UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA
“TOR VERGATA”
Corso di laurea in ingegneria dei modelli e dei sistemi
ALGORITMI PER IL CALCOLO DEL
PREZZO E DELLA COPERTURA DI
OPZIONI EUROPEE
Studente:
Relatore:
Claudio Palandra
Prof. Giovanni Bellettini
- Claudio Palandra -
Ringraziamenti
Ringrazio tutti i presenti per la
partecipazione.
Claudio Palandra
- Claudio Palandra -
Sommario
• Introduzione: proprietà del mercato ed
opzioni;
• Modello Cox-Ross-Rubinstein;
• Programmazione in C++.
- Claudio Palandra -
PROPRIETA’ DEL MERCATO
FINANZIARIO
Studieremo un mercato finanziario con proprietà quasi
sempre non riscontrabili; senza discostarci troppo dalla
realtà avremo però grandi facilitazioni dal punto di vista
dello studio matematico.
Proprietà:
• Esiste di un tipo di investimento non rischioso detto
bond, a tasso r costante;
• i costi di transazione(cambio valuta, acquisto azioni...)
sono nulli;
• è ammessa la vendita allo scoperto;
• sono permesse operazioni che riguardano frazioni di
bene.
- Claudio Palandra -
Derivati
• un prodotto derivato è un titolo il cui valore è basato sul valore di
mercato di altri beni;
• nati inizialmente con lo scopo di coprire il rischio; tuttavia si prestano
bene a scopi speculativi;
• vasta diffusione sui mercati;
• i principali derivati sono futures e opzioni.
- Claudio Palandra -
Opzioni
Particolare tipo di derivato che conferisce al possessore
la possibilità ma non l’obbligo di comprare o vendere il
bene(sottostante) sul quale l’opzione è sottoscritta, ad
un determinato prezzo prefissato fino a una particolare
data prefissata(maturità).
Americane: è possibile
esercitare in qualsiasi
momento
Europee: è possibile
esercitare solo a
maturità.
- Claudio Palandra -
Payoff
• È una quantità che caratterizza l’opzione;
• rappresenta il guadagno del detentore del contratto;
PT  K  ST 
CT  ST  K 
ST
ST
Grafico del payoff di una call
Grafico del payoff di una put
• dal payoff possiamo dedurre qualsiasi tipo di opzione
(asiatica, digital, barriera...)
- Claudio Palandra -
Opzioni:
Possiamo domandarci:
Cos’è il premio di un’opzione?
Cos’è una strategia replicante?
- Claudio Palandra -
Modello C.R.R.
• Sul mercato sono presenti solo 2 titoli: uno non
rischioso e uno rischioso;
• il prezzo del sottostante tra 2 istanti successivi
può assumere solo 2 valori;
- Claudio Palandra -
Note sul modello C.R.R.
Sia S n il valore del sottostante al tempo n e a, b tali che
-1<a<b; allora:
 S n 1  a 
S n 1  
 S n 1  b 
con probabilità p;
con probabilità (1-p);
Affinchè il modello CRR sia privo di arbitraggio e completo
è necessario che:
a<r<b
- Claudio Palandra -
In generale...
Se h è il payoff di una opzione il prezzo è dato da:

E (1  r )
N
h

Seguendo la strategia replicante sarò in grado di generare
a maturità esattamente il valore h. Nel caso particolare di
una call standard il prezzo sarà:
c0  1  r 
N
N j
  p 1  p N  j S 1  a  j 1  b N  j , K

0


j 0 j
 
N

- Claudio Palandra -


Programmazione C++
• Calcolo del prezzo di opzioni path
dependent
• Calcolo della copertura dinamica di
un’opzione
• Verifica della velocità di convergenza
- Claudio Palandra -
Path dependent
Le opzioni path dependent hanno payoff dipendente
in maniera non banale dalla storia del prezzo del
sottostante.
In genere non esistono formule chiuse per il calcolo
del prezzo.
K = 100
PREZZO OPZIONE
So= 100
T = 1
SIMULAZIONI
INTERVALLI
CONFIDENZA
12 < N < 365
10^4 < M < 10^6
- Claudio Palandra -
Path dependent
Asiatiche
Barriera
• no forma chiusa
• no forma chiusa
simulazioni
simulazioni
Prezzo
- Claudio Palandra -
Asiatiche
• Il payoff dipende dalla media aritmetica dei
valori del sottostante nel corso della vita
dell’opzione:
 1

h
St  K 

 T  1 t 0

T
- Claudio Palandra -
Asiatiche
Visto che non è facile trovare formule chiuse, nel
programma ricorriamo a simulazioni:
• generiamo M volte il payoff;
• per M molto grande la media empirica ci fornisce una
buona approssimazione del valore che cerchiamo:
prezzo  (1  r )  N
1 M  1 N ( m)

