A cura della 2° G del Liceo Linguistico “G. da San Giovanni”
Gli Arabi fino al 622 d.c. erano solo popoli nomadi dell’Arabia. Essi vennero galvanizzati e uniti da
Maometto e in meno di un secolo avevano conquistato territori che si estendevano dall’India
alla Spagna, comprendendo il Nordafrica e l’Italia meridionale; nel 755 l’impero arabo si divise
in due regni:quello d’oriente con capitale Baghdad e quello d’Occidente con capitale Còrdoba
in Spagna.
Una volta completate le conquiste si dedicarono a costruire una civiltà e una
cultura e rapidamente svilupparono grande interesse per le arti e le scienze.
A Baghdad fu fondata un’accademia, la “Casa della Saggezza”, una
biblioteca e un osservatorio astronomico, essa insomma divenne la nuova
Alessandria.
“Ricercate la scienza,anche
se per questo doveste
andare fino in Cina.”
Maometto
Le risorse culturali che gli Arabi avevano a
disposizione erano considerevoli: quando Giustiniano
chiuse l’Accademia Platonica (529) molti studiosi
greci si trasferirono in Persia e poi tutta questa cultura
greca passò nel mondo arabo, gli arabi avevano
contatti anche con i Greci dell’impero bizantino, i califfi
(successori di Maometto) comprarono manoscritti
greci dai Bizantini; gli arabi inoltre conquistarono
l’Egitto che era il centro della cultura greca
alessandrina e incorporarono quella che era
sopravvissuta.
Caddero sotto gli arabi le scuole di Antiochia,
Emesa, Damasco, la scuola cristiana nestoriana di
Edessa depositaria delle opere greche in medi
Oriente dopo la fine di Alessandria nel 640, i
monasteri cristiani del Medio Oriente che
possedevano tanta letteratura greca finirono anch’essi
sotto gli arabi e poi ancora tutta la cultura Indu.
Quindi gli studiosi erano greci, cristiani, ebrei: araba era essenzialmente la lingua.
Merito degli arabi fu quello di trattare queste culture con generosità e rispetto, dopo il periodo
della conquista che invece fu caratterizzato da fanatismo religioso, i popoli sottomessi e le
altre religioni furono libere di svolgere la loro attività.
All’algebra dettero il nome: la parola “algebra” è la prima parola di una delle opere
dell’astronomo Mohammed ibn Musa al-Khuwarizmi scritta nell’830 dal titolo
“Al-jabr w’al muqabala”.
Al-jabr = ristabilire l’equilibrio,
es: x² -7 = 3
se elimino il -7 dal 1° membro al 2° membro aggiungo +7 per “ristabilire l’equilibrio.”
Al-muqabala = semplificazione ,
es: x²+2x+3 = 2x+1 ,
si può sottrarre cioè semplificare il 2x da ambo i membri.
Al-hatt=riduzione,
Si possono dividere tutti i termini dell’ equazione per a, per avere il coefficiente della
x² uguale a 1.
Dal nome stesso dell’autore latinizzato in “ algorismus” deriva il termine algoritmo.
Curiosità
La parola al-jabr significa ristabilire l’equilibrio anche al di fuori del linguaggio
matematico, algebrista è anche il “conciaossa” e lo troviamo in Spagna nelle
insegne dei negozi dei barbieri che allora ricoprivano anche il ruolo di medici e
farmacisti.
Nel 16° sec. Il termine passa in Italia proprio col significato di aggiustare le ossa.
► Immagine ritraente Khuwarizmi
L’opera di Khuwarizmi si basa
essenzialmente su quella di
Brahmagupta, con influenze
babilonesi e greche. Egli tratta
problemi di 2° che possono essere
scritti in equazioni di 2°, anche se
non usa il simbolismo perché non
esiste, l’algebra araba è totalmente
retorica; nella traduzione latina
l’incognita si chiama “cosa”( o
“radice” di una pianta da cui anche il
nostro modo di chiamare le
soluzioni); la x² in arabo si dice
“tesoro”, in latino “censo”; il numero
senza incognita è detto
“ dirham”,forse da dracma, perché i
problemi trattati da Khuwarizmi sono
legati alla vita quotidiana (scambi,
eredità da dividere ecc.)
