Università degli Studi di Roma Tre
Facoltà di Ingegneria
Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
LEZIONE N° 9 – IL CEMENTO ARMATO
PRECOMPRESSO
• STATI LIMITE DELLE TENSIONI DI ESERCIZIO NEL C.A.P.
(I° STADIO)
– INTRODUZIONE
– CONDIZIONI INIZIALI (A VUOTO)
• Calcolo delle tensioni massime a vuoto
• Verifica delle disposizioni normative
– CONDIZIONI DI ESERCIZIO (A LUNGO TERMINE)
• Calcolo delle tensioni massime
• Verifica delle disposizioni normative
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S.L.E. DELLE TENSIONI NEL C.A.P. (I° STADIO): INTRODUZIONE
Tra le veriche allo stato limite di esercizio nel c.a.p. previste dalla norma c’è la verifica dello
stato tensionale. Tali verifiche sono in generale più numerose di quelle richieste per sezioni di
cemento armato ordinario. Occorre infatti effettuare come minimo le verifiche corrispondenti
alle seguenti due condizioni:
1) condizioni iniziali: all’atto del tiro, in sezioni di c.a.p. a cavi post-tesi, occorre verificare
che le tensioni massime raggiunte nel cavo e nel cls siano minori di prefissati valori
ammissibili. In tali condizioni, oltre la precompressione che agisce a livello di cavi, agisce il
peso proprio della trave. Lo sforzo di precompressione deve essere scontato delle perdite di
tensione per attrito.
M = MG
G
G
=
e1
No - Np
Quindi sulla sezione di cls agiscono le forze
illustrate nella figura accanto, mentre nei cavi di
precompressione agisce lo sforzo normale N
derivato dallo sforzo normale iniziale N0 ridotto
delle perdite iniziali Np.
L’effetto della presenza di MG è di spostare lo sforzo
di precompressione di una quantità e1=MG/(N0-Np)
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S.L.E. DELLE TENSIONI NEL C.A.P. (I° STADIO): INTRODUZIONE
2) condizioni di esercizio: dopo la messa in servizio della struttura e scontate le cadute
lente occorre verificare l’efficacia della precompressione. In condizioni di precompressione
totale la sezione deve risultare interamente compressa. Nel caso di precompressione limitata
occorre verificare il rispetto del limite massimo imposto dalla normativa alla tensione di
trazione nel cls.
Possono poi rendersi necessarie ulteriori verifiche nel caso la precompressione venga
applicata per fasi successive, nelle quali i cavi non vengono tesi tutti insieme.
M = MG+Mp+q
G
G
y
=
e2
e1
p
N=N0-Np-NL
Poiché nella fase di esercizio il cavo di
precompressione è solidale con il cls, la variazione
di tensione nel cls stesso, a livello dei cavi, si
ripercuote anche su di essi. Le forze agenti sulla
sezione di cls sono illustrate nella figura accanto.
Lo sforzo normale N derivato dallo sforzo normale
iniziale N0, già ridotto delle perdite iniziali Np,
deve essere ulteriormente ridotto delle cadute
lente Nc.
L’effetto di Mp+q è quello di spostare di ulteriore
quantità e2=Mp+q/(N0-Np- NL) la forza di
precompressione rispetto all’eccentricità e1.
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CALCOLO IN FASE ELASTICA (I° STADIO)
CALCOLO TENSIONI NEL CLS – CONDIZIONI A VUOTO
La sezione risulta interamente reagente e dunque l’azione della precompressione iniziale N0
(al netto delle perdite di tensione Np) e del peso proprio si traduce nella seguente
espressione della tensione minima e massima nel cls
N.B.
N
 c,max  N 0  N p N 0  N p e  yi  M G



 
A id
J id
ys  J id
 c,min 
 yi 
 
ys 
(per convenzione assumiamo le compressioni positive)
M = MG - Ne
ys
N/A
N/A
N
yi
(+)
(-)
(+)
G
Le caratteristiche geometriche della
sezione omogeneizzata a cls (Aid,Jid) ,
nel caso di travi a cavi post-tesi, sono
quelle delle sezione di calcestruzzo
depurata dell’area dei cavi in quanto le
guaine non sono ancora state sigillate
con la malta.
c,min
+
=
e
(+)
=
+
(+)
(+)
(-)
c,max
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CALCOLO IN FASE ELASTICA (I° STADIO)
CALCOLO TENSIONI NEL CLS - CONDIZIONI DI ESERCIZIO
In questa fase oltre la precompressione e il peso proprio agiscono anche i sovraccarichi
permanenti e accidentali. La verifica più gravosa è senza dubbio quella riferita a tempo
infinito dove anche le cadute di tensione NL possono considerarsi totalmente scontate.
L’espressione della tensione minima e massima nel cls è quindi la seguente:
Sovraccarichi
N
 c,max  N 0  N p  N L N 0  N p  N L e  yi  M G  M pq



 

