TQuArs – a.a. 2010/11
Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale
Giuseppe A. Micheli
Lezione B.5
Connettere
In questa lezione..
In questa lezione useremo un primo approccio per studiare
l’associazione di due variabili statistiche: la teoria della connessione. Per
far ciò, a partire da alcuni esempi:
Familiarizzeremo con i concetti di indipendenza stocastica e di
perfetta dipendenza funzionale.
Introdurremo alcune proprietà operative
congiunte in caso di perfetta indipendenza.
delle
frequenze
Faremo la conoscenza di una misura importante di connessione,
che chiameremo “Chi quadro di Pearson”. Impareremo a misurarla
con una procedura operativa più rapida, e a ‘normalizzarla’,
rapportandola al suo massimo.
Esamineremo alcuni paradossi e alcune stranezze della
connessione, applicata a miscugli di popolazione. E questa sarà la
prima finestra che apriremo (e lasceremo per ora socchiusa) verso
l’analisi statistica di tre variabili.
Un esempio: matrimonio e
scolarità
Questa volta partiamo da un esempio concreto. La tabella riporta un incrocio ricavato dalla matrice dati della Survey della regione Lombardia, su 913 lombardi.
lui
Elem
Infer
Lei
Super
lei
0,6
Elem
195
50
22
267
0,45
Infer
37
151
82
270
0,3
Super
11
95
270
376
0,15
243
296
374
913
0
Ci sono tanti modi per leggere questa tabella
e non tutti fruttuosi. Possiamo cominciare a
confrontare le distribuzioni di frequenza marginali. Ma non ne viene granché (fatelo anche
voi). La % con bassa scolarizzazione è maggiore tra le donne (29,2% contro 26,6%) ma
quella ad alta scolarizzazione è praticamente
identica (41,2% contro 41,0%). Insomma, se
ci limitiamo all’analisi univariata, la pari opportunità sembra cosa raggiunta.
elem
infer
super
Lui
0,6
0,45
0,3
0,15
0
elem
infer
super
Endogamia come assenza di
indipendenza
Ma cose meno ovvie emergono leggendo la tabella in altri modi. Proviamo per esempio a soffermarci sulle frequenze congiunte (numerosità congiunte diviso numerosità totale) situate sulla diagonale principale della matrice.
lui
Elem
Infer
Super
Elem
213
55
24
292
Infer
41
165
90
296
Super
12
104
296
412
266
324
410
1000
lei
La diagonale principale di
una matrice è quella dalla
sinistra in alto alla destra
in basso: esiste solo se la
tabella ha numero uguale
di righe e colonne
La somma delle frequenze sulla diagonale principale è pari al 67,4%. Significa che
due lombardi su tre sono sposati con persona del proprio livello di istruzione.
Si dice, in linguaggio forbito, che l’endogamia è forte. La scolarità perseguita (e
dietro di essa lo status sociale) condiziona pesantemente la scelta del coniuge.
Traduciamo tutto ciò nel linguaggio appreso. Ciò significa che non c’è indipendenza
tra scolarità del Lui e del Lei. E che le distribuzioni di frequenza della scolarità di Lei
varieranno notevolmente al variare della scolarità di Lui. Verifichiamolo.
Distribuzioni vincolate come
fondali di scena
Che si calcolino le frequenze di Lei vincolate a Lui o viceversa il risultato non cambia
Freq (istruzione di lui|istruzione di lei) Pensiamo ai diagrammi delle distribuzioni
vincolate come a fondali di palcoscenico
lui
Elem
Infer
Super
posti a diverse profondità. Ora la rapprelei
sentazione grafica ha tre dimensioni: la
Elem
73,0
18,7
8,3
100
variabile ‘condizionante’ (lungo la profonInfer
13,7
55,9
30,4
100
dità), quella condizionata (per larghezza)
Super
2,9
25,3
71,8
100
e le frequenze vincolate (in verticale).
26,6
32,4
41,0
100
Freq (istruzione di lei|istruzione di lui)
0,8
Freq (istruzione di lei|istruzione di lui)
lui
Elem
Infer
0,6
Super
0,8
0,4
0,6
0,2
0,8
0,4
0
0,6
0,2
0,4
0
lei
Elem
80,3
16,9
5,9
29,2
Infer
15,2
51,0
21,9
29,6
Super
4,5
32,1
72,2
41,2
100
100
100
100
Se lui ha ‘super’
elem
super
Se lui ha ‘infer’
elem
0,2
infer
infer
super
Se lui ha ‘elem’
0
elem
infer
super
Distribuzioni vincolate in una
società ‘libera’
Come sarebbe la nostra tabella in un’ipotetica società in cui tutte le Lei avessero la
stessa chance di sposare un Lui istruito, indipendentemente dalla scolarità di Lei?
