Quinta Edizione CAPITOLO 1 MECCANICA DEI SOLIDI Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Introduzione – Concetto di tensione Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Sommario Concetto di tensione Tensione di rifollamento nei giunti Riepilogo della Statica Analisi della tensione e esempi di progetto Diagramma di corpo libero della struttura e dei suoi elementi Tensione normale in tiranti e puntoni Metodo dei nodi Tensioni tangenziali nei perni Analisi della tensione Tensioni di rifollamento nei perni Progetto Tensione nei pendoli Sforzo assiale – Tensione normale Tensioni su piani inclinati Carico centrato ed eccentrico Tensioni massime Tensione tangenziale Tensioni per carichi generici Esempi di tensione tangenziale Stato di tensione Coefficiente di sicurezza Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 2 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Obiettivi • Il principale obiettivo dello studio della meccanica dei solidi è di fornire al futuro ingegnere i principi dell’analisi e del progetto di elementi meccanici e strutturali che devono portare dei carichi. • Sia l’analisi sia il progetto di una data struttura richiedono la determinazione delle tensioni e delle deformazioni. Questo capitolo è dedicato al concetto di tensione. • − − − − − OBIETTIVI DEL CAPITOLO Definizione di tensione Tensioni normali e tangenziali Componenti della tensione in un punto Coefficienti di sicurezza Metodologia di analisi di una struttura Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 3 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Riepilogo di Statica • La struttura è progettata per portare un carico di 30 kN. • La struttura è costituita da un puntone ed una barra collegate da perni (connessioni che non trasmettono momento) sia nella connessione sia nei supporti. • Esegui un’analisi statica per determinare le forze interne in ciascun elemento strutturale e le reazioni dei vincoli. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 4 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Diagramma di Corpo Libero della struttura • La struttura è staccata dai vincoli esterni e al loro posto sono indicate le reazioni. • Equazioni di equilibrio statico:: M C 0 Ax 0.6 m 30 kN 0.8 m Ax 40 kN Fx 0 Ax C x C x Ax 40 kN Fy 0 Ay C y 30 kN 0 Ay C y 30 kN • Ay e Cy non possono essere determinare da queste sole equazioni. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 5 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Diagramma di corpo libero degli elementi componenti • Oltre l’intera struttura, ciascun compnente deve soddisfare le condizioni di equilibrio. • Considerate il diagramma di coirpo libero del puntone: M B 0 Ay 0.8 m Ay 0 Sostituite il valore trovato nell’equazioni di equilibrio globale C y 30 kN • Risultati: A 40 kN C x 40 kN C y 30 kN Le reazioni hanno la direzione del’asta e del puntone Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 6 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Metodo dei nodi • Il puntone e la barra sono pendoli, cioè elementi soggetti a due sole forze applicate alle estremità dell’elemento. • Per l’equilibrio, le forze devono agire lungo l’asse che congiunge i punti di applicazione delle forze, devono essere di uguale intensità e di direzione opposta. • I nodi devono soddisfare le condizioni di equilibrio statico che possono essere espresse nella forma del triangolo delle forze: F B 0 FAB FBC 30 kN 4 5 3 FAB 40 kN Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl FBC 50 kN 1- 7 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Analisi della Tensione Può la struttura sopportare in sicurezza il carico di 30 kN? • Dall’analisi statica FAB = 40 kN (compressione) FBC = 50 kN (trazione) • In ogni sezione trasversate dell’elemento BC la forza interna vale 50 kN per cui si ha una tensione media pari a: P 50 103 N BC 159 MPa A 314 10-6 m 2 dBC = 20 mm • La tensione ammissibile per l’acciaio è: all 165 MPa • Conclusione: the resistenza dell’elemento BC è adeguata Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 8 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Progetto • Il progetto di una nuova struttura richiede la scelta di opportuni materiali e delle dimensioni dei componenti strutturali in nodo da garantire le prestazioni richieste . • Per motivi basati sul costo, il peso, la disponibilità ecc., si fa la scelta di costruire la barra in alluminio all= 100 MPa). Qual è una scelta corretta per il diametro? P all A A d2 A 4 d 4A P all 50 103 N 100 106 Pa 4 500 10 6 m 2 500 10 6 m 2 2.52 102 m 25.2 mm • Una barra di alluminio di diametro 26 mm o più è adeguata. