Le Pierangiolate
n.3
Dipartimento di Ingegneria della
Informazione e Scienze Matematiche
Luca Chiantini presenta
ALLINEATI e
COMPATTI
verso l'INFINITO
PROBLEMA
Siano r,s due rette parallele.
Scegliamo 3 punti A,B,C su r e 3 punti A',B',C' su s.
Sia L il punto di incontro delle rette AB' e A'B.
Analogamente, sia M il punto di incontro delle rette AC' e A'C e sia N
il punto d'incontro delle rette BC' e B'C.
Il triangolo LMN:
1) è sempre rettangolo,
2) è sempre equilatero,
3) ha sempre area 0,
4) non è mai isoscele.
cioè i 3 punti sono sempre allineati
VA DIMOSTRATO!!
A'
B'
L
C'
s
N
M
r
A
B
C
TEOREMA di PAPPO
Siano r,s due rette paralelle.
Scegliamo 3 punti A,B,C su r e 3 punti A',B',C' su s.
Sia L il punto di incontro delle rette AB' e A'B. e analogamente, sia M
il punto di incontro delle rette AC' e A'C e sia N il punto d'incontro
delle rette BC' e B'C.
Allora i 3 punti L, M, N sono sempre allineati.
Pappo di Alessandria
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Pappo fu uno dei più importanti matematici del periodo
tardo ellenistico.
Della sua vita si conosce ben poco e anche le date
della sua nascita e della sua morte sono assai incerte.
Sembra accertata solo la data del 320, anno intorno al
quale egli ha scritto un commento all'Almagesto di
Tolomeo. Si ritiene inoltre che fosse un insegnante. Le
sue opere sono in gran parte andate perdute; l'unica
pervenutaci è quella intitolata Synagoge, nota anche
come Collectiones mathematicae.
TEOREMA di PAPPO
retta AB'
{
retta A'B
dimostrazione
x-a
b' - a
y=
(
M= (
N= (
L=
x-b
y=
a' - b
analogamente ...
aa' - bb'
a - b + a'- b'
,
aa' - cc'
a - c + a'- c'
,
cc' - bb'
c - b + c'- b'
,
a-b
a - b + a'- b'
)
a-c
a - c + a'- c' )
c-b
c - b + c'- b' )
allineamento di tre punti
A'
(a',1)
B' (b',1)
C'
(c',1)
s
y=1
L
N
M
r
A (a,0)
B (b,0)
C (c,0)
y=0
TEOREMA di PAPPO
dimostrazione
si calcola il determinante di
(
aa' - bb'
a-b
a - b + a'- b'
aa' - cc'
a-c
a - c + a'- c'
cc' - bb'
c-b
c - b + c'- b'
)
viene 0
A'
(
M= (
N= (
L=
aa' - bb'
a - b + a'- b'
,
aa' - cc'
a - c + a'- c'
,
cc' - bb'
c - b + c'- b'
,
a-b
a - b + a'- b'
)
a-c
a - c + a'- c' )
c-b
c - b + c'- b' )
allineamento di tre punti
(a',1)
B' (b',1)
C'
(c',1)
s
y=1
L
N
M
r
A (a,0)
B (b,0)
C (c,0)
y=0
TEOREMA di PAPPO
cosa succede se questo
denominatore si annulla?
IL PUNTO L SPARISCE!
Tutto sistemato.
O FORSE NO?
dimostrato!
(
M= (
N= (
L=
caso concreto:
B' (6,1)
aa' - bb'
a - b + a'- b'
,
aa' - cc'
a - c + a'- c'
,
cc' - bb'
c - b + c'- b'
,
a-b
a - b + a'- b'
)
a-c
a - c + a'- c' )
c-b
c - b + c'- b' )
a - b + a' - b' = 2 - 5 + 9 - 6 = 0
A' (9,1)
s
le due rette sembrano parallele
r
A (2,0)
B (5,0)
TEOREMA di PAPPO
cosa succede se questo
denominatore si annulla?
quando
L=
a - b + a' - b' = 0
,
a-b
a - b + a'- b'
)
cioè b' - a = a' - b
retta AB'
y=
1 xb' - a
a
b' - a
retta A'B
y=
1 xa' - b
b
a' - b
B' (b',1)
(
aa' - bb'
a - b + a'- b'
il hanno
puntoloLstesso
sparisce perchè le
coefficiente
angolare parallele
due
rette diventano
A' (a',1)
N
C'
(c',1)
s
la retta MN è parallela
M
alle precedenti
(VERIFICARE!)
le due rette sono parallele
r
A (a,0)
B (b,0)
C (c,0)
TEOREMA di PAPPO
ancora vale!
cosa succede se questo
denominatore si annulla?
quando
L=
a - b + a' - b' = 0
,
a-b
a - b + a'- b'
)
cioè b' - a = a' - b
va all'infinito
due rette parallele
si incontrano in un
punto all'infinito ...
il punto L sparisce perchè le
due rette diventano parallele
B' (b',1)
A' (a',1)
M
N
A (a,0)
(
aa' - bb'
a - b + a'- b'
B (b,0)
C'
(c',1)
s
la retta MN è parallela
alle precedenti
la retta MN passa
ancora per il punto L!