Traduciamo la domanda nei termini tecnici che abbiamo appreso. La distribuzione
di frequenza del livello di istruzione di lei non deve cambiare al variare del livello
di istruzione di lui. Cioè tutte le distribuzione di frequenza vincolate (Lei|Lui) sarebbero uguali tra loro, quindi uguali a quella della popolazione in generale.
Per qualunque j
fj|1 = fj|2 = .. = fj|i = .. = fj|r = fj
e per qualunque j e i
lei lui
Elem
Infer
Super
Elem
29,2
29,2
29,2
29,2
Infer
29,6
29,6
29,6
29,6
Super
41,2
41,2
41,2
41,2
N=243
N=296
N=374
N=913
fj|i = fj
In questa tabella le distribuzioni vincolate sono tutte identiche alla distribuzione
marginale. Non è difficile risalire alla
distribuzione congiunta corrispondente.
Infatti, dato che fj|i = nji/ni allora
nji = fj|i x ni
Freq (istruzione di lei|istruzione di lui)
Per es. la numerosità ‘teorica’ in una società libera di Lei con licenza elementare e
Lui con diploma superiore è 0,292 x 374 = 109,2 (non è intera perché ‘teorica’)
La tabella ‘teorica’ di
indipendenza stocastica
Questa è la tabella del caso ‘teorico’ di ‘società libera’ in cui ogni donna è indipendente nelle sue scelte del partner (secondo la scolarità): essa possiede 3 proprietà
lei lui
Elem
Infer
Super
Elem
71,1
86,5
109,4
267
Infer
71,8
87,6
110,6
270
Super
100,1
121,9
154,0
376
243
296
374
913
La seconda considerazione emerge se
andiamo a calcolare le frequenze vincolate per colonna, cioè le frequenze
di livello di istruzione di lui, vincolate
al livello di istruzione di lei. Anche
queste distribuzioni sono uguali
tra loro e identiche alla marginale.
La prima cosa da osservare è che la distribuzione congiunta costruita per colonna rispetta anche le somme per riga, pari proprio alle numerosità marginali.
lei lui
Elem
Infer
Super
Elem
26,6
32,4
41,0
N=267
Infer
26,6
32,4
41,0
N=270
Super
26,6
32,4
41,0
N=376
26,6
32,4
41,0
N=913
Vale questa definizione generale: “C’è indipendenza stocastica della v.s. X
dalla v.s. Y quando le distribuzioni condizionate di frequenza di Y non variano
al variare delle modalità condizionanti di X, cioè se fj|i = fj per ogni i,j
Esempio: una pietra miliare
della epidemiologia
Partiamo con dati inventati, ma che descrivono un famoso caso di storia della scienza. Per trovare una spiegazione alla diffusione del colera John Snow analizza 2000
quartieri (walls) di Londra, secondo il grado di Esposizione all’epidemia di colera del
1854 (Alto, Medio,Nullo) e la società H di erogazione idrica (Lambeth, Misto, Vauxh).
H
E
Alto
Medio
Basso
Lamb
720
180
0
900
Mixed
120
0
180
300
Vauxh
160
120
520
800
1000
300
700
2000
H
E
Alto
Medio
Basso
Lamb
0,80
0,20
0
900
Mixed
0,40
0
0,60
300
Vauxh
0,20
0,15
0,65
800
0,50
0,15
0,35
2000
La tabella delle numerosità congiunte o delle
frequenze relative non dice niente di chiaro.
Calcoliamo allora le frequenze vincolate
per riga: cerchiamo cioè di spiegare il
variare della distribuzione di frequenza
dell’esposizione al colera (E) in funzione del tipo di acqua erogata.
Ora vediamo che il colera colpisce
pesantemente l’80% dei quartieri serviti
dalla Lambeth & Co., solo il 20% di quelli
serviti dalla Vauxhall, e una via di mezzo per
i quartieri serviti da entrambe le società.
Se le frequenze vincolate variano tra i
diversi sottogruppi, si può sospettare
che esista una relazione tra H e E.
