UNIVERSITÀ DI PISA
Facoltà di Ingegneria — Corso di Laurea in
Ingegneria Civile, dell’Ambiente e del Territorio
Algebra Lineare — Scritto del 16/9/10 — Quesiti
Nome
Cognome

Matricola

p(1)
 è invertibile.
1. Provare che f : R≤2 [t] → R3 data da f (p(t)) =  p0 (−1)
√
p00 ( π)
2. Data la base B = (e1 + 3e2 + e3 , 2e1 + e2 − e3 ) di V = {x ∈ R3 : 4x1 − 3x2 + 5x3 = 0}
provare che v = 4e1 − 3e2 − 5e3 appartiene a V e trovare [v]B .
µ
3. Posto A =
2−i 1+i
1 − 2i 3 − i
¶
calcolare det (A−1 ).
4. Data f : R6 → R9 tale che f (2e1 − 7e3 ) = 3f (e2 − 4e6 ),
se W ⊂ R9 e W + Im(f ) = R9 , che dimensione può avere W ?
5. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare di 3 equazioni in 5 incognite
è sempre un sottospazio affine di dimensione 2 di R5 ?
6. Risolvere su C l’equazione 2iz 2 + (1 − 5i)z + 2(2 − i) = 0.
7. Trovare la proiezione su V = {x ∈ R3 : 2x1 − 3x2 + 7x3 = 0} del vettore 25e1
rispetto alla decomposizione V ⊕ W = R3 con W = Span(e1 + 2e2 − 3e3 ).
Le risposte devono essere sinteticamente giustificate
Deve essere esibito il libretto o un documento. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Questo foglio deve essere intestato
immediatamente con nome, cognome e matricola. Questo foglio va consegnato alla fine della prima ora. Durante la prima ora non è
concesso alzarsi né chiedere chiarimenti. Durante la prima ora sul tavolo è consentito avere solo i fogli forniti e la cancelleria.
1. ♠ 2. ♥ 3. ♠ 4. ♣ 5. ♦ 6. ♠ 7. ♣ 8. ♥ 9. ♣ 10. ♦
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Algebra Lineare — Scritto del 16/9/10 — Esercizı̂
1. In R4 considerare i sottospazı̂ V e W definiti dalle seguenti equazioni
½
½
x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 0
2x1 + 2x2 − 2x3 + 3x4 = 0
V :
W :
3x1 + x2 − 3x3 + 2x4 = 0
x1 − 4x2 + 2x3 − 2x4 = 0
e porre B = (e1 − e2 + 2e3 + 2e4 , 5e2 + e3 − e4 ) e C = (e2 + 4e3 + 2e4 , 2e1 + 2e2 + e3 − 2e4 ).
(A) (2 punti) Provare che R4 = V ⊕ W .
(B) (2 punti) Provare che B è una base di V e C è una base di W .
(C) (3 punti) Dette p e q le proiezioni su V e su W associate alla decomposizione R4 = V ⊕ W
calcolare p(19e2 ) e q(19e2 ).


10 2
2
 7
(D) (2 punti) Posto A = 
−8 2
−8 −2
0 0
1 2 
provare che la formula f (v) = A · v definisce un’appli2 11 
0 2
cazione lineare f : V → W .
(E) (3 punti) Determinare [f ]CB .
2. Al variare di k, h ∈ R considerare in R4 i sottospazı̂ affini



 

6k + 1
3
1 + 2k
 3 
 k − 1   3 
Ek = 
 + Span  k + 1 ,  1  ,
2
k
2
k
½
Fh :
−hx1 + 3x2 − 6x3 − (h + 3)x4 = h + 1
x1 + (2 − h)x2 + (h − 1)x3 + 2x4 = h − 1.
(A) (2 punti) Calcolare la dimensione di Ek al variare di k.
(B) (2 punti) Calcolare la dimensione di Fh al variare di h.
(C) (3 punti) Per k = 2 determinare equazioni cartesiane di E2 .
(D) (3 punti) Per h = −2 determinare equazioni parametriche di F(−2) .
(E) (2 punti) Per k = −1 e h = 1 determinare E(−1) ∩ F1 .
Deve essere esibito il libretto o un documento. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Sul tavolo è consentito avere solo i
fogli forniti e la cancelleria. Dall’inizio della seconda ora si può usare anche un foglio manoscritto contenente enunciati e formule.
Si può uscire solo in casi eccezionali. Ogni foglio consegnato deve recare nome e numero di matricola. La soluzione di ogni
esercizio deve essere consecutiva su un solo foglio. La minuta non va consegnata. Per risolvere un punto di un esercizio è sempre
lecito utilizzare gli enunciati dei punti precedenti, anche se non si è riusciti a risolverli.
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Algebra Lineare — Scritto del 16/9/10 — Quesiti
Risposte esatte
5. ♦
1. È lineare e iniettiva tra spazi della stessa dimensione
µ
¶
−2
2.
3
3.
1
(1
10
+ 2i)
4. Tra 4 e 9
5. No, può essere vuoto o vere dimensione maggiore
6. z1 = − 21 (1 + i), z2 = 3 + i


27
7.  4 
−6
8.
9.
1. ♠ 2. ♥ 3. ♠ 4. ♣ 5. ♦ 6. ♠ 7. ♣ 8. ♥ 9. ♣ 10. ♦