Progetto Lauree Scientifiche
DINAMICA DI POPOLAZIONI
Liceo Statale “A. Meucci”
Aprilia (LT)
Anno Scolastico 2007/2008
Indice
•
•
•
•
•
•
•
Modello a due età
Modello a tre età
Domande
Parallelismo
Esempi a due fasce
Esempi a tre fasce
Gli elefanti di mare di Año Nuevo
Popolazione ripartita in due età
Consideriamo una popolazione ripartita in due soli classi di età:
{n1(t), n2(t)}
giovani e adulti, con coefficienti di fertilità f1 e f2.
La popolazione totale al tempo t è
n(t)=n1(t)+n2(t)
p1 è la probabilità che un individuo della prima classe di età sopravviva e
raggiunga la seconda.
Il vettore profilo costituito dalle percentuali del numero di individui per
fascia è
(g(t), a(t)) = (n1(t)/n(t), n2(t)/n(t))
Modello a due età
L’evoluzione della popolazione può essere modellizzata:
n1(t

1)

f1
n1(t)

f2
n2(t)


n2(t

1)

p1
n1(t)

Usando la scrittura matriciale
n1(t 1)
n2(t 1)


=
f1 f 2  n1(t ) 
p1 0  n2(t )



f1 f 2
dove p1 0  è detta matrice di Leslie del modello a due fasce di età.


