Calcolo delle
probabilità
Una trattazione elementare
Probabilità di un evento
(definizione classica)
La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente,
può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a
priori quale di essi si presenterà ciascuna volta.
Pensiamo al papà in attesa davanti alla sala parto, prima che l'ecografia
permettesse di conoscere in anticipo il sesso del nascituro o allo
scommettitore che ascolta alla radio i risultati delle partite, mentre scorre
quelli da lui pronosticati sulla schedina.
In alcuni casi i vari eventi si presentano tutti con la stessa probabilità, nel
senso intuitivo del termine. Pensiamo al lancio di una moneta, in cui non
vi sono elementi per dare all'esito "testa" una maggiore o minore
probabilità rispetto all'esito "croce". Altre volte, valutati i pro ed i contro,
crediamo di poter assegnare a qualcuno di essi un grado di fiducia
maggiore, come fa un pescatore prima di decidere dove lanciare la
lenza.
Probabilità di un evento
(definizione classica)
Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare
come distribuire un maggiore o minore grado di fiducia tra i vari
possibili modi in cui si potrà presentare un certo fenomeno aleatorio e su
come definire operazioni e proprietà che rendano coerenti i risultati
ottenuti.
Storicamente una prima definizione, che si usa chiamare "classica è
quella che definisce la probabilità di un evento aleatorio come
rapporto tra il numero di casi favorevoli ad esso e quello di tutti i
casi possibili, purché essi abbiano la stessa probabilità di
verificarsi. Tale definizione non è esente da difetti, tra i quali ad
esempio l'uso della parola probabilità all'interno della stessa definizione
di probabilità, che rende quindi incerto il significato di tale termine.
Probabilità di un evento
(definizione classica)
Essa, tuttavia, si associa abbastanza bene a quelle situazioni in cui i
fenomeni aleatori presentano situazioni di simmetria: si pensi alle due
facce di una moneta o alle sei facce di un dado, o all'estrazione di una
carta da un mazzo o all'uscita di un numero alla roulette. Tutti i vari
eventi, a meno di trucchi, hanno la stessa probabilità di verificarsi.
Indicando con p la probabilità si ha pertanto:
ESEMPI: L'uscita di testa nel lancio di una moneta rappresenta uno dei
due possibili esiti con p = 1/2, L'uscita di una certa faccia nel lancio di un
dado ha un caso favorevole sui sei possibili e quindi p = 1/6,
L'estrazione dell'asso di picche da un mazzo di carte da poker ha un
caso favorevole su 32, con p = 1/32, L'uscita del rosso alla roulette ha
18 su 37 probabilità di verificarsi (nei Casinò con un solo zero), e quindi
p = 18/37.
Probabilità di un evento
(definizione classica)
Dalla suddetta definizione deriva che la misura della probabilità di un
evento può variare
da un minimo di 0 (nessun caso favorevole) come ad esempio
l'uscita del 91 al Lotto (0 su 90)
ad un massimo di 1 (tutti i casi favorevoli), come ad esempio
pescare una pesciolino rosso da una vasca che contiene solo pesci
rossi (n su n).
Nel primo caso, che l'evento è impossibile
Nel secondo caso che l'evento è certo.
In tutti gli altri casi, gli eventi, che chiameremo aleatori hanno una
probabilità 0 < p < 1
La somma delle probabilità di tutti i possibili esiti di un evento
aleatorio deve ssere 1, poiché è certo che uno qualsiasi di essi dovrà
per forza verificarsi.
Probabilità di un evento
(definizione classica)
Dalla suddetta definizione deriva che la misura della probabilità di un
evento può variare
da un minimo di 0 (nessun caso favorevole) come ad esempio
l'uscita del 91 al Lotto (0 su 90)
ad un massimo di 1 (tutti i casi favorevoli), come ad esempio
pescare una pesciolino rosso da una vasca che contiene solo pesci
rossi (n su n).
Nel primo caso, che l'evento è impossibile
Nel secondo caso che l'evento è certo.
In tutti gli altri casi, gli eventi, che chiameremo aleatori hanno una
probabilità 0 < p < 1
La somma delle probabilità di tutti i possibili esiti di un evento
aleatorio deve ssere 1, poiché è certo che uno qualsiasi di essi dovrà
per forza verificarsi.