La tabella ‘teorica’ di
indipendenza stocastica
Se E non dipendesse per niente da H ci dovremmo aspettare che le distribuzioni vincolate per riga (per grado di esposizione al colera) non varino per niente al variare
della società di erogazione, e siano quindi tutte uguali alla distribuzione marginale:
H
E
Alto
Medio
Basso
Lamb
0,50
0,15
0,35
900
Mixed
0,50
0,15
0,35
300
Vauxh
0,50
0,15
0,35
800
0,50
0,15
0,35
2000
Questa è la tabella delle frequenze
vincolate che si avrebbe se ci fosse
indipendenza tra H e E. Da questa..
0,50 x
900 =
_____
450
H
E
Alto
Medio
Basso
Lamb
450
135
315
900
Mixed
150
45
105
300
Vauxh
400
120
280
800
1000
300
700
2000
Si risale (moltiplicando le frequenza vincolate per le corrispondenti numerosità marginali) alla Tabella teorica di Indipendenza.
Torniamo alla definizione generale: “C’è indipendenza stocastica della v.s. X
dalla v.s. Y quando le distribuzioni condizionate di frequenza di Y non variano
al variare delle modalità condizionanti di X, cioè se fj|i = fj per ogni i,j
Fattorizzazione delle frequenze
Attenzione: la proprietà di indipendenza stocastica (o statistica) è simmetrica: la
indipendenza di Y da X implica cioè quella di X da Y.
Ma se noi formuliamo le frequenze relative come rapporti tra numerosità, la definizione generale ”fj|i=fj per ogni i,j” diventa ”nji/ni=nj/N” da cui si trae:
nji =(nj x ni)/N
o dividendo entrambe le parti per N:
fji =fj x fi
Condizione necessaria e sufficiente perché
ci sia indipendenza stocastica tra X e Y è che le numerosità congiunte nji
siano fattorizzabili (scomponibili in fattori) nel prodotto – diviso per N – delle
corrispondenti numerosità marginali, ossia che le frequenze congiunte
siano fattorizzabili nel prodotto delle corrispondenti frequenze marginali
Ricordate: “Condizione Necessaria e Sufficiente” vuol dire che: a) se c’è
indipendenza stocastica le frequenze sono fattorizzabili, ma insieme b) se le
frequenze sono fattorizzabili c’è indipendenza stocastica.
Un esempio: tavole di mobilità
sociale padri-figli
Prendiamo la tavola della mobilità intergenerazionale (padri-figli) stimata per le
persone occupate in Italia nel 1985 (Sylos Labini, numerosità in milioni).
Pa
Fi
Basso
Medio
Alto
njio
Basso
644
462
42
1148
Medio
413
848
94
1355
Alto
13
68
47
128
1070
1378
183
2631
Freq (status figlio/status padre)
Pa
Fi
Basso
Medio
Alto
Basso
56,1
40,2
3,7
100
Medio
30,5
62,6
6,9
100
Alto
10,2
53,1
36,7
100
40,7
52,4
6,9
2631
La somma delle frequenze relative sulla diagonale principale (644+848+47=1539) dà la
misura di un cambiamento massiccio ma non
radicale: 1539 su 2631 (58,5%) sono stabili
(stayers), il restante 41,5% cambia status.
Se poi confrontiamo le distribuzioni marginali,
troviamo che la popolazione di basso status è
scesa dal 43,6 al 40,7%, quella di alto status
è salita dal 4,9 al 6,9%.
Ma le frequenze vincolate sono ancora più
esplicite nel mostrare che non c’è ‘perfetta
mobilità sociale’: se il papà era in basso nella
scala sociale la frequenza di appartenere alla
élite è solo del 3,7%, contro il 36,7% se il
papà era già ‘high status’.
American way of life
Ma come sarebbe fatta la tavola, compatibile con le distribuzioni marginali italiane,
di perfetta mobilità sociale? La tavola di indipendenza stocastica in cui la frequenza
per un figlio di appartenere allo status i non dipende dalla status del padre?
Pa
Fi
Basso
Medio
Alto
njie
Basso
467
601
80
1148
Medio
551
710
94
1355
Alto
52
67
9
128
1070
1378
183
2631
Numerosità teoriche di ind.stocastica
Pa
Fi
Basso
Medio
Alto
cji
Basso
+177
-139
-38
0
Medio
-138
+138
0
0
Alto
-39
+1
+38
0
0
0
0
0
Tavola delle contingenze cji=njio-njie
In questa tabella ogni numerosità teorica
è calcolata ‘fattorizzando’ le frequenze:
njie =(njxni)/N
Per esempio
80=(1148x183)/2631
ecc.
