CORSO DI FISICA
Prof. Francesco Zampieri
http://digilander.libero.it/fedrojp/
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TEOREMA DI GAUSS
CAMPO ELETTRICO PUNTIFORME
Prodotto da una carica
PUNTIFORME
1
Dipende da 2
r


Q r
1
E=
4p eoer r2
+1C
+
Ma cosa succede se la sorgente non è puntiforme (es. corpo esteso
carico)?
Dovrei, in linea di principio, suddividere corpo esteso in tante
cariche puntiformi e usare il principio di additività
+
++
+
+
Impensabile x il numero di vettori che
dovrei sommare
Serve uno strumento più agile per poter calcolare il campo E in
tali situazioni
Devo esaminare le proprietà spaziali di E
* Tramite l’andamento delle LINEE DI CAMPO
* Calcolando il FLUSSO USCENTE  attraverso superficie
chiusa
* Calcolando la CIRCUITAZIONE  attorno ad un circuito
chiuso
LE LINEE DI CAMPO
• Descrivono graficamente l’andamento di E
nella regione attorno alla sorgente
PER CARICA PUNTIFORME SINGOLA POSITIVA
+
La carica di prova si
muove su traiettorie
rettilinee uscenti
PER CARICA PUNTIFORME SINGOLA NEGATIVA
La carica di prova si
muove su traiettorie
rettilinee entranti
Le linee di campo sono quindi delle rette (su cui si svolge il moto
delle cariche che subiscono l’interazione da parte della sorgente
CASO DI DUE CARICHE (concordi)
Cosa fa la carica di prova?
+
+
La traiettoria è curva!!
Andamento delle linee per 2 cariche positive
Andamento per cariche di segno opposto
IL FLUSSO  del CAMPO ELETTRICO
Analogia con l’idraulica: FLUSSO = PORTATA
m3 di acqua che in 1 secondo passano
attraverso la sezione
Se l’acqua si muove di
moto uniforme, s=vt
S
v
In 1 secondo il volume che transita attraverso la sezione S è
quello contenuto nel cilindro di sezione S ed altezza v
PORTATA = vS
Se il liquido non scorre perpendicolarmente alla superficie?
Versore normale n alla superficie
v
Nullo se v  n
Il flusso sarà MINORE!!
Quindi il flusso dipende anche dall’angolo α
Se α = 0, flusso MAX, se α = 90, flusso nullo
  v  S  cos 
Un prodotto che dipende così dall’angolo si dice PRODOTTO
SCALARE
 
  v  nS
nS = vettore superficie orientata (trasformazione della
grandezza scalare S in vettore, moltiplicando per il versore
normale n)
Si calcola attraverso una superficie S
Se la superficie è regolare (la
normale è uguale in ogni punto),
il flusso è dato da:
 
  E  nS
Se la superficie non è piana, la normale cambia in ogni punto
La definizione di prima non va più bene, ma è corretta
solo LOCALMENTE (x punti)
SOLUZIONE
Divido la superficie S in tanti superfici dS infinitesime (quindi
approx piane)
Calcolo il flusso (a sua volta
infinitesimo) su una di tali
superfici
 
d  E  ndS
dS
SOMMO I FLUSSI PARZIALI, tenendo conto di tutte le
superfici che ho creato
In matematica, una somma su infiniti elementi a loro volta
piccolissimi, si chiama integrale e il flusso si indica così
 
   E  n dS
IL TEOREMA DI GAUSS
Mi consente di calcolare il flusso per altra via
Lega il flusso del campo elettrico alle sue sorgenti
(cariche)
Considero una sola carica puntiforme Q (+) e la racchiudo
all’interno di una superficie sferica S di raggio r
Campo e normale a S sono paralleli!
Q
 
  E  nS  E  S
Ma E è il campo generato da una carica puntiforme Q a
distanza r e S la superficie della sfera, quindi:
1 Q
Q
2

 4pr 
4pe0 r2
e0
Il flusso del campo elettrico non dipende dalla superficie,
ma solo dalla carica che è dentro essa
Generalizzando il risultato a superfici qualsiasi, si prova
il teorema
Il flusso del campo elettrico nel vuoto attraverso una
superficie chiusa è pari al rapporto fra le cariche
presenti all’interno e la costante dielettrica
Le cariche esterne non contribuiscono al flusso
APPLICAZIONE: campi per distribuzioni uniformi di carica
* Piano uniformemente carico
* Filo uniformemente carico
* Sfera uniformemente carica
Uniformemente = con densità di carica costante spazialmente
LA DENSITA’ DI CARICA
LINEARE λ: rapporto fra la carica e la lunghezza (ci dice
quanti C ci sono in ogni m)
SUPERFICIALE σ: rapporto fra la carica e la superficie
(ci dice quanti C ci sono in ogni m^2)
VOLUMICA ρ : rapporto fra la carica e il volume (ci dice
quanti C ci sono in ogni m^3)
LASTRA PIANA INDEFINITA
Densità sup. σ costante
P
+
Quanto
vale
il
campo elettrico in
P?
Per le simmetrie, il campo deve essere ortogonale alla sup. (lo è
tanto più quanto più S è estesa idealm. infinita!
+
MA IN MODULO?
Uso il teorema di Gauss, scegliendo come sup. gaussiana un
CILINDRO, come in figura
E
Calcolo il flusso uscente dalla sup. cilindrica
 tot   base_ sup   base_ inf   laterale
UGUALI!
Visto che E è parallelo alla normale:
 tot  2   base  2  E  S
Nullo, in
quanto la
normale è
perp. a E
Ma per il teorema di Gauss
 tot  2  E  S 
Qint
e0
La carica interna è quella contenuta entro S (base sotto)
La superficie è S m2 e ci sono σ Coulomb per ogni m2
 Q= σS