DEFINIZIONI
Alcune definizioni:
- Casuale, ciò che dipende dal caso, come la faccia di un dado, che in
latino si dice alea, da cui l'altro aggettivo aleatorio, con cui sono definiti i
fenomeni non deterministici (dei quali non si può predeterminare l'esito).
- Spazio campione, come insieme che contiene tutti i possibili modi in
cui può manifestarsi un certo fenomeno casuale.
- Evento aleatorio, cioè un sottoinsieme dello spazio campione, in cui
sono contenuti alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento
considerato.
- Esito è ciò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade.
L'esito dunque è certo e lo si conosce solo a posteriori.
- Probabilità di un evento aleatorio, come misura del grado di fiducia
che si può stabilire a priori circa il verificarsi o meno dell'evento.
ESERCIZIO
Esercizio 1.1 Si lancino
contemporaneamente due
monete. Qual è la probabilità
che esca testa su entrambe?
Occorre un po' di combinatoria ed un grafo
ad albero. Partendo dal vertice in alto e
percorrendo fino al termine i vari rami che
traggono origine da esso, troviamo i quattro
casi possibili, che costituiscono lo spazio
campione: {TT, TC, CT, CC}. L'evento TT è
uno dei quattro, quindi p=1/4.
ESERCIZIO
Esercizio 1.2 Un giocatore di poker ha
in mano quattro carte di cuori ed una di
picche. Decide di scartare quest'ultima,
pescando un'altra carta e tentare di
fare "colore". Quale probabilità ha?
Occorre togliere dallo spazio campione le 5 carte che
il giocatore ha in mano. Restano così 27 carte, fra le
quali ci sono 4 cuori (escludendo quelli già in mano).
La probabilità è dunque 4/27. Qualche alunno
potrebbe chiedersi se non debbano essere tolte
anche le 15 carte in mano agli altri 3 giocatori.
Occorre chiarire loro che, non sapendo quali carte
hanno in mano tali giocatori, dobbiamo considerare
possibili tutti i 27 casi, anche se il mazzo da cui il
banco prenderà la carta ne contiene solo 12.
ESERCIZIO
Esercizio 1.3 Due ragazzi fanno alla
conta, gettando la mano con alcune dita
distese e facendo la loro somma. Il primo
ha scelto "Pari". Qual è la probabilità che
si verifichi tal evento?
Si è portati a credere che pari e dispari siano eventi
ugualmente probabili ciascuno con probabilità 1/2.
Se si analizza invece la situazione con una tabella a
doppia entrata, si vede che l'evento "esce un numero
pari" (caselle gialle) è leggermente avvantaggiato, poiché
i casi favorevoli sono 13 su 25 contro i 12 su 25
dell'evento opposto (caselle verdi).
ESERCIZIO
Esercizio 1.4 Si lanciano due
dadi. Qual è la probabilità che
almeno uno di essi sia un 6?
Costruiamo lo spazio campione, utilizzando
una tabella a doppia entrata, con i 36 casi
possibili. Abbiamo utilizzato dadi di due colori
diversi per far vedere che l'uscita della coppia
{1,2} è un evento distinto da quello della
coppia {2,1} e così per le altre coppie. Si vede
che ci sono 11 casi (evidenziati in blu) in cui
esce il 6 su almeno uno dei dadi. La
probabilità dell'evento è quindi p=11/36.
E' probabile che qualche alunno abbia
risposto 2/6 o, semplificando, 1/3, pensando
che in un dado la probabilità è 1/6 e quindi
con due dadi tale probabilità si raddoppi. E'
un errore abbastanza comune.
Più avanti si vedrà come calcolare
razionalmente la probabilità del sei su ciascun
dado e come ottenere quella dei due dadi.
ESERCIZIO: probabilità di eventi
continui
Esercizio 1.5 Al Luna Park una ruota
di legno, suddivisa in settori colorati
di ampiezze diverse, gira
velocemente (rendendo indistinguibili
i vari colori, come in un disco di
Newton), mentre un giocatore spara
una freccetta con una carabina ad
aria compressa, colpendo a caso
uno dei settori. Che probabilità ci
sono di vincere la bambolina
abbinata al settore di colore nero, il
cui angolo misura 18 gradi?