67=(1378x128)/2631
Ma quanto è la distanza tra la tabella
effettivamente osservata (numerosità
congiunte njio dove o sta per osservato)
e quella teorica di indipendenza (numerosità congiunte njie dove e=expected)?
Basta calcolare la tabella delle differenze
tra le njio e le njie ! Chiamiamo ‘contingenze’ le differenze cji = njio - njie.
Contingenze & contingenze
quadratiche
Tavola delle contingenze cji=njio-njie
Pa
Fi
Basso
Medio
Alto
cji
Basso
+177
-139
-38
0
Medio
-138
+138
0
0
Alto
-39
+1
+38
0
0
0
0
0
Ogni singola contingenza ci racconta dello scostamento tra una frequenza osservata e quella teorica di perfetta indipendenza. Per esempio qui si nota la coincidenza tra nmedio,altoo e nmedio,altoe, ma altre
contingenze sono assai più elevate.
Se noi vogliamo misurare globalmente il grado di scostamento della distribuzione
congiunta da quella teorica di indipendenza è necessario fare una sintesi delle singole contingenze: occorre calcolarne una qualche ‘media’.
Ma c’è un problema. La tavola osservata e quella teorica hanno le stesse distribuzioni marginali. Perciò la tavola delle contingenze ha somme (per riga, per colonna,
in totale) pari a zero. Occorre quindi fare la media non delle contingenze semplici,
ma di una qualche trasformazione 0. Come il valore assoluto o i quadrati. E poi
farne la somma. E’ una procedura familiare, vero?
Già che ci siamo, ricordiamo anche che la varianza ci dava problema perché somma
quantità quadratiche ed è di un ordine superiore ai dati osservati. Avevamo cercato
quindi di ricondurla allo stesso ordine di grandezza dei dati (facendone la radice).
Misurare la connessione
Pa
Fi
Basso
Medio
Alto
njio
Basso
644
462
42
1148
Medio
413
848
94
Alto
13
68
1070
1378
Basso
Medio
Alto
njie
Basso
467
601
80
1148
1355
Medio
551
710
94
1355
47
128
Alto
52
67
9
128
183
2631
1070
1378
183
2631
Tavola numerosità osservate njio
Pa
Tavola numerosità teoriche njie
Basso
Medio
Alto
cji
Pa
Basso
+177
-139
-38
0
Medio
-138
+138
0
Alto
-39
+1
0
0
Pa
Fi
Fi
Basso
Medio
Alto
Basso
67,086
32,148
18,050
0
Medio
34,563
26,822
0
+38
0
Alto
29,250
0,015
160,444
0
0
Tavola contingenze cji=njio-njie
Fi
Tavola dei rapporti cji2/njie
Qui sono riepilogate le tavole di calcolo. Ma perché per riportare all’ordine di
grandezza dei dati la somma la dividiamo per njie e non per njio? Tanti i
motivi: ma provate voi a fare rapporti con uno zero al denominatore!
L’indice chi quadrato di
Pearson
La somma dei rapporti (cji2/njie) è una buona misura del
grado di connessione tra due variabili. La indichiamo
con la lettera greca  (si legge ‘chi’) seguita dal segno
del quadrato. Una misura proposta da Karl Pearson,
studioso di fine ‘800, con queste caratteristiche:
r ,s
(n  n )
i, j
nije
 
2
o
ij
e 2
ij
2
è somma di tanti rapporti in cui i numeratori sono quadrati (quindi sempre 0) e i denominatori sono prodotti di frequenze marginali (quindi sempre
>0: un prodotto è zero solo se uno dei fattori è zero, ma se una frequenza
marginale fosse zero non ci sarebbe quella riga o colonna nella tabella!);
2
è zero se e solo se tutte le differenze al numeratore sono zero cioè se e
solo se (njio-njie)=0 per ogni i,j; cioè in caso di indipendenza stocastica;
 2 cresce, allontanandosi da zero, al crescere della distanza della distribuzione congiunta osservata da quella di perfetta indipendenza;
2
ha un massimo? E a che situazione corrisponde? Risponderemo presto.
Intanto limitiamoci a calcolare questa misura nell’esempio della mobilità sociale.
Risulta 2 = (67,086+32,148+18,050+34,563+…+160,444)= 368,378
Agli antipodi: la perfetta
dipendenza funzionale
Chi quadrato misura lo scostamento dal caso di perfetta indipendenza stocastica.