E
2e 0
CARATTERISTICHE
•E’ un campo UNIFORME (non dipende dal punto)
•E’un campo RADIALE (parallelo alla normale)
FILO INDEFINITO UNIF. CARICO
Prendo un punto a distanza r dal filo:
quanto vale E?
h
Considero
sup
gaussiana
cilindria coassiale al filo di
raggio di base r ed altezza h
Per ragioni di simmetria, E è
radiale (perp, all’asse del filo)
Calcolo il flusso uscente dalla sup. cilindrica
 tot   base_ sup   base_ inf   laterale
NULLI
Visto che E è perpendicolare alla
normale:
 tot  E  Slaterale
E  Slat
Ma per il teorema di Gauss
 tot  E  Slat  E  2prh 
Qint
e0
La carica interna è quella contenuta entro lunghezza h
La lunghezza è h m e ci sono λ Coulomb per ogni m
 Q= λh

E
2pre 0
CARATTERISTICHE
•E’ un campo che dipende dalla distanza (come 1/r) (non è
costante)
•E’un campo RADIALE (perpendicolare all’asse del filo)
SFERA 3D UNIF. CARICA (RAGGIO R)
R
Posso essere a r<R (internamente) o r>R (esternamente)
CAMPO ESTERNO (r>R)
R
r
Uso sup. gaussiana sferica di raggio r
  E  S r  E  4pr 
2
Qtot
e0
Ma dentro la superficie gaussiana vi è la carica Q dell’intera
sfera, quindi:
E  4pr 
2
Qtot
e0
E
1
4pe0 r
2
Q
Che equivale ad un campo puntiforme generato dalla
carica Q posta al centro della sfera!
CAMPO INTERNO
Prendo superficie gaussiana di raggio r<R
  E  S r  E  4pr 
2
Qtot
e0
Ma dentro la superficie gaussiana vi è la parte di
carica Q contenuta nella sfera di raggio r:
Il volume è 4/3πr3 m3 e ci sono ρ Coulomb per ogni
m3  Q= 4/3 ρ πr3
4 3
4 3
pr  
pr   1
E  4pr 2  3
E 3

e0
e0
4pr 2

E
r
3e 0
CARATTERISTICHE
•E’ un campo che AUMENTA con la distanza
(proporzionale a r) (non è costante)
LA CIRCUITAZIONE DI E
• Proprietà che ha a che fare con il LAVORO
speso per il moto della carica di prova in
una regione sede di E
Si abbia un cammino chiuso C (circuito) tracciato all’interno
di una regione sede di un campo elettrico
Q sorgente
Quanto vale il lavoro per
trasportare la carica di
prova lungo il cammino?
Sappiamo che


L E  S
Ma il campo E dipende dal punto, quindi questa definizione
si può applicare solo LOCALMENTE
SOLUZIONE?
DIVIDO C in tanti segmenti infinitesimi (lunghezza
dl tendente a zero, quindi approssimabili
rettilineamente)
dl
CALCOLO IL LAVORO x SPOSTAMENTO INFINITESIMO
su un tratto dl i-esimo


dLi  Ei  dli
SOMMO I LAVORI PARZIALI, tenendo conto di tutti i
segmentini infinitesimo
In matematica, abbiamo visto che una somma su infiniti elementi
a loro volta piccolissimi, si chiama integrale e il lavoro si indica
così
E ,C
 
  E  dl
A QUESTO OGGETTO SI DA’ IL NOME DI
CIRCUITAZIONE DEL CAMPO E LUNGO IL CIRCUITO C
E’ stato visto che il lavoro speso per spostare la carica
di prova non dipende dal cammino scelto, ma solo dal
punto iniziale e da quello finale (L= ΔV, DDP)
In un cammino chiuso C, inizio = fine L= ΔV=0
E ,C  0
Ogni campo elettrostatico ha circuitazione nulla
Altro modo di dire “il campo è conservativo”!