Probabilità dell'evento opposto
Dato un evento A, definiamo ~A (non A) l'evento opposto o contrario o
negazione di A. L'evento ~A si verifica tutte le volte in cui non si verifica
l'evento A. In pratica, o si verifica l'evento A oppure si verifica l'evento ~A.
Ad esempio, se A è "Domani pioverà", allora ~A è "Domani non pioverà".
Attenzione a commettere qualche errore!!!
Ad esempio, se si chiede il contrario di "Vincere sempre", si può avere come
risposta "Non vincere mai.", mentre la riposta corretta è "perdere almeno una
volta". Il contrario di "Tutti mentono" non è "Nessuno mente", ma "Qualcuno
dice la verità".
In ogni caso, dato che certamente uno dei due si verificherà, se la probabilità di
A è p, allora la quella di ~A sarà:
p(~A) = 1- p.
Esercizi
Esercizio 1 In un nido di piccioni ci sono due uova. Trova la probabilità che nasca almeno un
maschio.
Tal evento è l'opposto di quello in cui si hanno due femmine. Quest'ultimo evento ha probabilità
1/4 (vedi l'esempio delle due monete nell'esercizio 1.1). Dunque la probabilità di avere almeno un
maschio sarà 1-1/4 = 3/4.
Esercizio 2 Lancia una coppia di dadi. Trova la probabilità che il 6 non compaia su nessuno dei
due dadi.
Anche quest'evento può considerarsi l'opposto di quello dell'esercizio 1.4 in cui abbiamo trovato
che la probabilità di avere almeno un sei era 11/36. L'evento opposto (non avere nessun sei) ha
dunque probabilità 1- 11/36 = 25/36.
Esercizio 3 Lancia una coppia di dadi. Trova la probabilità che le due facce presentino numeri
diversi tra loro.
Questo caso si può considerare come opposto dell'evento "Due facce uguali" che si presenta 6
volte sui 36 casi possibili (si osservi lo spazio campione descritto nella figura dell'esercizio 1.4),
con probabilità 1/6. L'evento opposto avrà dunque probabilità (1-1/6) = 5/6.
Esercizio 4 Antonio e Bruno decidono che il conto del Bar sarà pagato da colui che pesca la carta
più bassa. Per evitare la parità, decidono di usare solo le 13 carte di uno stesso seme. Antonio
pesca un 5. Che probabilità ha ora Bruno di non pagare il conto?
Le carte inferiori al 5 sono 4 delle 12 rimaste. Bruno ha 1/3 di probabilità di pagare il conto. La
probabilità di non pagare sarà: (1-1/3) = 2/3.
Eventi compatibili o incompatibili
Due eventi si dicono compatibili quando il verificarsi dell'uno
non esclude il verificarsi anche dell'altro.
Ad esempio l'evento "rosso" è compatibile con l'evento "pari" alla
roulette, poiché fra i numeri rossi ce ne sono di pari e di dispari e
quindi rosso e pari è un evento possibile.
Sono incompatibili invece gli eventi in cui il verificarsi di uno
dei due esclude il verificarsi dell'altro, come ad esempio nel
lancio di due dadi considerare l'evento "escono due facce uguali"
e l'evento "la somma è dispari".
Gli eventi incompatibili non vanno confusi con quelli opposti.
In questo caso deve verificarsi necessariamente l'uno o l'altro dei
due eventi, mentre per gli eventi incompatibili può darsi che non
si verifichi né l'uno né l'altro, come ad esempio "nero e dispari"
oppure "pari, con due facce diverse" nei due esempi precedenti.
Eventi compatibili o incompatibili
Se si esamina lo spazio campione, gli
eventi compatibili ed incompatibili
costituiscono rispettivamente due insiemi
congiunti e due disgiunti.
