ESISTE UN POLIEDRO
CON 7 SPIGOLI?
Scuola Media
O. Tabacchi
1
Ecco il problema:
La ricercatrice è venuta a presentarci la
seguente questione: “Esiste un poliedro
con sette spigoli?”
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Prima di rispondere bisogna aver chiari i
seguenti termini: poliedro, facce, vertici e
spigoli.
Poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni
posti su piani diversi, in modo tale che ogni lato sia
comune a due di essi
Le facce sono i poligoni che delimitano
il poliedro;
I vertici di ogni poligono vengono detti
vertici del poliedro;
I lati di ogni poligono vengono detti
spigoli del poliedro.
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Quando esiste un poliedro?
Per avere un poliedro occorrono come
minimo 4 vertici: 3 giacciono in un piano a
formare il poligono triangolare ( che è il
poligono con il minimo numero di lati) e 1 sta
fuori del piano; da esso partono gli altri spigoli
che terminano nei vertici del poligono di base.
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Costruzione dei poliedri
Abbiamo provato a
costruire vari poliedri
in modi diversi:
disegnandoli, ma era
difficile vederli nello
spazio,
5
utilizzando il Geo-mag, ma gli spigoli erano
tutti uguali,
6
intagliando le patate,
7
utilizzando cannucce e stecchini
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Abbiamo dunque disegnato, costruito ed
esaminato tanti poliedri ed abbiamo raccolto
i dati dei solidi analizzati in una tabella,
ordinandoli a seconda del numero di vertici:
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Poliedri costruiti
A
B
C
D
E
F
G
G
H
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POLIEDRI
VERTICI
FACCE
SPIGOLI
A
4
4
6
B
5
5
8
C
5
6
9
D
6
5
9
E
6
6
10
F
7
7
12
G
7
10
15
H
7
9
14
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SCOPRIAMO LA FORMULA!
Abbiamo osservato la tabella dei poliedri per
cercare una relazione matematica tra i
numeri V di vertici, F di facce e S di spigoli,
e, provando varie possibilità e facendo tante
prove e molti calcoli, abbiamo scoperto la
formula, che vale per tutti i poliedri da noi
considerati:
V+F=S+2
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Verifica della validità della
formula
Se togliessimo un vertice ad un poliedro,
come si modificano i numeri di vertici, facce,
spigoli? Quanti ne aggiungiamo?
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Prendiamo come esempio una piramide a
base quadrata.
Se togliamo il vertice in cui convergono 4 spigoli,
cosa otteniamo?
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Dalla situazione iniziale si aggiungono
vertici, facce e spigoli e si ottiene un
poliedro finale con:
Iniziali
Aggiunte
Finali
vertici
5
3
8
facce
5
1
6
spigoli
8
4
12
Verifichiamo che V+F =S+2
Vi+Fi =Si+2 ossia 5+5 = 8+2
Vf+Ff =Sf+2 ossia 8+6 = 12+2
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Ora prendiamo come esempio un’altra
figura,un cubo.
Togliamo un vertice
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Dalla situazione iniziale si aggiungono
vertici, facce e spigoli e si ottiene un
poliedro finale con:
Iniziali
Aggiunte
Finali
vertici
8
2
10
facce
6
1
7
Verifichiamo che V+F =S+2
Vi+Fi =Si+2 ossia 8+6 = 12+2
Vf+Ff =Sf+2 ossia 10+7 = 15+2
Per cui la formula è valida
spigoli
12
3
15
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Torniamo alla questione posta
inizialmente: esiste un poliedro con
sette spigoli?
Partendo dalla formula V + F = S + 2 ,
se presupponiamo che gli spigoli siano 7,
allora deve essere: S+2 = 7+2 = 9
per cui V + F = 9
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Quali sono le coppie di numeri
la cui somma è 9?
Sono 10 coppie, associamole ai vertici e alle facce del poliedro:
Vertici
Facce
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Esiste il poliedro?
non è possibile perché i vertici devono essere almeno 4
non è possibile perché i vertici devono essere almeno 4
non è possibile perché i vertici devono essere almeno 4
non è possibile perché i vertici devono essere almeno 4
potrebbe essere possibile
potrebbe essere possibile
non è possibile perché le facce devono essere almeno 4
non è possibile perché le facce devono essere almeno 4
non è possibile perché le facce devono essere almeno 4
non è possibile perché le facce devono essere almeno 4
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Tra queste coppie di numeri, solo due
potrebbero corrispondere alla quantità di
vertici e facce di un poliedro:
sono (4; 5) e (5; 4)
Esiste solo un poliedro
con 4 vertici: la piramide a
base triangolare che ha 6
spigoli e solo 4 facce,
per cui escludiamo la
coppia (4 V ; 5 F)
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Con 5 vertici si possono costruire 2
poliedri
uno con 8 spigoli e 5
facce
un altro con 9 spigoli
e 6 facce.
Allora escludiamo entrambi
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Quindi non esiste un
poliedro con 7 spigoli!!
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Ringraziamo:
La ricercatrice Roberta Dusi
per la collaborazione e l’aiuto,
la professoressa Santolini
per averci seguito e stimolato nella nostra
ricerca,
tutto il pubblico
per averci ascoltato durante la presentazione
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gli alunni della Tabacchi:
Abacan Aileen
Cervi Pietro
Cesaroni Lara
Ferrara Marco
Ferri Beatrice
Ferri Sofia
Jongbuth Nathalia
Kitharatzis Elia
Leoni Amato Pietro
Loseto Sofia
Montecorboli Edoardo
Serto Francesca
Taddia Margherita
Tutucci Gaia
Wu Min
Wu Xiao Fei
Zaccarelli Pietro
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