Quinta Edizione
CAPITOLO
1
MECCANICA DEI
SOLIDI
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
David F. Mazurek
Introduzione –
Concetto di tensione
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
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Fifth
Edition
MECCANICA DEI SOLIDI
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Sommario
Concetto di tensione
Tensione di rifollamento nei giunti
Riepilogo della Statica
Analisi della tensione e esempi di
progetto
Diagramma di corpo libero della
struttura e dei suoi elementi
Tensione normale in tiranti e puntoni
Metodo dei nodi
Tensioni tangenziali nei perni
Analisi della tensione
Tensioni di rifollamento nei perni
Progetto
Tensione nei pendoli
Sforzo assiale – Tensione normale
Tensioni su piani inclinati
Carico centrato ed eccentrico
Tensioni massime
Tensione tangenziale
Tensioni per carichi generici
Esempi di tensione tangenziale
Stato di tensione
Coefficiente di sicurezza
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MECCANICA DEI SOLIDI
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Obiettivi
• Il principale obiettivo dello studio della meccanica
dei solidi è di fornire al futuro ingegnere i principi
dell’analisi e del progetto di elementi meccanici e
strutturali che devono portare dei carichi.
• Sia l’analisi sia il progetto di una data struttura
richiedono la determinazione delle tensioni e delle
deformazioni. Questo capitolo è dedicato al
concetto di tensione.
•
−
−
−
−
−
OBIETTIVI DEL CAPITOLO
Definizione di tensione
Tensioni normali e tangenziali
Componenti della tensione in un punto
Coefficienti di sicurezza
Metodologia di analisi di una struttura
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Riepilogo di Statica
• La struttura è progettata per
portare un carico di 30 kN.
• La struttura è costituita da un
puntone ed una barra collegate
da perni (connessioni che non
trasmettono momento) sia nella
connessione sia nei supporti.
• Esegui un’analisi statica per
determinare le forze interne in
ciascun elemento strutturale e le
reazioni dei vincoli.
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Diagramma di Corpo Libero della struttura
• La struttura è staccata dai vincoli esterni e
al loro posto sono indicate le reazioni.
• Equazioni di equilibrio statico::
 M C  0  Ax 0.6 m   30 kN 0.8 m 
Ax  40 kN
 Fx  0 Ax  C x
C x   Ax  40 kN
 Fy  0  Ay  C y  30 kN  0
Ay  C y  30 kN
• Ay e Cy non possono essere determinare da
queste sole equazioni.
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Diagramma di corpo libero degli elementi componenti
• Oltre l’intera struttura, ciascun compnente
deve soddisfare le condizioni di equilibrio.
• Considerate il diagramma di coirpo libero del
puntone:
 M B  0   Ay 0.8 m 
Ay  0
Sostituite il valore trovato
nell’equazioni di equilibrio globale
C y  30 kN
• Risultati:
A  40 kN  C x  40 kN  C y  30 kN 
Le reazioni hanno la direzione del’asta e
del puntone
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Metodo dei nodi
• Il puntone e la barra sono pendoli, cioè
elementi soggetti a due sole forze applicate
alle estremità dell’elemento.
• Per l’equilibrio, le forze devono agire lungo
l’asse che congiunge i punti di applicazione
delle forze, devono essere di uguale intensità e
di direzione opposta.
• I nodi devono soddisfare le condizioni di
equilibrio statico che possono essere espresse
nella forma del triangolo delle forze:

F
 B 0
FAB FBC 30 kN


4
5
3
FAB  40 kN
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FBC  50 kN
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Analisi della Tensione
Può la struttura sopportare in sicurezza il
carico di 30 kN?
• Dall’analisi statica
FAB = 40 kN (compressione)
FBC = 50 kN (trazione)
• In ogni sezione trasversate dell’elemento BC
la forza interna vale 50 kN per cui si ha una
tensione media pari a:
P
50 103 N
 BC  
 159 MPa
A 314 10-6 m 2
dBC = 20 mm
• La tensione ammissibile per l’acciaio è:
 all  165 MPa
• Conclusione: the resistenza dell’elemento BC
è adeguata
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Progetto
• Il progetto di una nuova struttura richiede la
scelta di opportuni materiali e delle dimensioni
dei componenti strutturali in nodo da garantire le
prestazioni richieste .
• Per motivi basati sul costo, il peso, la
disponibilità ecc., si fa la scelta di costruire la
barra in alluminio all= 100 MPa). Qual è una
scelta corretta per il diametro?
P
 all 
A
A
d2
A
4
d
4A