A id
J id
J id
ys 
 c,min 
 yi 
 
ys 
Aid, Jid sono l’area e il momento d’inerzia baricentrale della sezione omegeneizzata a cls
ys
yi
G
e
N
M = MG +Mp+q - Ne
c,max
N/A
N/A
+
=
c,min
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CALCOLO IN FASE ELASTICA (I° STADIO)
CALCOLO TENSIONI NELL’ACCIAIO
Il calcolo della tensione nell’armatura di precompressione si differenzia anch’esso
per condizioni a vuoto e di servizio.
Condizioni a vuoto
Nelle condizioni iniziali lo sforzo normale a livello dell’armatura di precompressione vale
N0. Il momento MG non altera tale valore in quanto il cavo non è solidale con il cls (guaine
non sigillate). La tensione nell’armatura di precompressione varrà quindi:
G
 spi 
No - Np
N0
Ap
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CALCOLO IN FASE ELASTICA (I° STADIO)
CALCOLO TENSIONI NELL’ACCIAIO
Condizioni di esercizio
Nelle condizioni di esercizio al momento MG si aggiunge il momento Mp+q che
tendendo le fibre inferiori provoca un aumento dello sforzo di trazione N a livello
dell’armatura di precompressione che si trasferisce al cavo stesso in quanto ora
solidale con la sezione di cls. Dunque la tensione nel cavo vale:
M = MG+Mp+q
G
 sp 
N 0  N p  N L
Ap
n
M pq
J id
yp
y
p
N=N0-Np-NL
Il momento d’inerzia Jid è quello riferito alla sezione
con le guaine iniettate con malta sigillante, mentre
n è il coefficiente di omogeneizzazione (n=6)
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ESEMPIO: VERIFICA ALLO STATO LIMITE DELLE TENSIONI DI ESERCIZIO
Si consideri la sezione in c.a.p. a cavi post-tesi illustrata in figura, le cui
caratteristiche geometriche sono di seguito indicate assieme al momento dovuto
al peso proprio, ai sovraccarichi permanenti e accidentali e al tiro in condizioni
iniziali e di servizio.
2.5
0.25
G
1.25
0.85
Materiali: CLS
Rck 35 Mpa
Tiro cavi prima di 14 gg dal getto
Ambiente poco aggressivo
ep
Ap
Acciaio da precompresso in trefoli
fptk
= 1700 Mpa
0.50
Ac
(m2)
Ap
(cm2)
Jid
(m4)
ep
(m)
MG
(kNm)
Mp+q
(kNm)
N0-Np
(kN)
N0-Np-NL
(kN)
1.125
45
0.153
0.67
1800
1200
4500
3800
In condizioni di servizio i carichi sono considerati in combinazione rara e cond. ambientali ordinarie
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ESEMPIO: VERIFICA ALLO STATO LIMITE DELLE TENSIONI DI ESERCIZIO
Caratteristiche meccaniche dei materiali: CLS
Resistenza cilindrica del cls
Essendo il calcestruzzo di classe Rck=35 Mpa la resistenza cilindrica caratteristica vale
fck = 0.83 Rck = 29.05 Mpa
Resistenza a compressione del cls al tiro (Si utilizza la formula dell’EC2)
f ckj  f ck ( 28 gg )  e

28 gg
s  1
t





 29.05  0.902  26.20 Mpa
Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni iniziali
c=fckj/1.7 = 15.41 Mpa
Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni iniziali
c=0.1 fckj = 0.1·26.2 = 2.62 Mpa
Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni di esercizio
c=fck/(1.5x1.8) = 12.96 Mpa
Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni di esercizio
c=fctk/1.6 = 0.7 fctm /1.6 = 0.7 0.48 Rck /1.6 = 1.24 Mpa
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ESEMPIO: VERIFICA ALLO STATO LIMITE DELLE TENSIONI DI ESERCIZIO
Caratteristiche meccaniche dei materiali: ACCIAIO
Tensione massima ammissibile nell’armatura di precompressione al tiro
p=fptk /1.15 = 1700/1.15 = 1478 Mpa
Tensione massima ammissibile nell’armatura di precompressione in condizioni di servizio
p=fptk / 1.65 = 1700/1.65 = 1030 Mpa
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ESEMPIO: VERIFICA ALLO STATO LIMITE DELLE TENSIONI DI ESERCIZIO
Verifica delle tensioni nel cls a vuoto (dimensioni: N, mm)
 c,max  N 0  N p N 0  N p e  yi  M G



 

A
J
ys  J id
c
id
 c,min 
 yi 
850
850 10.74 

4

0
.
01970

0
.
01176
 
 
 

y
400
 
400 0.824
 s
La sezione risulta interamente compressa con tensione massima pari a 10.74 Mpa
che inferiore risulta essere inferiore al limite massimo di normativa (15.41 Mpa).
La verifica è dunque soddisfatta.
ys
+4
-7.88
(-)
(+)
(-)
-3.88
(+)
+4
+4
G
yi
+0.824
+(+)
4.7
+
=
(+)
+ 16.75
=
+
(+)
+ 20.75
(+)
(-)
-9.99
+10.74
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ESEMPIO: VERIFICA ALLO STATO LIMITE DELLE TENSIONI DI ESERCIZIO
Verifica delle tensioni nel cls in condizioni di servizio (N, mm)
 c ,max  N0  N p  N c N0  N p  N c e  yi  M G  M p  q



 

A
J
J id
 ys 
c
id
 c ,min 
 yi 
850 
850   0.809 
   3.38  0.01664    0.01966    

400 
400   4.588 
 ys 
La sezione risulta parzializzata ma con tensione di trazione al lembo inferiore minore di
quella massima ammissibile (2.03 Mpa). Anche la tensione di compressione massima, posta
al lembo superiore risulta essere inferiore al massimo consentito (17.43 Mpa). La verifica è
dunque soddisfatta.
+ 5.512 Mpa
ys
+ 3.38 Mpa
G
yi
-1.363 Mpa
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ESEMPIO: VERIFICA ALLO STATO LIMITE DELLE TENSIONI DI ESERCIZIO
Verifica delle tensioni nell’armatura di precompressione (dimensioni: N, mm)
Al momento del tiro la tensione massima nei cavi di precompressione risulta:
 spi 
N 0  N p
Ap

4500000
 1000 Mpa  1478 Mpa
4500
In servizio la tensione massima nei cavi di precompressione vale:
 spi 
N0  N p  N L
Ap
n
M G  M pq
J id
e p  844.4  6  0.019607  670  923Mpa  1030 Mpa