Popolazione ripartita in tre fasce di età
Se la popolazione è ripartita in tre classi di età:
{n1(t), n2(t), n3(t)}
bambini, giovani e adulti, con coefficienti di fertilità f1 e f2 e f3.
La popolazione totale al tempo t sarà
n(t)=n1(t)+n2(t)+n3(t)
p1 è la probabilità di passare dalla prima alla seconda fascia,
p2 è la probabilità di passare dalla seconda alla terza fascia.
Il vettore profilo, costituito dalle percentuali del numero di individui per
fascia, è
(b(t), g(t), a(t)) = (n1(t)/n(t), n2(t)/n(t), n3(t)/n(t))
Modello a tre età
L'evoluzione di una popolazione a tre fasce d'età è:
{
n1 t 1 = f1n1 t
n2 t 1 = p1 n1 t
n3 t 1 = p2n2 t
f2n2 t
f3n3 t
Usando la scrittura matriciale
[ ] [ ][ ]
n1 t 1
n2 t 1
n3 t 1
dove
=
[ ]
f1 f2 f3
p1 0 0
0 p2 0
f1 f2 f3
p1 0 0
0 p2 0
n1 t
n2 t
n3 t
è detta matrice di Leslie del modello a tre fasce di età.
Domande
[ ]
[ ]
n1 t
N t = n2 t
n3 t
Se
e A=
f1 f2 f3
p1 0 0
0 p2 0
si può scrivere
•
•
•
•
è il vettore colonna della popolazione
la matrice di Leslie ,
N t 1 = AN t
I vettori N t 1 e N t sono paralleli tra loro?
Cambiano direzione in relazione al tempo t e alle condizioni iniziali?
Come si evolve la popolazione totale?
Come si evolve il vettore profilo?
Il parallelismo
Essendo
N t 1 = AN t
N t 1
e quindi
//
↔
N t
N t 1 =λN t
AN t = N t
A− I N t = 0
ovvero
Un sistema lineare omogeneo ha soluzione non banale se
det (A – λI) = 0
detta equazione caratteristica della matrice A
Ogni soluzione λ di questa equazione si chiama autovalore della matrice A
I vettori
v
tali che
A v= v
si dicono autovettori relativi all'autovalore λ.
Gli unici numeri λ per i quali N t 1 //
matrice di Leslie A
N t sono gli autovalori della
Esempi a due fasce di età
Esempio 1
A=
[ ]
0
2
0,5 0
→
{
n1 t 1 = 0 n1 t 2 n2 t
con (n1(0), n2(0)) = (7, 40)
n2 t 1 = 0,5 n1 t
Pop. totale
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
oscilla
n2(t)
7
80
7
80
7
80
Vettore profilo
n(t)
40
3,5
40
3,5
40
3,5
g(t)
47
83,5
47
83,5
47
83,5
det (A – λI) = λ² – 1 = 0
La popolazione totale
a(t)
15%
96%
15%
96%
15%
96%
85%
4%
85%
4%
85%
4%
Il vettore profilo oscilla
λ=±1
↔
L'autovettore relativo all'autovalore λ = 1 vè
= (2y, y)
Se modifichiamo con (n1(0), n2(0)) = (20, 10)
Pop. totale
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
n2(t)
20
20
20
20
20
20
Vettore profilo
n(t)
10
10
10
10
10
10
g(t)
30
30
30
30
30
30
La popolazione diventa stabile
a(t)
67%
67%
67%
67%
67%
67%
33%
33%
33%
33%
33%
33%
Il profilo converge a (67, 33)
Esempio 2
A=
[ ] {
0
8
0,5 0
→
n1 t 1 = 0 n1 t 8 n2 t
n2 t 1 = 0,5 n1 t
Pop. totale
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
6
n2(t)
7
320
28
1280
112
5120
448
n(t)
40
3,5
160
14
640
56
2560
con (n1(0), n2(0)) = (7, 40)
Vettore profilo
g(t)
47
323,5
188
1294
752
5176
3008
a(t)
15%
99%
15%
99%
15%
99%
15%
85%
1%
85%
1%
85%
1%
85%
La popolazione cresce
Il profilo oscilla
det (A – λI) = λ² – 2 = 0
↔
λ=±2
L'autovettore relativo all'autovalore λ = 2v è
= (4y, y)
Se modifichiamo il vettore delle condizioni iniziali con (n1(0), n2(0)) = (40,
10)
Pop. totale
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
6
n2(t)
40
80
160
320
640
1280
2560
crescere
n(t)
10
20
40
80
160
320
640
Vettore profilo
g(t)
50
100
200
400
800
1600
3200
a(t)
80%
80%
80%
80%
80%
80%
80%
20%
20%
20%
20%
20%
20%
20%
La popolazione continua a