Se si tratta di due eventi incompatibili si
sommeranno le probabilità dei due eventi
(principio di addizione):
p(A  B) = p(A) + p(B)
(1)
Se si tratta di due eventi compatibili si
dovrà, togliere la probabilità dell'evento
composto "A  B" in cui si verificano
entrambi gli eventi (somma logica):
p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B)
(2)
Probabilità di A Λ B
A Λ B = EVENTO COMPOSTO, A e B si
devono verificare contemporaneamente
Si hanno i seguenti quattro eventi:
BB (bianca la prima e bianca la
seconda)con 9 casi (p=9/25)
BN (bianca la prima e nera la
seconda)con 6 casi (p=6/25)
NB (nera la prima e bianca la
seconda)con 6 casi (p=6/25)
NN (nera la prima e nera la
seconda)con 4 casi (p=4/25)
Immaginiamo di avere due scatole e di aver
messo in entrambe 5 palline, 3 bianche e 2
nere. Estraiamo ora una biglia a caso da
ciascuna scatola.
Lo spazio campione può essere rappresentato
da una tabella, le cui righe rappresentano la
biglia estratta nella prima scatola e le colonne
quella estratta nella seconda. Le probabilità di
estrarre una singola biglia bianca o una nera
sono rispettivamente 3/5 e 2/5 in entrambe le
urne Nella tabella sono indicate le 25 possibili
coppie di palline estratte.
Probabilità di A Λ B
Consideriamo le probabilità dei quattro eventi.
E' facile verificare che:
p(BB) = (3/5)×( 3/5) = 9/25;
p(BN) = (3/5)×( 2/5)= 6/25;
p(NB) = (2/5)×( 3/5) =6/25;
p(NN) = (2/5)×( 2/5) = 4/25
Come si vede, le probabilità delle varie coppie
di eventi, in tutti e quattro gli esempi, si
possono calcolare moltiplicando quelle dei
rispettivi singoli eventi. Si tratta di una
situazione particolare che si verifica solo se i
due eventi A e B sono fra loro indipendenti,
cioè se il verificarsi o meno del primo evento
non modifica in alcun modo la probabilità che
si verifichi o meno il secondo.
EVENTI INDIPENDENTI
Def.: quando due o più eventi sono tali che la probabilità che si
verifichino tutti insieme è data dal prodotto delle rispettive
probabilità, gli eventi si definiscono fra loro indipendenti. Da
questa definizione deriva la formula:
p(AΛB) = p(A)×p(B)
(3) eventi indipendenti
L'indipendenza dei due eventi, nell'esempio delle due urne
distinte, è del tutto evidente, poiché l'estrazione di una biglia,
bianca o nera che sia dalla prima urna, non influisce in alcun
modo sulla biglia che sarà estratta dalla seconda urna.
La situazione sarebbe del tutto analoga nel caso che, in mancanza
di due urne, si procedesse a fare due estrazioni successive dalla
stessa urna, rimettendo però nell'urna la biglia estratta la prima
volta e rimescolando con cura le biglie (estrazione con
reimbussolamento).
Eventi dipendenti ed indipendenti.
E' bene a questo punto precisare meglio il concetto di dipendenza
o indipendenza tra due eventi.
Immaginiamo due eventi:
A: "Il primo estratto sulla ruota di Genova è il 65."
B: "A L'Aquila la temperatura notturna è scesa sotto lo
zero."
E' del tutto evidente che la temperatura notturna a L'Aquila è
assolutamente indipendente dal numero estratto sulla ruota di
Genova e viceversa. I due eventi sono quindi indipendenti fra
loro.
Eventi dipendenti ed indipendenti.
Esempio. Gettiamo due dadi uno rosso ed uno bianco e
consideriamo i seguenti due eventi:
1. il dado rosso presenta la faccia 6 (p=1/6)
2. i due dadi presentano facce uguali (p= 6/36 = 1/6)
Nel lancio di due dadi, lo spazio campione è costituito da 36
coppie di dadi. Tuttavia il verificarsi dell'evento A, riduce lo
spazio campione ai soli sei casi in cui il dado rosso presenta la
faccia 6.
In tale situazione c'è un solo caso con due facce uguali: (6, 6);
quindi la probabilità di B, sapendo che A si è verificato, è 1/6.
Eventi dipendenti ed indipendenti.
Anche nel caso che non si sia verificato l'evento A la situazione
non cambia, poiché lo spazio campione si riduce a 30 casi e fra
essi 5 sono quelli con due facce uguali, quindi p(B)= 5/30 = 1/6.
