1
H op Y ( x, t )  i  Y ( x, t )
t
Y
Y
Y( x, t )  u( x)e
 iE
t

Y ( x, t )  u ( x)T (t )
1
1
Hu ( x)  i  T (t )  E
t
u
T
Soluzione stazionaria
Equazione di Schroedinger
Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo
Y ( x, t )   n ( x ) e
 iEn
t

Soluzioni stazionarie
Ci saranno diverse soluzioni n per diversi valori di En
n autofunzione
En autovalore
Interpretazione di Born
della funzione d’onda
In conseguenza del fatto che Y soddisfa un’equazione alle derivate prime
nella variabile tempo, si ha che la dipendenza spaziale di Y ad un certo
istante iniziale è sufficiente a determinare completamente la sua dipendenza
ad ogni tempo successivo
D’altro canto non è possibile determinare con precisione la dipendenza
spaziale della funzione d’onda Y all’istante iniziale da una serie di misure
della densità di probabilità perché quello che si ha è solo la somma dei
quadrati della parte reale e quella immaginaria
“Il moto di una particella segue le leggi della probabilità, ma la
probabilità stessa si propaga in accordo con la legge di causalità.“
(Max Born)
Letture consigliate sui principi della
Meccanica Quantistica
•
Robert Eisberg Robert Resnick QUANTUM PHYSICS of Atoms, Molecules, Solids,
Nuclei, and Particles Second Edition John Wiley & Sons
•
Richard P. Feynman QED. La strana teoria della luce e della materia Adelphi (1989)
•
Anton Zeilinger, Il velo di Einstein. Il nuovo mondo della fisica quantistica G. Einaudi
ed. (2005)
•
Richard P. Feynman La fisica di Feynman Vol3 Zanichelli (2001)
•
Robert Oerter La teoria del quasi tutto. Il modello standard , il trionfo non celebrato
della fisica moderna Codice edizioni, Torino (2006)