Ma fino a quanto ci si può scostare? Esiste un tetto non superabile? E si può dare un
significato a questa situazione limite agli antipodi della indipendenza stocastica?
Per rispondere inventiamoci un’altra tavola di mobilità sociale, questa volta fittizia,
intragenerazionale (non padri-figli) tra tre settori di vita: città, periferia, campagna.
t
t+1
Rur
Per
Urb
t
Rur
25
5
0
30
Per
5
25
10
Urb
0
10
30
40
Rur
Per
Urb
Rur
9
12
9
30
40
Per
12
16
12
40
20
30
Urb
9
12
9
30
30
100
30
40
30
100
Tavola di mobilità osservata (2=73,8)
t
t+1
t+1
Tavola di perfetta indipendenza (2=0)
t
Rur
Per
Urb
Rur
0
0
30
30
40
Per
0
40
0
40
30
30
Urb
30
0
0
30
30
100
30
40
30
100
Rur
Per
Urb
Rur
30
0
0
30
Per
0
40
0
Urb
0
0
30
40
Tavola di società castuale (2=200)
t+1
Tavola di società à la Pol Pot (2=200)
Perfetta dipendenza funzionale
Dunque. La tabella osservata mostra un grado di connessione pari a 2=73,8. La
situazione di riferimento di indipendenza ha ovviamente 2=0. Ma quelle, opposte,
in cui lo stato al tempo (t+1) ‘dipende’ in modo rigido dallo stato al tempo t, danno
entrambe 2=200 (la stessa cifra: eppure sono situazioni davvero diverse!).
Diamo allora una definizione formale del concetto di dipendenza funzionale:
«Una variabile Y dipende funzionalmente da X se a ogni modalità
osservata di X corrisponde una e una sola modalità osservata di Y»
Attenti alle proprietà della dipendenza funzionale:
La dipendenza funzionale non implica che ci
sia una relazione quantitativa ‘monotòna’ tra le
due variabili (in cui al crescere di una cresca o
non diminuisca l’altra). Si pensi a una società in
cui tra t e (t+1) quelli che stanno in A passino
in B, quelli che stanno in B passino a C, quelli
che stanno in C passino ad A.
La dipendenza funzionale non implica neppure che le variabili coinvolte siano quantitative!! E questo vale in generale per 2 e per
la ‘teoria della connessione’.
Stress
Status
High
Middle
Low
High
-
-
>0
Middle
>0
-
-
Low
-
>0
-
In questo esempio i ceti
medi (‘in mezzo al guado)
hanno il massimo livello di
stress, i ceti bassi hanno
una gradazione intermedia
di stress, i ceti alti stanno
relativamente bene..
Ancora sulla perfetta
dipendenza funzionale
Se e solo se la tavola delle numerosità congiunte (tabella di contingenza) è
quadrata (r=s) la dipendenza funzionale è biunivoca (cioè la dipendenza funzionale di Y da X implica anche la dipendenza funzionale di X da Y e viceversa). Solo in questa caso dunque la connessione è un concetto simmetrico.
Se s>r (più colonne che righe) ci può essere
perfetta dipendenza funzionale di X da Y ma
non viceversa (ad almeno una modalità di X
corrisponderà più di una modalità di Y).
A
B
C
D
-
-
>0
F
>0
>0
-
X
Se r>s (più righe che colonne) ci può essere
perfetta dipendenza funzionale di Y da X ma
non viceversa (ad almeno una modalità di Y
corrisponderà più di una modalità di X).
Infine, se entrambe le v.s. coinvolte
sono quantitative discrete, alla tabella
di massima connessione si può associare una relazione funzionale (non
necessariamente monotona) del tipo
Y=f(x) e una del tipo X=g(y).
X Y
XY
1
2
4
1
-
>0
-
Y
A
B
D
>0
-
E
-
>0
F
-
>0
4
3
2
2
-
-
>0
3
>0
-
-
1
0
0
1
2
3
Normalizzare chi quadrato
Si può dimostrare (credeteci sulla parola) che l’indice 2 ha un massimo pari al
minore tra il numero di righe e il numero di colonne, meno 1 e moltiplicato per N:
E’ abbastanza intuitivo che il valore massimo, corrispondente alla
situazione di massima connessione, si può realizzare solo nel
caso in cui la tabella della distribuzione congiunta sia quadrata
(r=s). Ma anche con questo ‘lieve
difetto’, il valore massimo ci consente di normalizzare l’indice:
max  N  min( r, s)  1
2


2
N   (nij / ni n j )  1
2
 i, j
 1
0   2   2 /  max 
N  min( r, s )  1
Nell’esempio di mobilità intergenerazionale r=s=3, N=2631 e 2=368,378.