Il profilo converge a (80,20)
Esempio 3
A=
0
0,5 →
0,5 0
[
] {
n1 t 1 = 0 n1 t 0,5 n2 t
n2 t 1 = 0,5 n1 t
Pop. totale
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
n2(t)
7
20
1,75
5
0,4375
1,25
n(t)
40
3,5
10
0,875
2,5
0,21875
con (n1(0), n2(0)) = (7,40)
Vettore profilo
g(t)
47
23,5
11,75
5,875
2,9375
1,46875
a(t)
15%
85%
15%
85%
15%
85%
85%
15%
85%
15%
85%
15%
La popolazione decresce
Il profilo oscilla
det (A – λI) = λ² – 1/4 = 0
↔
λ = ± 1/2
L'autovettore relativo all'autovalore λ = 1/2 vè
= (y, y)
Se modifichiamo le condizioni iniziali con (n1(0), n2(0)) = (10, 10)
Pop. totale
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
n2(t)
10
5
2,5
1,25
0,625
0,3125
decrescere
n(t)
10
5
2,5
1,25
0,625
0,3125
Vettore profilo
g(t)
20
10
5
2,5
1,25
0,625
a(t)
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
La popolazione continua a
Il profilo converge a (50,50)
Esempi a tre fasce di età
Esempio 4
A=
[
1 2 1
0,8 0 0
0 0,5 0
] {
→
n1 t 1 = n1 t 2 n2 t
n2 t 1 = 0,8 n1 t
n3 t 1 = 0,5 n2 t
n3 t
con (n1(0), n2(0), n3(0)) = (2, 2, 1) .
la popolazione cresce e il profilo converge a (66, 27, 7).
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
n2(t)
2
7
11,2
23,2
43,9
85,5
165,1
319,5
Pop totale
n(t)
n3(t)
2
1,6
5,6
9,0
18,6
35,1
68,4
132,1
1
1
0,8
2,8
4,5
9,3
17,6
34,2
Profilo
b(t)
5
9,6
17,6
35,0
67,0
129,9
251,1
485,7
g(t)
40%
73%
64%
66%
66%
66%
66%
66%
a(t)
40%
17%
32%
26%
28%
27%
27%
27%
20%
10%
5%
8%
7%
7%
7%
7%
Sostituendo al vettore iniziale (n1(0), n2(0), n3(0)) = (66,27, 7) otteniamo la
crescenza della popolazione e la convergenza immediata del vettore profilo
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
n2(t)
66
127
246,1
475,7
920,3
1779,8
3442,5
6658,3
n3(t)
27
52,8
101,6
196,9
380,6
736,2
1423,9
2754,0
Pop totale Profilo
n(t)
b(t)
7
100
13,5
193,3
26,4
374,1
50,8
723,4
98,4
1399,3
190,3
2706,3
368,1
5234,5
711,9
10124,3
g(t)
66%
66%
66%
66%
66%
66%
66%
66%
a(t)
27%
27%
27%
27%
27%
27%
27%
27%
7%
7%
7%
7%
7%
7%
7%
7%
Esempio 4
A=
[
0 0 8
0,5 0 0
0 0,25 0
n1 t 1 = 8 n3 t
n2 t 1 = 0,5 n1 t
n3 t 1 = 0,25 n2 t
è detta di Bernardelli
]
e genera il modello
{
→
Se (n1(0), n2(0), n3(0)) = (2, 1, 1), la popolazione oscilla, così come il profilo, con periodo 3.
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
n2(t)
2
8
2
2,0
8,0
2,0
2,0
8,0
det (A- λI) = λ³ - 1 = 0
Pop totale
n(t)
n3(t)
1
1
4
1,0
1,0
4,0
1,0
1,0
1
0,25
0,25
1,0
0,3
0,3
1,0
0,3
→ λ=1
Profilo
b(t)
4,0
9,3
6,3
4,0
9,3
6,3
4,0
9,3
g(t)
50%
86%
32%
50%
86%
32%
50%
86%
a(t)
25%
11%
64%
25%
11%
64%
25%
11%
25%
3%
4%
25%
3%
4%
25%
3%
è l'unico autovalore reale (gli altri due sono complessi
coniugati e di modulo 1)
L'autovettore relativo a λ=1 è v = (8z, 4z, z) → Se (n1(0), n2(0), n3(0)) = (8, 4, 1)
tempo
n1(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
n2(t)
8
8
8
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
n3(t)
4
4
4
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
1
1
1
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
Pop totale
Profilo
n(t)
b(t)
13
13
13
13
13
13
13
13
g(t)
62%
62%
62%
62%
62%
62%
62%
62%
a(t)
31%
31%
31%
31%
31%
31%
31%
31%
La popolazione diventa stabile e il profilo converge all'autovettore (62, 31, 8)
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
Conclusioni
•