C (c,0)
r
TEOREMA di PAPPO ?
(
M= (
N= (
L=
cosa succede se DUE
denominatori si annullano?
a - b + a'- b' = 0
a - c + a'- c' = 0
sottraggo la seconda dalla prima
aa' - bb'
a - b + a'- b'
,
aa' - cc'
a - c + a'- c'
,
cc' - bb'
c - b + c'- b'
,
a-b
a - b + a'- b'
)
a-c
a - c + a'- c' )
c-b
c - b + c'- b' )
c - b + c'- b' = 0
anche il terzo denominatore si annulla:
se due dei punti L,M,N "vanno all'infinito", anche il terzo "va all'infinito"
B'
A'
C'
O
X
X
O
C
A
B
ABA'B' è un
parallelogramma
CBC'B' è un
parallelogramma
CAC'A' è un
parallelogramma
INTERSEZIONE E RETTE PARALLELE
P6 non c'è, sul piano
è andato "all'infinito"
P5
lassù
r6
r5
talvolta i punti di intersezione si "volatilizzano"
P4
non c'è una "legge di conservazione
dell'intersezione"
r4
r3
Il piano non è un ambiente compatto:
r2
ci sono successioni di punti i cui limiti
sembrano uscire fuori dall'ambiente
P3
P2
r1
P1
o forse
di qua?
ambiente compatto
0
ogni successione ha una
sottosuccessione che ha limite
intervallo aperto
intervallo chiuso
(
[
)
1
]
0
non compatto
1
compatto
retta reale
una circonferenza è compatta
(non compatta)
anche una sfera è compatta
negli ambienti compatti è possibile fare “ragionamenti al limite”
Pappo, Pappo ...
ci penso io!
orizzonte
ECCOLO!
il punto all'infinito
APPLAUSI
che bello sarebbe
poterli vedere questi
punti all'infinito ...
ma chi sarebbe questo tizio?
Piero della Francesca
(Sansepolcro, 1416 circa – Sansepolcro, 12 ottobre 1492) pittore e matematico.
Tra le personalità più emblematiche del Rinascimento, le sue opere sono
mirabilmente sospese tra arte, geometria. La sua attività può senz'altro essere
caratterizzata come un processo che va dalla pratica pittorica, alla matematica e
alla speculazione matematica astratta.
Il De prospectiva pingendi ("Della prospettiva del dipingere") è un trattato sulla
prospettiva scritto da Piero. La datazione dell'opera è incerta e in ogni caso
legata alla tarda maturità dell'autore, tra gli anni sessanta e ottanta del
Quattrocento, entro il 1482. Il manoscritto originale, ricco di illustrazioni, è alla
Biblioteca Ambrosiana di Milano.
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Piero della Francesca è stato un precursore della Geometria Prospettica, oggi detta
Geometria Proiettiva.
Nella Geometria Proiettiva, una retta (quella dell'orizzonte) funziona come se si
trovasse “all'infinito”, per cui due rette parallele si incontrano in un punto della
linea d'orizzonte.
orizzonte
visione dall'alto
visione prospettica
Nel trattato di Piero della Francesca si spiega come le costruzioni geometriche del
piano normale si possono ripetere nel piano proiettivo, con la retta dell'orizzonte.
TEOREMA di PAPPO ?
funziona
B'
C
A'
A
B
C'
L, M, N sono ancora allineati!
orizzonte
L
B'
M
A'
C'
C
A
B
N
TEOREMA di PAPPO
funziona
Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i “punti all'infinito”, abbiamo
compattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il
Se guardo
procedimento del passaggio
al èlimite.
... ma
un
l'orizzonte del
cerchio di
mare, però, più
raggio infinito,
che una retta,
quindi è come
mi sembra un
una retta.
cerchio ...
L, M, N sono ancora allineati!
orizzonte
L
B'
M
A'
C'
C
A
B
N
LO SPEDALE DI S. MARIA DELLA SCALA
LO SPEDALE DI S. MARIA DELLA SCALA
Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i “punti all'infinito”, abbiamo
compattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il
procedimento del passaggio al limite.
