UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA”
Facoltà di Ingegneria
Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Corso di:
MISURE INDUSTRIALI II
Prof. Zaccaria Del Prete
“Misure in vitro delle proprietà viscoelastiche
di tessuti connettivi”
Dispense a cura dell’ Ing. Emanuele Rizzuto
anno accademico 2005/06
Introduzione
Tendini (muscolo-osso)
Legamenti (osso-osso)
trasformano le contrazioni
muscolari in forza
stabilizzano le giunture
Tensioni elevate
Fibre di collagene allineate
Carico di rottura elevato (=75-100MPa)
Nella pelle, p.es., le fibre sono orientate casualmente
carico di rottura (=1-20MPa)
Struttura gerarchica tessuto
Tessuto connettivo
acqua
Tropocollagene
Microfibrille
collagene
Subfibrille
aspetto bianco
Fibrille
Fibre
aminoacidi assemblati in
catene polipeptidiche
Aumenta:
densità
stabilità legame
forza
Comportamento meccanico del tessuto
Carico applicato con velocità di
allungamento costante
Curva sforzo-deformazioni
(1) toe-region
aumento esponenziale
 fenomeni fisiologici
 sforzo per appiattire i
fasci di fibre

(2) regione elastica
fibre ormai allineate
 relazione lineare -

Comportamento meccanico del tessuto
(3) regione plastica
punto di resa (yield point):
transizione campo elastico/plastico
 rottura fibre di collagene

(4) zona di maggior rottura
allungamenti
notevoli
incrementi di sforzo minimi

(5) zona di rottura completa
rottura per i legamenti:
=75-100MPa, =15%

per
Comportamento meccanico del tessuto
Materiale visco-elastico: separare componente elastica / viscosa
test creep
test stress relaxation
forza costante - misura
deformazione
cedevolezza di creep:
deformazione costante misura sforzo indotto
J t    t 
costante di tempo : 63% max
0
modulo di stress-relaxation
E t    t 
0
Comportamento meccanico del tessuto
ciclo carico-scarico
nuovo ciclo carico-scarico
spostamento sempre minore
riposo fino a recupero l0
ciclo isteresi spostato verso 
crescenti
stazionarietà
il tessuto ha subito un precondizionamento (preconditioning):
riorganizzazione interna della struttura del tessuto
Comportamento meccanico del tessuto
 t   E 0 cost 
provino elastico
 t    0 cost   2 
provino viscoso    0 cost 
 t    0 cost      0 e j t  
provino visco-elastico
   0 e  j e jt   * e jt
 *   0 e  j   0 cos   j 0 sin 
*
J 
0
*
Complex Compliance
J   

 SC  jLC

componente  in fase con la  applicata
 riflette il comportamento elastico
 pendenza ciclo di isteresi  - 

SC  1
LC 
linearfitting  , 
Aciclo
2 0
tan   LC
SC
2
componente  in quadratura rispetto a 
 comportamento viscoso - energia persa/ciclo
 proporzionale all’area del ciclo di isteresi

Modello transgenico MLC/mIgf-1:
myosin light chain/muscle insuline growth factor-1
1998 - Massachusetts General Hospital, Boston
studiare patologie sull’apparato muscolare (distrofie)
Il fenotipo propone un modello persistente di ipertrofia muscolare

dal DNA di un WT viene isolato il gene Igf-1
reinserito in un vettore del DNA di un altro
animale, sotto il controllo del promotore mgf
che fa capo alla miosina

quando il promotore mgf entra in attività, a
livello embrionale, il gene Igf-1 risulta stimolato


gli embrioni TG sviluppano normalmente
dopo la nascita l’incremento in massa
muscolare e forza non è accompagnato da
altre patologie (ipertrofia cardiaca)