Le equazioni di 2° vengono suddivise da Khuwarizmi in sei tipi diversi così da
avere sempre coefficienti positivi, anche il valore dell’incognita è considerato
sempre positivo, eppure Khuwarizmi sa che ci possono essere anche radici
negative.
I vari casi si possono suddividere
in:
3 casi semplici
1) ax² = bx censi uguale a cose
2) ax²= c censi uguale a numero
3 casi composti
4) ax²+bx = c censi e cose uguale
a numero
3) bx=c cose uguale a numero
5) ax²+c = bx censi e numero
uguale a cose.
(questa è un’equazione
di 1° grado)
6) ax² = bx +c censi uguale a
cose e numero
Il caso 5
a) Khuwarizmi espone il problema:
“Ho diviso dieci in due parti, poi ho moltiplicato
ogni parte per se stessa e ho preso la somma
delle due, che fa 58 dirham.”
b) Khuwarizmi lo traduce in equazione
Poni una delle due parti uguale a
una cosa e l’altra dieci meno una
cosa.
Moltiplica dieci meno una cosa per
se stesso,
Per noi: x e (10 –x)
(10-x)² = 100 + x² -20x
fa cento più un censo meno venti
cose,
poi moltiplica una cosa per una cosa,
fa un censo.
X²
Poi addiziona entrambi i prodotti, fa
cento
più due censi meno venti cose, il tutto
equivalente
a 58 dirham.
2x² + 100- 20x = 58
Restaura il cento più due censi con le venti
cose mancanti
e portale a cinquantotto, fa allora cento
2x² + 100 = 58 +20x
più due censi equivalente a cinquantotto dirham più venti cose.
Riporta a un unico censo prendendo la metà di tutto ciò che hai.
Fa cinquantotto dirham più un censo equivalente
a ventinove dirham più dieci cose.
Sottrai da cinquanta ventinove dirham,rimane ventuno
più un censo uguale a dieci cose.
x² + 50 = 29 +10x
21 + x² = 10x
c) Khuwarizmi dà la regola per risolverla e trova le
soluzioni.
Dimezza le radici fa cinque
10 : 2 = 5
e moltiplicalo per se stesso fa venticinque .
5x5 = 25
Sottrai da questo ventuno legato al censo,rimane quattro.
prendi la sua radice che fa due
25 – 21 = 4
4=2
e sottrai questo dalla metà delle radici, cioè cinque.
Rimane tre,che è una delle due parti,
l’altra è sette.
Questo problema ti ha riferito uno dei sei casi,
cioè censi più numeri equivalente a radici. “
5–2=3
10 – 3 = 7
Ripercorrendo i passaggi ci accorgiamo che Khuwarizmi usa, pur esprimendosi
in modo retorico, esattamente la nostra formula ridotta con a = 1 :
l’equazione in forma canonica è
x² - 10x + 21 = 0
Δ/4
.
"Se tu affronti un problema che si
riconduce a questo tipo di equazione,
verifica l'esattezza della soluzione con
l'addizione, come si è detto.
Se non è possibile risolverlo con
l'addizione, otterrai certamente il
risultato con la sottrazione.
Questo è il solo tipo in cui ci si serve
dell'addizione e della sottrazione, cosa
che non trovi nei tipi precedenti.
Devi inoltre sapere che se in questo caso
tu dividi a metà la radice e la moltiplichi
per se stessa e il prodotto risulta minore
del numero che è aggiunto al quadrato,
allora il problema è impossibile.
Se invece risulta uguale al numero, ne
segue che la radice del quadrato sarà
uguale alla metà delle radici che sono col
quadrato, senza che si tolga o si aggiunga
qualcosa.“
Al-Khuwarizmi
D'ora in poi, per procedere in modo più fluido, pur restando fedeli a
quanto dice Khuwarizmi, useremo la nostra simbologia.