Come si vede, sia che A si sia verificato, sia nel caso contrario, la
probabilità di B resta sempre 1/6.
E' altrettanto facile verificare che non viene modificata la
probabilità di A supponendo che si sia verificato oppure no
l'evento B. I due eventi sono quindi da considerare fra loro
indipendenti.
Probabilità dell'evento A noto che
sia l'evento B
Introduciamo un nuovo simbolo p(A|B), che si legge
"probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B", cioè la
probabilità che assume l'evento A, sapendo (o supponendo) che B
si sia verificato.
Probabilità dell'evento A noto che
sia l'evento B
Si tratta di calcolare il rapporto tra la
probabilità dell'intersezione A Λ B e la
probabilità dell'insieme A. Abbiamo
cioè
p(B|A) = p(AΛB)/p(A). (4)
Nel caso di eventi indipendenti si ha
p(B|A)=p(B).
Dalla figura a lato si evince anche che,
se si tratta di eventi incompatibili, allora
p(B|A)=0, poiché i due elementi hanno
intersezione vuota e quindi il
numeratore della (4) vale 0. Dalla (4) si
ricava che
p(AΛB) = p(A) × p(B|A). (5)
eventi dipendenti
Esempi
Esercizio: Prendi una moneta da 1 euro (la cifra è scritta da una sola parte) e un
dado. Lancia entrambi e calcola la probabilità di avere 1 sia sulla moneta che sul
dado.
Abbiamo i seguenti due eventi. Sulla moneta appare il valore 1 (p=1/2) Sul dado appare il
valore 1 (p=1/6)
I due singoli eventi sono indipendenti. Per la (3), la probabilità dell'evento composto (A U
B) è data dal prodotto delle due probabilità:
(1/2) × (1/6) = 1/12.
Esercizio: Si prendano due carte da un mazzo da poker. Calcola la probabilità di
avere una coppia di assi.
L'evento si compone dei due eventi singoli: la prima carta è un asso la seconda carta è asso.
I due eventi non sono indipendenti, poiché l'estrazione della prima carta modifica lo
spazio campione, in cui resta una carta in meno.
Abbiamo p(A)= 4/32 = 1/8 (ci sono 4 assi nelle 32 carte da poker) e p(B|A) = 3/31 (restano
solo 3 assi nelle 31 carte rimaste).
Quindi, siccome: p(AUB) = p(A) × p(B|A), si ha p(AUB) = (1/8) × ( 3/31) = 3/248.
Probabilità dell'evento A noto che
sia l'evento B
Esercizio 2.10 In un consiglio comunale alla
lista di maggioranza è andato il 60% dei seggi
e a quella di opposizione il restante 40%. I
consiglieri di maggioranza sono per il 60%
uomini e per il 40% donne. I consiglieri di
opposizione, invece, sono per il 70% uomini e
per il 30% donne. Vedendo entrare in consiglio
una donna, qual è la probabilità che
appartenga al partito di maggioranza?
Probabilità dell'evento A noto che
sia l'evento B
Nella situazione appena descritta possiamo definire i
seguenti due eventi:
A: "E' un consigliere donna"
B: "E' un consigliere della maggioranza"
La probabilità che si chiede di calcolare è quindi quella
dell'evento (B|A), cioè quella che il consigliere "sia della
maggioranza sapendo che è donna".
La situazione può essere analizzata con una tabella
suddivisa in quattro aree. La riga orizzontale suddivide lo
spazio campione in due zone: quella superiore azzurra
che rappresenta i consiglieri di maggioranza (60%) e
quella inferiore verde, che rappresenta l'opposizione
(40%). I consiglieri di maggioranza sono a loro volta
suddivisi in una zona azzurro scuro che indica i maschi
(60%) e una azzurro chiaro che indica le donne (40%).
Analogamente i consiglieri maschi di opposizione sono
indicati con una zona verde scuro (70%) e con una zona
verde chiaro le donne (30%).
Probabilità dell'evento A noto che
sia l'evento B
Abbiamo già visto che nella probabilità condizionata
occorre operare un restringimento dello spazio campione.