Modello matematico: sistema lineare
yt   Lxt 
principio sovrapposizione effetti:

  t dt  1
ingresso fondamentale – impulso di Dirac:

funzione di risposta impulsiva:
ht   L t 
risposta ad un impulso applicato  secondi prima:
yt   h  t   
risposta ad un segnale di ampiezza X e durata t: yt   h  t   Xt
approssimando un segnale x(t) con una serie
di impulsi di durata  ed ampiezza x(t- ):

x t    x t   i 
i 1
La risposta alla serie di impulsi è uguale alla somma delle
risposte ai singoli impulsi:

y t   Lx t    h  i x t   i 
i 1
t0

y t    h xt   d
0
Modello matematico: sistema NON lineare
non è valido il principio di sovrapposizione degli effetti
risposta all’impulso di Dirac differisce
dalla precedente per un fattore 1:
yt   h1  1  t   1    1
errore dipende dai parametri del sistema ed è legato
all’ampiezza dell’impulso
risposta a due impulsi, ai tempi 1 e 2:
yt   h1  1  t   1   h1  2  t   2    2
Si assume che 2 dipenda anche dal prodotto delle ampiezze dei
due impulsi, e che l’approssimazione migliori inserendo termini di
ordine più alto:
n
n
n




y t    h1  i  t   i    h2  i1 , i2  t   i1  t   i2  ...   ' n
i:1
i1:1 i2 :1
Modello matematico
se in ingresso si ha un generico segnale x(t), la risposta può essere
ricavata approssimando x(t) con una serie infinita di impulsi di
ampiezza t:
Serie di Volterra
0,
n

 

  
y t  
 h1  1 x t   1 d  1    h 2  1 , 2 x t   1 x t   2 d  1 d  2 
  

   h 3  1 , 2 , 3 x t   1 x t   2 x t   3 d  1 d  2 d  3 
   



 ..  h 
n
1
,..,  n x t   1 .. x t   n d  1 .. d  n
 
hn  1 ,..., n 
Kernels
Modello matematico
Partendo dalle serie di Volterra, Wiener ha sviluppato un
nuovo tipo di serie:

yt    k 1 1 x t  1 d1 

  k  ,  xt   xt     xt   xt   d d
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2

  
x t  1 x t   2 x t   3   x t  1 x t   2 x t   3  
    k 3 1 ,  2 ,  3 
d1d 2 d 3
 x t   2 x t  1 x t   3   x t   3 x t  1 x t   2 
   
  

Se in ingresso si ha un rumore bianco, i termine della serie
risultano ortogonali

Si possono aggiungere nuovi termini senza modificare i precedenti

Converge per un range più ampio di livelli di eccitazione
Modello matematico
generico kernel di Volterra può essere espresso come una
serie infinita di kernel di Wiener di ordine superiore, ma dello
stesso tipo, pari o dispari:

h1  1   k1  1   3 X  k 3  1 , 2 , 2 d 2  ...

Schetzen

h2  1 , 2   k 2  1 , 2   6 X  k 4  1 , 2 , 3 , 3 d 3  ...


h3  1 , 2 , 3   k 3  1 , 2 , 3   10 X  k 5  1 , 2 , 3 , 4 , 4 d 4  ...



n  2!
hn  1 ,.., n   k n  1 ,.., n  
X  k n  2  1 ,.., n 1 d n 1  ...
n!2!

Se troncate al secondo ordine le due serie
coincidono
Modello matematico
La serie di Volterra-Wiener richiede che la risposta sia
stazionaria, che il sistema sia causale ed abbia memoria finita


0
0 0
 t   k0   k1   t   d    k2  1 , 2  t   1  t   2 d 1d 2
R 1
R 1 R 1
j:0
j1:0 j2 :0
 t   k 0   k1  j  t  j    k 2  j1 , j2  t  j1  t  j2 
Equazione costitutiva:
 t   F  t 
Stima modello:
N
Problema della determinazione dei
kernels
NMSE 
2



(
i
)