P
 all

50  103 N
100  106 Pa
4 500  10  6 m 2

 500  10  6 m 2
  2.52 102 m  25.2 mm
• Una barra di alluminio di diametro 26 mm o più
è adeguata.
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Sforzo Normale: Tensione normale
• Il risultante delle forze interne di un elemento
caricato da sforzo normale centrato è normale ad
una sezione perpendicolare all’asse dell’elemento
(sezione retta).
• L’intensità della forza agente su questa sezione
è definita tensione normale.
F
A0 A
  lim
 ave 
P
A
• La tensione normale in un dato punto può non
essere uguale alla tensione media, ma la risultante
della distribuzione delle tensioni deve soddisfare
P   ave A   dF    dA
A
• L’effettiva distribuzione delle tensioni è
staticamente indeterminata, cioè non può essere
determinata con le sole equazioni di equilibrio.
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Sforzo Normale Centrato ed Eccentrico
• Una distribuzione uniforme di tensioni in una
sezione implica che la retta d’azione del
risultante delle forze interne passi per il
baricentro della sezione.
• Una distribuzione uniforme di tensioni è
possibile solo se i carichi concentrati agenti
sulle sezioni terminali dell’asta sono applicati
al baricentro della sezione. Questa condizione
di carico è detta sforzo Normale Centrato.
• Se un’asta è caricata in maniera eccentrica, il
risultante della distribuzione delle tensioni in
una sezione deve essere uguale ad una forza
assiale più una coppia.
• La distribuzione delle tensioni in un elemento
caricato eccentricamente non può essere
uniforme o simmetrica.
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Tensioni Tangenziali
• Le forze P e P’ sono applicate trasversalmente
all’elemento AB.
• Le forze interne corrispondenti agiscono nel
piano della sezione C e sono dette forze
tangenziali.
• Il risultante della distribuzione delle forze interne
tangenziali è detto taglio della sezione ed è
uguale in questo caso al carico P.
• La corrispondente tensione tangenziale media è,
 ave 
P
A
• Il valore della tensione tangenziale varia da zero
sulla superficie dell’elemento ad un valore
massimo che può essere molto più grande del
valore medio.
• La distribuzione della tensione tangenziale non può
essere assunta uniforme.
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Esempi di Tensione Tangenziale
Taglio Singolo
 ave 
P F

A A
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Taglio Doppio
 ave 
P F

A 2A
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Tensione di rifollamento nelle connessioni
• Bulloni, rivetti e perni creano
tensioni nei punti di contatto o
sulle superfici di contatto degli
elementi da essi collegati.
• Il risultante della distribuzioni di
forze sulla superficie è uguale
ed opposto alla forza esercitata
sul perno.
• L’intensità media della forza
corrispondente è chiamata
tensione di rifollamento.
 rif 
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P P

A td
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Analisi della tensione e Esempio di progetto
• Vogliamo determinare le
tensioni negli elementi e
nelle connessioni della
struttura mostrata.
• Dall’analisi statica:
FAB = 40 kN (compressione)
FBC = 50 kN (trazione)
• Bisogna considerare la
massima tensione normale
in AB e BC, e la tensione
tangenziale e la tensione di
rifollamento in ciascun
perno di collegamento.
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Tensioni normali nell’asta e nel puntone
• Sull’asta agisce uno sforzo normale di trazione di
50 kN.
• Al centro dell’asta la tensione normale media sulla
sezione circolare (A = 314x10-6m2) è BC = +159 MPa.
• Alle estremità piatte dell’asta la più piccola area della
sezione trasversale si ha in corrispondenza dell’asse del
perno,
A  20 mm40 mm  25 mm  300 10 6 m 2
P
50 103 N
 BC,end  
 167 MPa
A 300 10 6 m 2
• Sul puntone agisce uno sforzo normale di
compressione di 40 kN ed una tensione normale media
pari a –26.7 MPa.
• Le sezioni di area minima all’estremità del puntone
sono scariche dal momento che l’elemento è in
compressione.
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Tensioni tangenziali nei perni
• L’area della sezione trasversale dei perni
in A, B, e C, è
2
 25 mm 
6 2
A r 
  491 10 m
 2 
2
• La forza sul perno in C è uguale alla forza
esercitata dall’asta BC,
P
50 103 N
 C , ave  
 102 MPa