è l'unica compattificazione possibile del piano?
NO!
Ad esempio, si possono mandare all'infinito la x e la y separatamente.
Oppure si può introdurre un UNICO punto all'infinito che vada bene per tutto
(compattificazione di Alexandrov)
punto
all'infinito
sfera
PadreEterno
diavolo
o qua?
e qua?
e quaggiù che c'è?
SFERA: compattificazione di Alexandrov del piano
tutto tornerebbe meglio ...
un momento! Non correte troppo ...
... e le coordinate?
Renato Cartesio (Renè Descartes)
Nacque il 31 marzo 1596 a La Haye nella Touraine, da famiglia della nobiltà di toga.
Fu educato nel collegio dei gesuiti a La Flèche. In seguito Cartesio poté viaggiare per
tutta l'Europa, dedicandosi agli studi di matematica e di fisica. Nel 1628 si stabilì in
Olanda per godervi di quella libertà filosofica e religiosa che era propria del paese.
La condanna di Galilei del 22 giugno 1633 lo sconsigliò dal pubblicare un'opera, nella
quale egli sosteneva la dottrina copernicana. In seguito pensò di divulgare almeno
alcuni risultati che aveva raggiunti; e così nacquero i tre saggi la Diottrica, le Meteore
e la Geometria ai quali premise una prefazione intitolata Discorso del metodo, e che
pubblicò a Leyda nel 1637.
INel 1649 egli cedette ai ripetuti inviti della regina Cristina di Svezia di andare a
stabilirsi presso la sua corte. Nell'ottobre egli giungeva a Stoccolma; ma nel rigido
inverno nordico si ammalò di polmonite e l'11 febbraio 1650 moriva.
Enciclopedia Multimediale delle Scienze Filosofiche
un momento! Non correte troppo ...
... e le coordinate?
Come mettere coordinate ai punti all'infinito?
se questo denominatore si
annulla, L va all'infinito.
L=
(
aa' - bb'
a - b + a'- b'
,
a-b
a - b + a'- b'
)
Anche se va all'infinito, il punto L può essere visualizzato nel piano proiettivo.
Ma non possiamo dargli coordinate, perchè non si può dividere per zero.
B' (b',1)
A' (a',1)
C'
(c',1)
s
M
N
r
A (a,0)
B (b,0)
C (c,0)
Già: ma perchè non si può dividere per zero?
Una volta, 3 meno 5 non si poteva fare.
Poi hanno inventato i numeri negativi, e ora si può fare.
Una volta, 2 diviso 7 non si poteva fare.
Poi hanno inventato le frazioni, e ora si può fare.
Una volta, certi segmenti non si potevano misurare.
Poi hanno inventato i numeri reali, e ora tutti i segmenti possono essere misurati.
Una volta, la radice quadrata di -1 non si poteva fare.
Ma hanno inventato i numeri complessi, e ora si può fare.
Allora: perchè non si può dividere per zero?
vogliamo 1/0
Mettiamo una buona volta
1/0 = ∞ , e non se ne parla più!
Allora: perchè non si può dividere per zero?
1
0
• 0 = 1
=
2 = 1+1 =
• 0 +
distributiva
• 0 =
• (0 + 0) =
• 0 = 1
∞ si comporta male, come numero.
In particolare, non si integra bene con le operazioni e la legge distributiva.
Dovendo necessariamente scegliere, preferiamo tenerci la legge distributiva
e buttiamo via ∞ dagli insiemi numerici.
Va bene.
Ma allora, queste coordinate?
Coordinate proiettive
August Ferdinand Möbius
(Schulpforta, 17 novembre 1790 – Lipsia, 26 settembre 1868) è stato un
matematico e astronomo tedesco. Era discendente di Martin Lutero per parte di
madre. Si iscrisse all'Università di Lipsia, all'inizio seguendo i corsi di legge
secondo i desideri della famiglia, poi seguendo la sua inclinazione, frequentando
corsi di matematica, astronomia e fisica. Nel 1813 si trasferì a Gottinga per
studiare astronomia con Gauss nel suo osservatorio. Nel 1816 divenne, molto
giovane, professore straordinario su una cattedra di astronomia e meccanica
superiore all'Università di Lipsia. Möbius fu il primo matematico ad introdurre le
coordinate omogenee in geometria proiettiva.
Coordinate proiettive
punto all'infinito
0
1
7
1
1
4
0
(1,1)
(7,4)
PROBLEMI.