Caso 1)
Dividere 10 in due parti tali che il quadrato di una sia uguale a 4
volte il prodotto delle parti.
Si ottiene l’equazione:
Se x per x è uguale a 8 per x allora x è 8, non fa come noi che mettiamo in
evidenza la x perché non si considera la soluzione x = o.
Caso 2)
Dividere 10 in due parti in modo che il tutto al quadrato sia uguale a
una delle due parti moltiplicata per se stessa e per (2 +7/9).
Si ottiene l’equazione:
In questo caso x² è sempre razionale, ma x può anche non esserlo.
Caso 3)
Dividere 10 in due parti tali che il loro rapporto sia 4.
Si ottiene l’equazione:
( ottengo un’equazione di 1° grado ).
Il caso 4
Caso 4) Un quadrato e dieci delle sue radici sono uguali a nove e trenta unità:
cioè tu sommi dieci radici a un quadrato e la somma è uguale a nove e
trenta.
Si ottiene l’equazione
x² + 10x = 39
( se coefficiente di x² è diverso da 1 si divide tutto per a ) che si risolve così :
prendere la metà della radici
10:2=5
moltiplicarla per se stessa
5x5=25
aggiungere 39
25+39=64
fare la radice quadrata
√64=8
(non si considera la radice negativa -8)
sottrarre da essa la metà delle radici 8 – 5 = 3
-b/2
( b/2 )²
Δ/4 = (b/2)² - c
√(Δ/4)
x₁= -b/2+√(Δ/4)
Anche qui, come succederà nel caso 5) e nel caso 6), viene usata la nostra
formula ridotta.
. Khuwarizmi giustifica il procedimento precedentemente descritto dando una interpretazione
geometrica: l’uguaglianza dei due membri dell’equazione diventa una uguaglianza di aree.
Interpretazione geometrica del caso 4
x² + 10x = 39
► I° modo
x
10/4
10/4
x
x
x
x
x
x
10/4
10/4
x
Disegniamo un quadrato di lato x, costruiamo su ogni suo lato un rettangolo di lato x e 10/4.
L’area della figura così ottenuta è : x² + 4 (10/4) x = x² + 10x = 39 .
10/4
x
10/4
Completiamo il quadrato con i 4 quadratini d’angolo, di lato 10/4, la sua area sarà :
39 + 4 ( 10/4 )² = 39 + 25 = 64
Ma questo quadrato ha il lato uguale a ( 10/4 + x + 10/4 ) = ( x+5 ) quindi :
( x+5 )² = 64 →
( x+5 ) = 8
→ x=8–5=3
Non si considera ( x+5 ) = -8, perché non ha una giustificazione geometrica.
► II° modo
x
x
5
5
x
5
La figura colorata ha area:
x² + 2 ( 5x ) = x² + 10x = 39
completiamo il quadrato con il quadratino di lato 5, di area 25,
il quadrato di lato (x+5) ha area 39+25=64 → ( x+5 )² = 64 →
( x+5 ) = 8 → x = 8 – 5 = 3.
Non si considera ( x+5 ) = -8, perché non ha una giustificazione geometrica
Anche il problema analizzato all'inizio
può essere giustificato
geometricamente
caso 5) :
x² + 21 = 10x
L’area del quadrato di lato x più quella del
rettangolo di area 21 ( 21 deve essere un’area per
essere omogeneo ) è uguale all’area del
rettangolo con base 10 e altezza x.
Figura legata al caso 5
x
X²< 21
21
x
x
10
x
Costruiamo il quadrato di lato 5:
10
5
x
5
x
*
5
*
5-x
5-x
x
5-x
I due rettangoli * hanno area uguale perché un
Il quadratino di lato ( 5-x ) ha area 25 – 21
Questa equazione non sempre ha soluzioni
positive, ma quando ne ha sono 2, qui infatti
manca 5 + 2 = 7.