 
Sn  K 

M m1  N  1 n0

Codice
back
- Claudio Palandra -
Cosa succede......
5
4
N
3
0
2
1
0
(
1
+
2
+
3
+
5
4
+
+
N
+
K
N+1
- Claudio Palandra -
)+
Asiatiche
Nella tabella possiamo vedere alcuni risultati
facendo variare il numero di simulazioni M ed il
numero di periodi nell’anno N:
N=365
M=10.000
M=100.000
N=52
N=12
5.86649 5.81128 5.72745
5.75327 5.8062
5.76763
M=1.000.000 5.76844 5.75854 5.73879
- Claudio Palandra -
Asiatiche  intervalli confidenza
DA
M=10.000
N=365
M=100.000
N=365
M=1.000.000
N=365
A
5.70815
6.02483
5.70399
5.80256
5.7528
5.78407
- Claudio Palandra -
Barriera
Sono opzioni che si attivano
o si disattivano se il
valore del sottostante, in
un momento qualsiasi
della vita di un’opzione,
raggiunge una
determinata soglia detta
“barriera”.
opzione attiva
barriera
- Claudio Palandra -
Barriera
• Hanno prezzo inferiore delle normali call/put perchè
hanno la possibilità di entrare in stati disattivati o uscire
da stati attivati.
• Se U è il valore della barriera, il payoff di una call upand-in risulta:
h   ST  K  1n0:Sn U 
- Claudio Palandra -
Barriera
Visto che non è facile trovare formule chiuse
nel programma ricorriamo di nuovo a
simulazioni.
prezzo  1  r 
N
1 M (m)
h
M m1
Codice
back
- Claudio Palandra -
Barriera
Nella tabella possiamo vedere alcuni risultati
facendo variare il numero di simulazioni M
ed il numero di periodi nell’anno N:
N=365
N=52
N=12
M=10.000
10.4029 10.3257 10.1298
M=100.000
10.3233 10.351
10.2859
M=1.000.000 10.2945 10.3045 10.2506
- Claudio Palandra -
Barriera  intervalli di confidenza
DA
M=10.000
N=365
M=100.000
N=365
M=1.000.000
N=365
A
10.115
10.6908
10.2316
10.415
10.2655
10.3234
- Claudio Palandra -
Variazioni sulla barriera
Nella tabella abbiamo fissato M=1.000.000 e N=365;
facendo variare il valore della barriera si ottiene:
U
PREZZO
INTERVALLO
200
0.0661976
0.0611827 0.0712124
140
110
103
CALL S.
4.57489
10.2945
10.4336
10.4358
4.54883  4.60294
10.2655 10.3234
10.4048 10.4624
---------------------
- Claudio Palandra -
Barriera
• consideriamo una opzione barriera up-and-in;
 n=0
S0
flag=0
S1  U
 n=1
S1
S1  U
 n=2 .......
- Claudio Palandra -
flag=1
simulo veloce fino a n=N
continuo il ciclo
Stima empirica velocità di
convergenza
• Il modello C.R.R. converge per N molto grande al
modello B.S.; trovare la velocità di convergenza è cosa
piuttosto complessa;
• un tentativo “fattibile” è una stima empirica con il
calcolatore:
c
 1 
PN  P    o  
N
N 
- Claudio Palandra -
Stima empirica velocità di
convergenza
• se passo alla scala logaritmica:
log N
log | PN  P | log | c |  log N
log | PN  P |
ascissa
log | PN  P |
ordinata
log N
posso graficare e stimare con il coeff.angolare...
- Claudio Palandra -
Stima empirica velocità di
convergenza
- Claudio Palandra -
Stima empirica velocità di
convergenza
• L’estrapolazione di Romberg fornisce una verifica
della correttezza del risultato, oltre che una stima
più precisa:
c
 1 
P2 N  P     o  
2 N
N 

2
c  1


2 PN  2 P    o 
N
N



 1  P2 N  2 PN
  P  o   


N
1

2




Codice
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- Claudio Palandra -
Copertura dinamica
• voglio fare il venditore di opzioni: necessito costruire una
strategia replicante, cioè una strategia  che dia a
maturità un valore di portafoglio pari al payoff
dell’opzione:
VN    N0 SN0  N SN  (SN  K )
• simulo la traiettoria del valore del sottostante, e ad ogni
istante decido le quantità che dovrò acquistare all’istante
successivo di sottostante e di titolo non rischioso per
garantirmi la copertura;
Codice
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- Claudio Palandra -
Copertura dinamica
• ad ogni passo k osservo S k 1 , ricavo le funzioni prezzo:
c(k , S k 1 (1  a))
c(k , S k 1 (1  b))
da cui posso facilmente risalire alle quantità  k0 ,  k da
acquistare tramite il sistema:
n0  1  r n  n  Sn 1 (1  a)  c(n, Sn 1 (1  a))
 0
n
n  1  r   n  Sn 1 (1  b)  c(n, Sn 1 (1  b))
- Claudio Palandra -
Copertura dinamica
Risolvendo il sistema si ricavano le quantità cercate:
n  (n, Sn 1 ) 
c(n, Sn 1 (1  b))  c(n, S n 1 (1  a))
Sn 1 (b  a)


n0   0 (n, Sn 1 )  (1  r )  n c(n, Sn 1 (1  a)) 
1 a
c(n, Sn1 (1  b))  c(n, Sn1 (1  a)) 
ba

Analizzando la prima delle 2 funzioni vediamo come
questa misuri la sensibilità della variazione del prezzo
dell’opzione al tempo n rispetto ad una variazione del
prezzo del titolo di base.
- Claudio Palandra -
Sviluppi per il futuro
• studio di opzioni americane;
• studio di algoritmi efficienti per prezzare opzioni
americane path-dependent:
articoli di Barraquand/Pudet e di Hull/White
• studio nel continuo.
- Claudio Palandra -