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 9 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Sforzo Normale: Tensione normale • Il risultante delle forze interne di un elemento caricato da sforzo normale centrato è normale ad una sezione perpendicolare all’asse dell’elemento (sezione retta). • L’intensità della forza agente su questa sezione è definita tensione normale. F A0 A lim ave P A • La tensione normale in un dato punto può non essere uguale alla tensione media, ma la risultante della distribuzione delle tensioni deve soddisfare P ave A dF dA A • L’effettiva distribuzione delle tensioni è staticamente indeterminata, cioè non può essere determinata con le sole equazioni di equilibrio. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 10 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Sforzo Normale Centrato ed Eccentrico • Una distribuzione uniforme di tensioni in una sezione implica che la retta d’azione del risultante delle forze interne passi per il baricentro della sezione. • Una distribuzione uniforme di tensioni è possibile solo se i carichi concentrati agenti sulle sezioni terminali dell’asta sono applicati al baricentro della sezione. Questa condizione di carico è detta sforzo Normale Centrato. • Se un’asta è caricata in maniera eccentrica, il risultante della distribuzione delle tensioni in una sezione deve essere uguale ad una forza assiale più una coppia. • La distribuzione delle tensioni in un elemento caricato eccentricamente non può essere uniforme o simmetrica. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 11 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensioni Tangenziali • Le forze P e P’ sono applicate trasversalmente all’elemento AB. • Le forze interne corrispondenti agiscono nel piano della sezione C e sono dette forze tangenziali. • Il risultante della distribuzione delle forze interne tangenziali è detto taglio della sezione ed è uguale in questo caso al carico P. • La corrispondente tensione tangenziale media è, ave P A • Il valore della tensione tangenziale varia da zero sulla superficie dell’elemento ad un valore massimo che può essere molto più grande del valore medio. • La distribuzione della tensione tangenziale non può essere assunta uniforme. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 12 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esempi di Tensione Tangenziale Taglio Singolo ave P F A A Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl Taglio Doppio ave P F A 2A 1- 13 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensione di rifollamento nelle connessioni • Bulloni, rivetti e perni creano tensioni nei punti di contatto o sulle superfici di contatto degli elementi da essi collegati. • Il risultante della distribuzioni di forze sulla superficie è uguale ed opposto alla forza esercitata sul perno. • L’intensità media della forza corrispondente è chiamata tensione di rifollamento. rif Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl P P A td 1- 14 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Analisi della tensione e Esempio di progetto • Vogliamo determinare le tensioni negli elementi e nelle connessioni della struttura mostrata. • Dall’analisi statica: FAB = 40 kN (compressione) FBC = 50 kN (trazione) • Bisogna considerare la massima tensione normale in AB e BC, e la tensione tangenziale e la tensione di rifollamento in ciascun perno di collegamento. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 15 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensioni normali nell’asta e nel puntone • Sull’asta agisce uno sforzo normale di trazione di 50 kN. • Al centro dell’asta la tensione normale media sulla sezione circolare (A = 314x10-6m2) è BC = +159 MPa. • Alle estremità piatte dell’asta la più piccola area della sezione trasversale si ha in corrispondenza dell’asse del perno, A 20 mm40 mm 25 mm 300 10 6 m 2 P 50 103 N BC,end 167 MPa A 300 10 6 m 2 • Sul puntone agisce uno sforzo normale di compressione di 40 kN ed una tensione normale media pari a –26.7 MPa. • Le sezioni di area minima all’estremità del puntone sono scariche dal momento che l’elemento è in compressione. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 16 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensioni tangenziali nei perni • L’area della sezione trasversale dei perni in A, B, e C, è 2 25 mm 6 2 A r 491 10 m 2 2 • La forza sul perno in C è uguale alla forza esercitata dall’asta BC, P 50 103 N C , ave 102 MPa 6 2 A 491 10 m • Il perno in A è soggetto a taglio doppio con una forza totale uguale alla forza esercitata dal puntone AB, A, ave Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl P 20 kN 40.7 MPa A 491 10 6 m 2 1- 17 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensioni tangenziali nei perni • Dividiamo il perno in B in sezioni per determinare la sezione con la maggiore forza di taglio. PE 15 kN PG 25 kN (massima) • Valutiamo la corrispondente tensione tangenziale media. B, ave Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl PG 25 kN 50.9 MPa A 491 10 6 m 2 1- 18 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensione di rifollamento nei perni • Per determinare la tensione di rifollamento all’estremità A del puntone AB, osserviamo che t = 30 mm e d = 25 mm, rif P 40 kN 53.3 MPa td 30 mm 25 mm • Per determinare la tensione di rifollamento in A nella staffa, osserviamo che t = 2(25 mm) = 50 mm e d = 25 mm, rif Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl P 40 kN 32.0 MPa td 50 mm 25 mm 1- 19 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensioni in elementi su cui agiscono due forze • Le forze assiali in elementi con due forze assiali danno luogo solo a tensioni normali in un piano perpendicolare all’asse dell’elemento. • Forze trasversali su bulloni e perni danno luogo solo a tensioni tangenziali nel piano perpendicolare all’asse del bullone o del perno.. • Mostreremo che sia le forze assiali sia quelle trasversali possono produrre sia tensioni normali sia tensioni tangenziali su un piano non perpendicolare all’asse dell’elemento. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 20 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensioni su un piano obliquo • Tracciamo una sezione attraverso l’elemento che forma un angolo q con la sezione normale (retta) • Per l’equilibrio, le forze distribuite sul piano (tensioni) devono essere equivalenti alla forza P. • Scomponiamo P nelle componenti normale e tangenziale alla sezione inclinata. F P cosq V P sin q • Le tensioni normale e tangenziale media sul piano inclinato sono Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl F P cosq P cos2 q Aq A0 A0 cosq V P sin q P sin q cosq Aq A0 A0 cosq 1- 21 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensioni massime • Le tensioni normale e tangenziale sul piano inclinato sono P cos2 q A0 P sin q cosq A0 • La massima tensione normale si ha quando il piano è perpendicolare all’asse dell’elemento. m P A0 0 • La massima tensione tangenziale si ha su un piano inclinato di + 45o rispetto all’asse, m Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl P P sin 45 cos 45 A0 2 A0 1- 22 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tensioni per condizioni di carico generali • Si consideri un elemento soggetto a una combinazione generica di carichi separato in due parti da un piano passante per il punto Q • La distribuzione delle componenti della tensione interna può essere definita come, F x x lim A0 A xy lim A0 V yx A Vzx xz lim A0 A • Per l’equilibrio, una distribuzione di tensioni uguale ed opposta deve essere presente sull’altra porzione dell’elemento.. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 23 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Stato di tensione • Definiamo le componenti di tensione per i piani paralleli agli assi x, y e z. Per l’equilibrio, tensioni uguali ed opposte sono esercitate sui piani nascosti. • L’insieme delle forze generate dalle tensioni deve soddisfare le equazioni di equilibrio: Fx Fy Fz 0 Mx M y Mz 0 • Consideriamo i momenti intorno all’asse z: M z 0 xy Aa yx Aa xy yx similarly, yz zy and yz zy • Ne consegue che solo 6 componenti di tensione sono necessarie per definire l’intero stato di tensione. Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl 1- 24 Fifth Edition MECCANICA DEI SOLIDI Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Coefficiente di sicurezza Elementi strutturali o di macchine devono essere progettati in modo tale che le tensioni di lavoro sono inferiori alla resistenza ultima del materiale. FS Coefficien te di sicurezza u tensione ultima FS all tensione ammissibil e Copyright © 2014 McGraw-Hill Education (Italy) srl Considerazioni sul coefficiente di sicurezza: • Incertezza sulle proprietà del materiale • Incertezza sui carichi • Incertezze relative all’analisi • Numero di cicli di carico • Tipi di rottura • Requisiti di manutenzione ed effetti del deterioramento • Importanza dell’elemento per l’integrità dell’intera struttura • Rischi per la vita o la proprietà • Influenza sul funzionamento della macchina 1- 25