Per ottenerla dovrei costruire il rettangolo di base
10 e altezza x in modo che x² >21, allora il
quadratino ha lato ( x-5 )e x = 5 + 2, ma
tralasciamo questa costruzione.
Riportiamo anche l’interpretazione geometrica di un’equazione del caso 6
x² = 3x + 4
4
3x
3
X-3
x
Il quadrato ha area x² ed è
formato dal rettangolo di lati 3 e x
e da quello di area 4.
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
I rettangolini “ a “ sono uguali
Perché di lati ( x-3 ) e 3/2 → lo gnomone ha
area 4, se completo il quadrato di lato ( x-3/2 )
col quadratino di lato 3/2 ottengo:
( x – 3/2 )² = 4 + 9/4 = 25/4
→
x – 3/2 = 5/2 →
x = 5/2 + 3/2 = 8/2 = 4.
VERIFICA ASSEGNATA ALLA CLASSE
Dato il problema: Se prendo un terzo di una cosa più uno
e moltiplico per un quarto della cosa più uno ho 20.
1) Traduci in equazione
2) Risolvi l’equazione spiegando a parole il susseguirsi
delle operazioni da fare come se tu fossi Khuwarizmi.
3) Dai la giustificazione geometrica seguendo il 1° o il 2°
modo.
“E’ bene che noi tentiamo…di richiamare ciò che concerne gli
antichi, i quali hanno detto tutto nel passato – che è la via più facile
e la più breve da adottare per coloro che li seguono – e progredire
in quelle zone dove loro non hanno detto nulla.”
Al-Kindi
Leonardo Pisano nacque a Pisa nel 1170 circa, discendente o
figlio di tale Bonaccio da cui l’appellativo Fibonacci. Suo
padre era scriba della Repubblica di Pisa, trasferitosi a
Bugia in Algeria per lavoro, ebbe modo di osservare la
bravura degli arabi nella matematica, la loro abilità nel
risolvere vari tipi di problemi e la velocità con cui facevano i
calcoli e gestivano le questioni economiche. Cercò allora di
instradare il figlio alla conoscenza della loro scienza, questi
si appassionò così tanto allo studio di questa scienza che
assetato di imparare girò in lungo e largo nel
Mediterraneo,fatti infatti veniva detto Bigollo ( = bighellone,
girellone).Ebbe modo anche di frequentare il circolo di
Federico II di Svevia, amico personale del matematico
arabo Al-Kamil, imponente figura di algebrista, quindi la sua
conoscenza della matematica greca e araba era molto
approfondita e la passione per lo studio e la conoscenza,
divenne lo scopo della sua vita.
Tornato in patria scrisse nel “ Liber
Abbaci” e nel “ Practica Geometriae “
quanto appreso diffondendo per la prima
volta in modo completo e organico in
Occidente un nuovo modo di far
matematica : le cifre arabe, le operazioni,
le riprove, le proporzioni, i radicali e, per
venire a noi, la risoluzione delle
equazioni: noi considereremo quelle di 2°
grado.
Nell’affrontare le equazioni di 2° grado manca ancora un linguaggio simbolico come
mancava agli arabi, quindi anche Fibonacci deve passare alla geometria per
tradurre il problema in equazione, solo la geometria ci dà la possibilità di chiamare le
lunghezze con delle lettere e scriverle simbolicamente.
Alla stregua degli arabi, sia per evitare i numeri negativi, che pur conosceva, sia per
poter far uso di dimostrazioni geometriche, affronta separatamente nel suo Liber
Abbaci tutti i possibili casi di equazioni di 2° :
x²=px ;
x²=q ;
x²+px =q ; px+q = x² ; x² + q = px
con p e q positivi, secondo il metodo arabo.
Analizziamo l’equazione x² + 4x = 140 che prima risolve con il metodo
arabo:
x
x² + 2 ( 2x ) = x² + 4x = 140
x
x
completo il quadrato con il quadratino di lato 2 →
( x+2 )² = 140 + 4 = = 144
x+2 = 12
2
→
→
→
x = 12 – 2 = 10.