Quindi 2max=2631(3-1) e 2*=0,07
Nell’esempio di endogamia matrimoniale r=s=3, N=913 e 2=544,1.
Quindi 2max=913(3-1) e 2*=0,298
Nella tavola (fittizia) di mobilità sociale
osservata r=s=3, N=100 e 2=73,8.
Quindi 2max=100(3-1) e 2*=0,369
Ma nelle simulazioni di mobilità sociale
di una società per caste e di una società
à la Pol Pot 2=200 e quindi 2*=1!!
L’imprevedibilità dei miscugli
Ricordate il concetto di miscuglio, cioè di una popolazione costituita da unità
provenienti da gruppi (subpopolazioni, strati) eterogenei tra loro, dotati di
distribuzioni di frequenza divergenti? Avevamo fatto conoscenza coi miscugli
nell’analisi univariata, e avevamo concluso che occorreva stare prudenti..
Anche nella connessione tra due caratteri qualitativi la natura di miscuglio di una
popolazione può produrre effetti sorprendenti. E’ infatti vero che:
In un miscuglio si può osservare perfetta
indipendenza stocastica tra due caratteri X
e Y, anche se nelle subpopolazioni si possono
osservare relazioni di dipendenza funzionale anche perfetta.
Viceversa, in un miscuglio si può osservare
una relazione tra X e Y in una certa direzione,
mentre nelle subpopolazioni la relazione
funzionale esiste ma di segno diverso.
A 35 anni, tra le
ragazze chi lavora è
meno frequente che
abbia un figlio di chi
non lavora; tra i
ragazzi è invece
l’opposto.
Ma se pigliamo ragazzi
e ragazze insieme che
tipo di relazione
funzionale potremo
trovare tra attività
lavorativa e stato
civile?
Quando l’eterogeneità
nasconde una relazione
Per esempio, vediamo se esiste associazione tra un indicatore P di performance in
carriera (a=alta, b=bassa) e l’appartenenza etnica E (n=nero, s=ispanico,
w=bianco) in due isolati W1 (periferico) e W2 (city) di una città americana.
W1: isolato periferico
E/P
bassa
W1: isolato nella city
alta
Nero
0
3
3
Ispanico
0
6
6
Bianco
8
0
8
8
9
17
Nel miscuglio ogni percezione di un ‘minority
status effect’ si dissolve: c’è perfetta indipendenza stocastica!!
E/P
Nero
Ispanico
Bianco
bassa
alta
6
0
6
12
0
12
0
4
4
18
4
22
W1+W2: miscuglio
Nell’isolato periferico c’è
perfetta dipendenza funzionale: i bianchi sono
marginali e ‘falliscono’.
E/P
Nero
Ispanico
Bianco
bassa
alta
6
3
9
12
6
18
8
4
12
26
13
39
In centro invece i bianchi
hanno buone performances. Le minoranze etniche
(anche se numerose!) assai meno.
Il paradosso di Simpson
Un secondo effetto sorprendente consiste nel rovesciamento della direzione della
connessione individuata. Può sembrare un guaio meno radicale del precedente,
ma può avere conseguenze consistenti. Supponiamo che due ospedali sperimentino l’efficacia terapeutica (E=sì o no) di due molecole (F=A,B) nel curare la Sars.
Solo, i due ospedali abbiano somministrato i due farmaci in misura differente.
Clinica 1
Pool delle cliniche
F/E
sì
no
F/E
sì
no
FA
6(35%)
11
17
FA
13 (52%)
12
FB
2 (25%)
6
8
FB
15 (60%)
8 (32%)
17
25
28 (56%)
Clinica 2
F/E
sì
no
25
FA
7 (87%)
1
8
10
25
FB
13 (76%)
4
17
22
50
20 (80%)
5
25
In entrambe le cliniche il farmaco A ottiene risultati migliori. Ma (attenti alla diversa distribuzione dei farmaci) nel miscuglio ha risultati più favorevoli il farmaco B.
Così la scelta del farmaco più efficace dipende dalla scelta del livello di analisi:
Se si sceglie il farmaco più efficace nella maggioranza di cliniche, sarà A.
Se si sceglie il farmaco più efficace sul pool delle cliniche, esso sarà B!