Nel nostro caso si tratta quindi di restringiere lo spazio
campione alle due parti più chiare, corrispondenti
all'evento A (consigliere donna). La probabilità cercata
sarà data dal rapporto tra l'area azzurro-chiaro (donne di
maggioranza) e l'intera area chiara (donne di maggioranza
più donne di opposizione).
La zona azzurro chiaro F rappresenta il 40% del 60% del
campione: (40/100).(60/100) = 24/100.
La zona verde chiaro F' rappresenta il 30% del 40% del
campione: (30/100).(40/100)= 12/100.
Le donne nel consiglio comunale sono quindi pari alla
somma F + F' = 24/100 + 12/100 = 36/100.
La probabilità cercata è quindi data dal rapporto tra le
donne della maggioranza F e il totale delle donne (F + F'):
p(B|A) = (24/100)/(36/100) = 24/36 = 2/3
RICAPITOLAZIONE
1. Probabilità di un evento: p = m (Casi favorevoli)
n (tutti i casi possibili)
2. p(~A) = 1- p
3. Eventi compatibili o incompatibili:
- compatibili: il verificarsi dell'uno non esclude il
verificarsi anche dell'altro
- incompatibili: il verificarsi di uno dei due esclude il
verificarsi dell'altro
4. Esito positivo per almeno uno dei due eventi
Eventi incompatibili: p(A  B) = p(A) + p(B)
Eventi compatibili: p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B)
5. Eventi fra loro indipendenti: il verificarsi di uno non condiziona la
probabilità dell’altro
Eventi indipendenti: p(A Λ B) = p(A) p(B)
Eventi dipendenti: p(AΛB) = p(A) × p(B|A)
6. p(A|B), "probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B"
p(B|A) = p(AΛB)/p(A) eventi dipendenti
p(B|A)=p(B) se indipendenti
p(B|A)=0 se incompatibili
Lotto e Super Enalotto
Lotto e Super Enalotto. Vediamo come usare le formule precedenti, per vedere
quanto guadagna lo Stato organizzando le lotterie nazionali del Lotto e del Super
Enalotto.
Esercizio 4.4 Supponiamo di scommettere 1 euro e vediamo quanto dovrei vincere in
un gioco equo e quanto si vince, invece, secondo le regole vigenti.
Dobbiamo prima calcolare le probabilità dei vari tipi di gioco:
Estratto semplice: ho 5 probabilità su 90 di indovinare il numero giocato, cioè 1/18
Ambo: Per fare ambo devo indovinare il primo numero (p=1/18) e poi anche il
secondo, la cui probabilità è 4 su 89.
Per la (5) si ha p(N1) ∙ p(N2|N1) = (1/18) ∙ (4/89) = 20/8100 = 1/400,5
Terno: devo indovinare anche il 3° numero, che ha probabilità 3/88. La probabilità è
(1/400,5) ∙ (3/88) = 1/11748
Quaterna: fatto terno, facciamo quaterna. Il 4° numero ha probabilità 2/87. Abbiamo
p = (1/11748) ∙(2/78) =1/511038.
Cinquina. Il 5° numero ha probabilità 1/86. Dunque (1/511038) ∙ (1/86) =
1/43.949.268.
Lotto e Super Enalotto
Ecco la tabella con i raffronti:
Lotto e Super Enalotto
Esercizio Vediamo quanto si dovrebbe vincere e quanto si vince al Super
Enalotto, il gioco che appassiona gli italiani, con il miraggio di vincite
supermilionarie.
La probabilità di fare sei giocando 6 numeri è (probabilità condizionata) (6/90) ∙
(5/89) ∙ (4/88) ∙ (3/87) ∙ (2/86) ∙ (1/85) =1/622.614.630. Si dovrebbero vincere più di
622 milioni di euro (oltre 1.200 miliardi di vecchie lire) per ogni euro puntato.
Ecco perché qualcuno ha definito le lotterie "la tassa sugli sciocchi".
Calcoliamo la stessa cosa con il calcolo combinatorio:
Si tratta di una combinazione semplice, in quanto l’ordine non cambia la sestina (non
n!
è quindi una disposizione)
ed è senza ripetizioni.
(n  k )! k!
Dunque Dn,k=
ovvero 90*89*88*87*85/6!