La popolazione cresce quando la matrice di Leslie ha un autovalore dominante di
modulo maggiore di 1
•
La popolazione decresce quando la matrice di Leslie ha gli autovalori di modulo
minore di 1
•
In entrambi i casi precedenti il vettore profilo converge ad un autovettore.
•
Se le condizioni iniziali sono un autovettore, il profilo converge immediatamente.
•
La popolazione oscilla,anche con delle periodicità, se gli autovalori sono tutti di
modulo 1.
•
Il profilo oscilla se gli autovalori sono di segno opposto, ma converge se si parte con
un autovettore.
•
Nel caso di profilo oscillante e popolazione oscillante, se il dato iniziale è un
autovettore, allora la popolazione si stabilizza e il profilo converge all'autovettore.
GLI ELEFANTI DI MARE
MIROUNGA ANGUSTIROSTRIS
Elefanti di mare
Età x Sopravvissuti all'età x Figlie generate da ogni madre di età x
x
l(x)
v(x)
0
1000
0
1
490
0
2
396
0
3
324
0
4
283
0
5
264
0,016
6
202
0,038
7
139
0,134
8
104
0,642
9
69
2,413
10
41
2,345
11
14
2,886
12
11
5,914
13
8
4,513
14
2
0
Gli elefanti di mare in tre fasce d'età
Siamo partiti per ogni fascia dalla popolazione relativa agli anni 0, 5, 10.
Età x Sopravvissuti Figlie generate all'età x
x
l(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
v(x)
1000
490
396
324
283
264
202
139
104
69
41
14
11
8
2
f1 = 0
f2 = 0,99921
f3 = 5,79773
p1 = 264/1000 = 0,264
0
0
0
0
0
0,016
0,038
0,134
0,642
2,413
2,345
2,886
5,914
4,513
0
p2 = 41/264 = 0,1553
(n1(0), n2(0), n3(0))= (1000, 264, 41)
Pop totale Vettore Profilo
tempo n1(t)
n2(t)
n3(t)
n(t)
b(t)
g(t)
0
1000
264
41
1305
77%
1
501,5
264
41,0
806,5
62%
2
501,5
132,4
41,0
674,9
74%
3
370,0
132,4
20,6
522,9
71%
4
251,5
97,7
20,6
369,7
68%
5
216,8
66,4
15,2
298,4
73%
6
154,3
57,2
10,3
221,8
70%
7
117,0
40,7
8,9
166,6
70%
8
92,2
30,9
6,3
129,4
71%
9
67,5
24,4
4,8
96,7
70%
10
52,1
17,8
3,8
73,7
71%
11
39,7
13,8
2,8
56,3
71%
12
29,8
10,5
2,1
42,4
70%
La popolazione decresce e il profilo converge a (70, 25, 5)
Se (n1(0), n2(0), n3(0))=(70, 25, 5) la convergenza del profilo è immediata
a(t)
20%
33%
20%
25%
26%
22%
26%
24%
24%
25%
24%
24%
25%
3%
5%
6%
4%
6%
5%
5%
5%
5%
5%
5%
5%
5%
Gli elefanti di mare in tre fasce d'età
Abbiamo sviluppato il modello a tre fasce d'età anche partendo dalla popolazione relativa agli anni 2, 7, 12.
Età x Sopravvissuti Figlie generate all'età x
x
l(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
v(x)
1000
490
396
324
283
264
202
139
104
69
41
14
11
8
2
f1 = 0
f2 = 1,89778
f3 = 21,06972
p1 = 139/396 = 0,35101
0
0
0
0
0
0,016
0,038
0,134
0,642
2,413
2,345
2,886
5,914
4,513
0
p2 = 11/139 = 0,07913
(n1(0), n2(0), n3(0))= (396, 139, 11)
Pop totale Vettore Profilo
tempo n1(t)
n2(t)
n3(t)
n(t)
b(t)
g(t)
0
396
139
11
546
73%
1
495,6
139,0
11,0
645,6
77%
2
495,5
173,9
11,0
680,5
73%
3
561,9
173,9
13,8
749,6
75%
4
620,1
197,2
13,8
831,1
75%
5
664,3
217,7
15,6
897,5
74%
6
741,9
233,2
17,2
992,3
75%
7
805,4
260,4
18,5
1084,3
74%
8
883,0
282,7
20,6
1186,3
74%
9
970,7
309,9
22,4
1303,0
74%
10
1059,5
340,7
24,5
1424,7
74%
11
1163,3
371,9
27,0
1562,2
74%
12
1273,8
408,3
29,4
1711,6
74%
La popolazione cresce e il profilo converge a (74, 24, 2)
Se (n1(0), n2(0), n3(0))=(74, 24, 2) la convergenza del profilo è immediata
a(t)
25%
22%
26%
23%
24%
24%
23%
24%
24%
24%
24%
24%
24%
2%
2%
2%
2%
2%
2%
2%
2%
2%
2%
2%
2%