1) Ogni punto della retta proiettiva ha due coordinate.
...
(1,0)
punto all'infinito
2) Poiché 7/4 = 14/8, i punti (7,4) e (14,8) coincidono. Più in generale, tutti i
punti della forma (7k, 4k) coincidono.
3) Poiché (-1,0) = -(1,0), il punto all'infinito dalla parte negativa coincide con
quello della parte positiva.
e sul piano?
P=(
5
2
, 1 )= (
5
2
2
,
2
)
= ( 5, 2, 2 )
y
x
=
m
+q
equazione della retta y= mx + q
z
z
y = mx + qz equazione della retta proiettiva
è una retta!!!
z=0
punti all'infinito
Ex. Punto all'infinito della retta y= 3x + 6z
pongo z = 0
ottengo y = 3x cioè
y = 2x + z
rette parallele
{ y = 2x + 2z
intersezione
il punto (x, 3x, 0) = x ( 1, 3, 0)
y = 2x
{z=0
punto all'infinito
x (1, 2, 0)
O
K
TEOREMA di PAPPO
(
M= (
N= (
L=
aa' - bb'
a - b + a'- b'
,
aa' - cc'
a - c + a'- c'
,
cc' - bb'
c - b + c'- b'
,
dimostrazione
a-b
a - b + a'- b'
)
a-c
a - c + a'- c' )
c-b
c - b + c'- b' )
= (aa' - bb', a - b, a - b + a' - b')
= (aa' - cc', a - c, a - c + a' - c')
= (cc' - bb', c - b, c - b + c' - b')
allineamento di tre punti
nel piano proiettivo
si calcola il determinante di
(
aa' - bb'
a-b
a - b + a'- b'
aa' - cc'
a-c
a - c + a'- c'
cc' - bb'
c-b
c - b + c'- b'
)
viene 0
punti allineati
dimostrazione valida anche per rette parallele
TEOREMA di PAPPO
vale qualunque siano le rette di partenza
s
C'
C
N
B'
M
B
A'
L
A
r
punti generici
Pappo non vale
C'
B'
C
B
A'
A
punti su conica
Pappo vale
cosa hanno in comune?
equazione di secondo grado
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
y = mx + q
unione
(y - mx - q)(y - m'x - q') = 0
y = m'x + q'
ancora un'equazione di secondo grado
coniche
orizzonte
parabola
ellisse
iperbole
xy = 1
xy =
iperbole
xy =
1
2
1
10
xy = 0
coppia di rette
coppia di
rette
sta nella
compattificazione
insieme di
tutte le
coniche
non è
compatto
Il Teorema di Pappo vale quando i 6 punti stanno su una conica, comprese le
coniche spezzate in due rette, che stanno nel bordo della compattificazione
fine della storia?
MAGARI!
in realtà siamo solo a metà strada
cosa succede al teorema di Pappo, quando due punti vanno a coincidere?
per esempio quando B' va a coincidere con A?
che fine fa la retta AB'?
C
punti su conica
C'
B'
A
= B'
A'
B
retta tangente
Pappo vale
ma ho barato!
il coefficiente
angolare viene
0
0
A = B'
retta AB'
y=
x-a
b' - a
un numero tale che, moltiplicato per 0, mi dà 0
MA TUTTI I NUMERI, moltiplicati per 0, DANNO 0!!!
0
0
è una
FORMA INDETERMINATA
mancano i dati sufficienti per una risoluzione del problema
e la sostanza cambia!
Quando due dei sei punti coincidono, ce la possiamo cavare specificando che
devono stare su una conica
Ma quando 3 o più punti coincidono, anche la conica diventa indeterminata,
e stavolta mancano dati per davvero
ABBIAMO COMPATTIFICATO TROPPO!
Stavolta il problema consiste nel DECOMPATTIFICARE il problema,
per poi RICOMPATTIFICARLO in maniera meno stretta.
caso
super-limite
A = B = C = A' = B' = C'
???
pensate che capire come descrivere le collisioni di punti
sia un aspetto marginale della Matematica?
I Fisici studiano cosa avviene nella collisione di atomi, per capire la
strutttura della materia
Gli esseri viventi come noi originano dalla collisione di due
frammenti di DNA
Ma tutto l'Universo nasce da una grande decompattificazione di un
punto: il Big Bang
Italo Calvino - Le Cosmicomiche
“Tutto in un punto”
Isaac Asimov - Il meglio di Asimov
“Palla da biliardo”
All'alta fantasia, qui mancò possa
confine della Matematica
hic sunt
leones
GRAZIE PER L'ATTENZIONE