6
2
A 491 10 m
• Il perno in A è soggetto a taglio doppio
con una forza totale uguale alla forza
esercitata dal puntone AB,
 A, ave 
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P
20 kN

 40.7 MPa
A 491 10 6 m 2
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Tensioni tangenziali nei perni
• Dividiamo il perno in B in sezioni per
determinare la sezione con la maggiore forza
di taglio.
PE  15 kN
PG  25 kN (massima)
• Valutiamo la corrispondente tensione
tangenziale media.
 B, ave 
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PG
25 kN

 50.9 MPa
A 491 10  6 m 2
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Tensione di rifollamento nei perni
• Per determinare la tensione di rifollamento
all’estremità A del puntone AB, osserviamo che
t = 30 mm e d = 25 mm,
 rif 
P
40 kN

 53.3 MPa
td 30 mm 25 mm 
• Per determinare la tensione di rifollamento in A
nella staffa, osserviamo che t = 2(25 mm) = 50 mm
e d = 25 mm,
 rif 
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P
40 kN

 32.0 MPa
td 50 mm 25 mm 
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Tensioni in elementi su cui agiscono due forze
• Le forze assiali in elementi con
due forze assiali danno luogo solo
a tensioni normali in un piano
perpendicolare all’asse
dell’elemento.
• Forze trasversali su bulloni e
perni danno luogo solo a tensioni
tangenziali nel piano
perpendicolare all’asse del
bullone o del perno..
• Mostreremo che sia le forze assiali sia
quelle trasversali possono produrre sia
tensioni normali sia tensioni
tangenziali su un piano non
perpendicolare all’asse dell’elemento.
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Tensioni su un piano obliquo
• Tracciamo una sezione attraverso l’elemento
che forma un angolo q con la sezione
normale (retta)
• Per l’equilibrio, le forze distribuite sul
piano (tensioni) devono essere equivalenti
alla forza P.
• Scomponiamo P nelle componenti normale e
tangenziale alla sezione inclinata.
F  P cosq
V  P sin q
• Le tensioni normale e tangenziale media
sul piano inclinato sono


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F
P cosq
P


cos2 q
Aq A0
A0
cosq
V
P sin q
P


sin q cosq
Aq A0
A0
cosq
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Tensioni massime
• Le tensioni normale e tangenziale sul piano
inclinato sono

P
cos2 q
A0

P
sin q cosq
A0
• La massima tensione normale si ha quando il
piano è perpendicolare all’asse dell’elemento.
m 
P
A0
  0
• La massima tensione tangenziale si ha su un
piano inclinato di + 45o rispetto all’asse,
m 
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P
P
sin 45 cos 45 

A0
2 A0
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Tensioni per condizioni di carico generali
• Si consideri un elemento soggetto a
una combinazione generica di
carichi separato in due parti da un
piano passante per il punto Q
• La distribuzione delle componenti
della tensione interna può essere
definita come,
F x
 x  lim
A0 A
 xy  lim
A0
V yx
A
Vzx
 xz  lim
A0 A
• Per l’equilibrio, una distribuzione
di tensioni uguale ed opposta
deve essere presente sull’altra
porzione dell’elemento..
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1- 23
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Stato di tensione
• Definiamo le componenti di tensione per i
piani paralleli agli assi x, y e z. Per
l’equilibrio, tensioni uguali ed opposte sono
esercitate sui piani nascosti.
• L’insieme delle forze generate dalle
tensioni deve soddisfare le equazioni di
equilibrio:
 Fx   Fy   Fz  0
Mx  M y  Mz  0
• Consideriamo i momenti intorno all’asse z:
 M z  0   xy Aa   yx Aa
 xy   yx
similarly,  yz   zy
and  yz   zy
• Ne consegue che solo 6 componenti di
tensione sono necessarie per definire l’intero
stato di tensione.
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Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Coefficiente di sicurezza
Elementi strutturali o di macchine
devono essere progettati in modo
tale che le tensioni di lavoro sono
inferiori alla resistenza ultima del
materiale.
FS  Coefficien te di sicurezza
u
tensione ultima
FS 

 all tensione ammissibil e
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Considerazioni sul coefficiente di
sicurezza:
• Incertezza sulle proprietà del materiale
• Incertezza sui carichi
• Incertezze relative all’analisi
• Numero di cicli di carico
• Tipi di rottura
• Requisiti di manutenzione ed effetti del
deterioramento
• Importanza dell’elemento per l’integrità
dell’intera struttura
• Rischi per la vita o la proprietà
• Influenza sul funzionamento della
macchina
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