Anteprima Estratta dall' Appunto di
Chimica
Università : Università degli studi di Palermo
Facoltà : Chimica
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L' Appunto
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Modello di Krönig e Penney
• Abstract
Vogliamo vedere l’applicazione del teorema di Bloch e delle sue conseguenze ad un caso specifico, ricavando
esplicitamente le bande.
Dunque dapprima introduciamo un modello che descrive il sistema ‘elettrone in un solido (metallico)’.
Poi ‘risolviamo’ questo modello, risolvendone l’equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) e trovando
autovalori ed autofunzioni dell’energia.
A questo punto studiamo la relazione di dispersione, ossia la funzione E(k), mettendo in evidenza come, a causa
della discontinuità nel dominio di definizione di k e grazie alla monotonia della funzione, si può organizzare una
struttura a ‘bande’ e ‘gap’.
• Introduzione del modello
Consideriamo un sistema il cui potenziale periodico sia di tipo a ‘buca rettangolare’ :
(questo esempio non è ‘analitico’ ma è abbastanza semplice)
t
m
V
co
d
e.
0
x
rib
-V
Ct
0
AB
Dapprima considereremo le buche finite, con l’intenzione di mandare la profondità all’infinito, la larghezza a zero,
ma in modo tale che il loro prodotto sia costante : le buche saranno quindi delle ‘delta’.
- Fuori dalle buche
Al di fuori delle buche l’equazione di Schrödinger è quella di particella libera :
d2
2m E
ψ+
ψ=0
2
dx
S2
Poiché nelle soluzioni compare la radice quadrata del coefficiente del secondo termine (cioè quello che in genere si
chiama k, ma attenzione a non confonderlo col k del fattore di Bloch, che è un’altra cosa!), distinguiamo due casi a
seconda del segno dell’energia.
Definiamo per i due casi due quantità positive e riscriviamo l’equazione di Schrödinger in maniera compatta :
2m E
α =
S2
2
se E
>0
=>
d2
ψ + α2 ψ = 0
2
dx
e
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- modello di Krönig e Penney -
β 2 = − 2m2 E
S
se E
<0
2
d2 ψ − β2 ψ = 0
dx 2
=>
(A342)
- Dentro le buche
Cominciamo a studiare il caso in cui il potenziale abbia una sola buca, nell’origine.
All’interno della buca centrata in zero l’equazione di Schrödinger è :
2
d2
−S
ψ − V0 ψ = E ψ
2m dx 2
−
d2
2m
ψ
=
V0 ψ + E ψ
dx 2
S2
e.
co
m
d2
2m
ψ
=
−
V0 + E ψ .
dx 2
S2
Ct
rib
Risolviamo quest’equazione differenziale integrando ambo i membri attorno all’origine, mandando adesso t a zero e
V0 all’∞, in modo che però il loro prodotto resti finito.
AB
In pratica integriamo in un intorno dell’origine largo quanto la buca (finita), e mandiamo poi tale larghezza della
buca a zero :
t/2
t/2
t/2
d2
2m
lim I
ψ dx = − 2 lim I V ψ x dx + I E ψ x dx
2
S t →0 −t / 2
t → 0 − t / 2 dx
−t / 2
V→∞
V→∞
nell’integrare il membro di destra teniamo conto che nell’intervallo d’integrazione la ψ è quasi costantemente
uguale a ψ(0), e la portiamo dunque fuori dall’integrale :
lim
t →0
d
ψ
dx
−
t/2
d
ψ
dx
= −
−t / 2
2m
ψ 0 lim Vt + Et
S2
t →0
V→∞
V→∞
svolgendo i limiti, nel membro di destra il termine Vt si mantiene costante, mentre il termine Et va a zero :
d
d
ψ −
ψ
dx + dx
d ψ − d ψ
dx + dx
= −
−
2m Vt ψ 0
S2
= −2 η ψ 0
−
posto η
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=
m Vt
S2
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Preparati con le domande di ABCtribe su Chimica.
1. Il grado di dissociazione di un acido monoprotico in sua soluzione acquosa di 1,15 M è 0,100.
Trovare il suo
Risposta:
HA <--- ---> H+ + A1.15_____________
1.15-x______x___x_
so che
x/1.15 = 0.100 ==> x = 0.100 * 1.15 = 0.115
=> Ka = x^2 / (1.15 - x) = 0.115
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2. Determinare quanti grammi di HCl sono necessari per r
Risposta:
2HCl + CaCO3 --------> CaCl2 + H2O + CO2
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