(
i
)
 c
m
i:1
N
 
i:1
(i ) 
2
m
Modello matematico
• Assumendo
che un sistema possa essere caratterizzato da
una serie di Volterra e che detta serie converga per i livelli di
eccitazione di interesse, il problema di modellizzazione del
sistema non-lineare si riduce alla determinazione dei kernels.
•
Per questi sistemi, ogni kernel di Volterra è una proprietà del
sistema, unico ed indipendente dall’eccitazione.
•
E’ questo il punto fondamentale: se è possibile ricavare i
kernels di Volterra per un sistema non-lineare per un dato
input, la serie di Volterra può essere usata per avere
predizioni della risposta ad altri input, anch’essi con i
requisiti necessari all’applicazione della serie.
Modello matematico
Metodo dell’espansione di Laguerre
km 1,..., n   ... c j ,..., cm L j1 1 ...L jm  m 
c
j1
,..., jm

j1
jm
Coefficienti
(stimati)
L j t  Funzioni di Laguerre
(base ortonormale)
Si determinano i kernels
k0: valore medio della risposta
k1(): esprime il comportamento
viscoelastico del sistema
k2(): descrive le nonlinearità del sistema
Catena di misura
PC: invia i comandi, acquisisce i dati
L’elettronica: connessione PC/macchina
Macchina per microtrazione dinamica
•
Servomotore lineare tubolare
•
LVDT: misura della posizione
durante il moto controllato in forza
•
Encoder lineare digitale: misura
della posizione durante il moto
controllato in posizione
•
Cella di carico. Fmax: 50gF
•
Due micro-afferraggi in oro
•
Un microscopio
•
Una slitta mobile
Catena di misura
• Il calcolatore: genera i segnali desiderati, esegue il controllo in
controreazione dello stimolo meccanico, acquisisce le misure.
• Il software NI-LabView genera per ogni periodo di aggiornamento il
segnale di comando elaborato con tecnica PID da una scheda NIFlexMotion.
• Contestualmente il segnale di correzione dell’errore viene inviato
tramite un amplificatore al motore per l’inseguimento del “target”
• Alla scheda FlexMotion sono collegati come ingressi l’encoder digitale
e la cella di carico, così da permettere la chiusura della controreazione
in posizione e in forza.
• Parallelamente, una scheda NI PCI-6035E acquisisce il segnale dalla
cella di carico e dall’LVDT con frequenze di campionamento maggiori di
quelle di aggiornamento “target” consentite dalla FelxMotion.
Protocollo sperimentale
Prove preliminari – test Creep
Medial Collateral Ligaments
creep a 200kPa
creep a 1600kPa
Range tensioni: 800kPa
: 100s
creep a 3200kPa
Protocollo sperimentale
•
Preconditioning: (sinusoide 1Hz 10min – 200-800kPa)
•
Riposo
•
Rumore Pseudo Gaussiano (PGN) controllato in forza
stimola contemporaneamente tutte le frequenze di interesse
Banda Passante 20Hz
Ricavo i kernels
L’equazione costitutiva
risulta valida fino 5Hz
• Applicazione
sinusoidali
segnali
Calcolo CC per un
numero discreto di
frequenze
Programmi LabView
Programmi LabView
Programma di comando
Programmi LabView
Autotuning
Programmi LabView
Calcolo Kernels
Calcolo Complex Compliance
Programmi LabView
Analisi stimolazioni sinusoidali
Risultati sperimentali
Fattore frequenza: influenza significativa
WT/TG: no differenze significative
Confronto Storage Compliance
Confronto LossCompliance
WT
0.018
TG
0.0015
WT
0.0012
TG
0.012
0.0009
1/MPa
1/MPa
0.015
0.009
0.0006
0.0003
0.006
0.0000
0.003
0
1
2
3
4
5
Frequenze (Hz)
-0.0003
0
1
2
3
4
5
Frequenze (Hz)
Fattore frequenza: no influenza significativa
Confronto PhaseAngle
WT/TG: no differenze significative
WT
8
TG
7
6
Degrees
5
4
3
2
1
Fattore frequenza: influenza significativa
WT/TG: no differenze significative
0
-1
-2
0
1
2
3
Frequenze (Hz)
4
5