2%
Considerazioni sul modello a tre fasce
Abbiamo implementato anche i modelli a tre fasce scegliendo come anni di riferimento per
ciascuna fascia rispettivamente
Anni 1, 6, 11
Anni 3, 8, 13
Anni 4, 9, 14
In tutti e tre i casi la popolazione cresce negli anni e il profilo converge ad un autovettore.
Probabilmente la scelta degli anni iniziali 0, 5 e 10 come rappresentativi di ogni fascia
rendeva instabile la popolazione.
Modello a 14 fasce per gli elefanti marini
Abbiamo implementato anche il modello a 14 fasce:
Siamo partiti dal vettore (1000, 490, 396, 324, 283, 264, 202, 139, 104, 69, 41, 14, 11, 8).
Relativamente ad ogni anno abbiamo preso come
fattore di fertilità e come probabilità di
sopravvivenza i dati indicati in tabella:
Il modello ci ha dato una popolazione
decrescente e un profilo che dopo parecchie
iterazioni converge al vettore
(25, 13, 11, 10, 9, 9, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 0);
f1=0
f2=0
f3=0
f4=0
f5=0
f6=0,016
f7=0,038
f8=0,134
f9=0,642
f10=2,413
f11=2,345
f12=2,886
f13=5,914
f14=4,513
P1=490/1000=0,49
P2=396/490=0,81
P3=324/396=0,82
P4=283/324=0,87
P5=264/283=0,93
P6= 202/264=0,77
P7=139/202=0,69
P8=104/139=0,78
P9=69/104=0,66
P10=41/69=0,59
P11=14/41=0,34
P12=11/14=0,79
P13=8/11=0,73
P14=2/8 =0,25
Inserendolo come vettore di partenza abbiamo ottenuto una convergenza immediata del
profilo.
Modello a quattordici fasce
Profilo
Pop totale
n(t)
a13
a12
a11
a10
a9
a8
a7
a6
a5
a4
a3
a2
a1
Tem po
a14
3278
0
31%
15%
12%
10%
9%
8%
6%
4%
3%
1%
0%
0%
0%
0%
2631,7
1
12%
19%
15%
12%
11%
10%
8%
5%
4%
3%
1%
0%
0%
0%
2407,8
2
17%
6%
16%
13%
12%
11%
8%
6%
4%
3%
2%
0%
0%
0%
2211,3
3
20%
9%
6%
15%
13%
12%
9%
6%
5%
3%
2%
1%
0%
0%
2061,9
4
22%
10%
8%
5%
14%
13%
10%
7%
5%
3%
2%
1%
1%
0%
1955,3
5
25%
11%
9%
7%
5%
14%
10%
7%
5%
4%
2%
1%
1%
0%
1847,9
6
27%
13%
10%
8%
6%
5%
11%
8%
6%
4%
2%
1%
1%
0%
1765,2
7
28%
14%
11%
8%
7%
6%
4%
8%
6%
4%
2%
1%
1%
0%
1711,2
8
29%
14%
12%
9%
7%
7%
5%
3%
6%
4%
2%
1%
1%
0%
1661,7
9
29%
15%
12%
10%
8%
7%
5%
3%
2%
4%
2%
1%
1%
0%
1592,3
10
28%
15%
12%
10%
9%
8%
6%
4%
3%
1%
3%
1%
1%
1%
1451,4
11
23%
15%
13%
11%
10%
9%
7%
4%
3%
2%
1%
1%
1%
1%
1333,7
12
21%
12%
13%
12%
10%
10%
8%
5%
4%
2%
1%
0%
1%
1%
1237,6
13
22%
11%
11%
11%
11%
11%
8%
6%
4%
3%
1%
0%
0%
1%
1128,5
1041,2
14
15
21%
22%
12%
11%
10%
10%
10%
9%
11%
9%
11%
11%
9%
9%
6%
7%
5%
5%
3%
3%
2%
2%
1%
1%
0%
0%
0%
0%
979,0
16
24%
11%
10%
9%
8%
9%
9%
7%
5%
4%
2%
1%
1%
0%
928,1
17
26%
13%
10%
8%
8%
8%
7%
7%
5%
4%
2%
1%
1%
0%
888,3
18
27%
13%
11%
8%
8%
8%
6%
5%
5%
4%
2%
1%
1%
0%
852,1
19
28%
14%
11%
9%
8%
7%
6%
5%
4%
4%
2%
1%
1%
0%
811,6
20
27%
14%
12%
10%
8%
7%
6%
5%
4%
3%
2%
1%
1%
0%
762,1
21
25%
14%
12%
10%
9%
8%
6%
4%
4%
3%
2%
1%
1%
1%
711,6
22
24%
13%
12%
11%
10%
9%
7%
4%
3%
3%
2%
1%
1%
1%
662,7
23
23%
13%
12%
11%
10%
10%
7%
5%
4%
2%
2%
1%
1%
1%
611,3
24
22%
12%
11%
10%
10%
10%
8%
6%
4%
3%
2%
1%
1%
0%
564,1
25
22%
12%
11%
10%
10%
10%
8%
6%
4%
3%
2%
1%
1%
0%
525,8
26
23%
12%
10%
10%
9%
10%
8%
6%
5%
3%
2%
1%
0%
0%
493,4
27
25%
12%
10%
9%
9%
9%
8%
6%
5%
3%
2%
1%
1%
0%
466,0
28
26%
13%
10%
9%
8%
9%
7%
6%
5%
4%
2%
1%
1%
0%
442,7
29
26%
13%
11%
9%
8%
8%
7%
5%
5%
3%
2%
1%
1%
0%
420,5
30
27%
14%
11%
9%
8%
8%
7%
5%
4%
3%
2%
1%
1%
0%
397,6
31
26%
14%
12%
10%
9%
8%
6%
5%
4%
3%
2%
1%
1%
0%
374,2
32
25%
14%
12%
10%
9%
9%
7%
5%
4%
3%
2%
1%
1%
1%