2
x
Non si considera x+2 = -12 perché non
giustificabile geometricamente.
Nella Practica Geometriae ritorna su alcuni casi già trattati con nuove
dimostrazioni che sfruttano alcuni risultati presenti negli Elementi di Euclide.
In riferimento all’equazione precedente Fibonacci utilizza la
6° proposizione del Libro II di Euclide:
“ Se si divide per metà un segmento e lo si prolunga di un altro segmento, il
rettangolo individuato dall’intero segmento e da quello aggiunto, sommato col
quadrato della metà, è equivalente al quadrato costruito sulla somma di metà del
segmento dato con il prolungamento.”
a
b
a
a
b
( 2a + b ) b + a² = ( a + b )²
2ab+b²+ a²= ( a + b )²
Tratto dalla 1° traduzione in
italiano volgare dal latino
degli Elementi di Euclide fatta
da Tartaglia (Niccolò
Fontana) nel 1549.
Questa immagine si riferisce
ad una cinquecentina edita
a Venezia nel 1569 da
Giovanni Bariletto.
Considerando l’equazione x² + 4x = 140 Fibonacci costruisce il rettangolo di
base (4+x) e altezza x, il quadrato di lato 2 e quello di lato (2+x):
2
x
2
2
x
( 4 + x ) x = area rettangolo
( 4/2 )² = 4 = area quadrato lato 2
La somma delle due aree equivale all’area
del quadrato di lato ( 2 + x ) →
( 2+x )² = ( 4 + x ) x +4 →
( 2+x )²= (4x + x² )+ 4 →
( 2+x )²= 140 + 4 →
( 2+x )²= 144 →
2 + x = 12 → x = 12 – 2 = 10.
Fibonacci è pienamente consapevole che i suoi esempi numerici hanno
significato del tutto generale, infatti dopo questa dimostrazione afferma :
“E così sempre accade in tutti quei casi nei quali il numero ( 140 ) è uguale ad un
quadrato ( x² ) e a radici ( 4x ); cioè si aggiunga allo stesso numero il quadrato
della metà delle radici, si trovi la radice della somma, dalla quale si tolga la metà
delle radici poste. “
Abbiamo nuovamente la nostra formula ridotta:
q + (p/2 )²
→
√[ q + (p/2)²] → x = √[q + (p/2)²] - (p/2) .
CONCLUSIONI
Nella lunga storia delle equazioni ci siamo soffermati su due momenti che
risultano storicamente importanti, ma con i quali non pretendiamo certo di aver
esaurito l’argomento.
Ammesso che sia possibile ricostruirne l’evoluzione, nella storia del pensiero
matematico, (fermandoci solo alle equazioni di 1° e 2° grado perché queste per
ora abbiamo incontrato a scuola), per farlo dovremmo analizzare documenti che
vanno dalle tavolette d’argilla dei Babilonesi (1600 a.C.), al Papiro di Ahmes (o
Rhind, 1700 a.C.), passando ai Greci (uno su tutti Diofanto, 250 d.C.) agli Indu,
alla matematica Cinese fino anche a quella giapponese che chiama la propria
algebra “Tezan”, termine la cui etimologia è analoga proprio a quella del nostro
vocabolo.
Curiosità
In Europa l’equazione di grado più elevato di cui si fa memoria è quella di 45°
grado proposta da Viète, ma l’Asia ci batte col giapponese Seki che risponde con
una di 1458° grado e un suo discepolo con una di grado 1024°.
Bibliografia e Sitografia
•Bergamini-Trifone-Barozzi “Corso base di algebra”, vol.1-2, Zanichelli
•Bianchini S.-Simonetti C. “Matematica. Metodo, cultura, scienza”,
vol.2, D’Anna
•Cateni-Bernardi-Maracchia “Elementi di algebra”, vol.2, Le Monnier
•Colerus “Piccola storia della matematica”, Einaudi
•Kline M. “Storia del pensiero matematico”, vol.1, Einaudi
•Loria “Storia delle matematiche”, Hoepli
• www.archimede.ms