Il teorema di Pitagora
nel suo sviluppo storico
Veronica Gavagna
Università di Salerno
In letteratura…
Posso affermare, senza tema di smentita, che la
legge di Pitagora esprime una verità eterna.
Ancor prima che il sole splendesse nel
firmamento, ancor prima che ci fosse aria da
respirare, il quadrato dell’ipotenusa era uguale
alla somma dei quadrati degli altri due lati.
Malba Tahan, Una perla pericolosa, in L’uomo che
sapeva contare. Una raccolta di avventure matematiche,
Salani, 1996.
In letteratura…
Esaminando i libri di geometria, si chiese se
davvero valeva la pena saper leggere; di quei
testi conservò una lunga frase che tirava fuori
nei momenti di malumore: “In un triangolo
rettangolo l’ipotenusa è il lato opposto all’angolo
retto”. Frase che in seguito avrebbe causato
stupore tra gli abitanti di El Idilio, che la
accoglievano come uno scioglilingua assurdo o
un’abiura inoppugnabile.
L.Sepulveda, Il vecchio che leggeva romanzi d’amore,
Guanda 1993.
Se il mondo rinuncia all’arte di ricordare
… Che cosa vale la pena di tenere a mente, di
mettere nel proprio teatro della memoria? Quel
che ci mettevamo fino a poco tempo fa? Per
esempio le tabelline, il teorema di Pitagora, il
Cinque Maggio, i Dieci Comandamenti, la data
di Waterloo, le declinazioni latine, i numeri
telefonici…
Marino Niola
(La Repubblica 7 marzo 2011)
Il caso Scafroglia…
Lo sapevate?? Il quadrato costruito
sull’ipotenusa è il doppio di quello sui
cateti… ma la qualità è scadente e dopo un
anno lo butti! È così! È capitato a mia
sorella! Fidatevi!
Corrado Guzzanti, Il caso Scafroglia 2002
Fra i matematici…
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
92 dimostrazioni del Teorema di Pitagora
Elisha Scott Loomis,
The Pythagorean proposition (ristampa, 1968)
397 dimostrazioni
Molte etichette
Ponte degli asini (in Francia)
Dulcarnon (“proprietario di due corna”)
Teorema del mulino a vento
Teorema della giovane sposa
Teorema della sedia della sposa
Teorema dell’ipotenusa
Il teorema di Pitagora
è di Pitagora ?
Pitagora
(Samo 575 a.C.–
Metaponto 495 a.C)
Acusmatici: discepoli che ascoltavano le lezioni del
maestro, venendo così a conoscenza dei soli precetti
pratici della dottrina
Matematici: discepoli iniziati alle dottrine segrete
Il teorema di Pitagora
è di Pitagora ?
• Non esiste alcuna testimonianza anteriore al I
sec. a.C. di un’attività scientifica (e matematica
in particolare) di Pitagora
• Unica eccezione parrebbe il distico di
Apollodoro
Come quando Pitagora scoprì la famosa figura
Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi
Come quando Pitagora scoprì la famosa figura
Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi
Plutarco (I-II sec.)
Diogene Laerzio (II-III sec.)
identificano Apollodoro con Apollodoro il
Calcolatore (IV sec. a.C.) ma è arbitrario
Vitruvio (I sec. a.C.) cita il sacrificio a
proposito della terna 3,4,5
Proclo Diadoco (V sec.)
In primum Euclidis Elementorum libri commentarii
Se si crede a coloro che vogliono indagare gli
avvenimenti antichi, si potrà anche trovare
qualcuno che attribuisce il teorema a Pitagora e
che assicura che egli abbia sacrificato un bue
dopo la scoperta. Quanto a me, seppure sia
meravigliato di coloro che per primi hanno
riconosciuto la verità del teorema, ammiro
ancora di più l’autore degli Elementi non
solamente per la dimostrazione che ha provato
definitivamente il teorema, ma anche per la
generalizzazione che ne ha dato nel libro VI…
Il teorema di Pitagora
è di Pitagora ?
• Proclo è scettico sull’attribuzione a
Pitagora del teorema
• Attribuisce esplicitamente la
dimostrazione a Euclide
Le fonti sembrano attestare a Pitagora
o ai pitagorici una qualche scoperta
matematica, ma non sono concordi
su quale potesse essere.
Il teorema di Pitagora
è di Pitagora ?
• Il teorema di Pitagora quasi
certamente NON è di Pitagora
• L’attribuzione a Pitagora tuttavia si
consolida e si conserva anche nelle
edizioni rinascimentali degli Elementi
Federico Commandino
De gli Elementi d’Euclide libri quindidici (1575)
Questo theorema è attribuito à Pythagora, &
dicono che quando egli l’hebbe trovato
sacrificò un bue. Ma quello che scrive
Euclide nel sesto è molto piu universale,
perche dimostra che ne triangoli rettangoli
la figura che si fa dal lato sottoposto
all’angolo retto è uguale alle figure fatte
da i lati, che l’angolo retto contengono,
simili & similmente descritte.
Cristoforo Clavio S.J.
Recensio degli Elementi (1574)
Possiamo congetturare
un’attribuzione?
Prima di tutto dobbiamo distinguere fra
teorema e regola
Civiltà babilonese
1. Tavoletta Yale 7289
2. Tavoletta Plimpton 322
3. Tavoletta di Susa
4. Tavoletta Tell Dhibayi
Tavoletta YBC 7289
1900 a.C. – 1600 a.C.
Tavoletta YBC 7289
1900 a.C. – 1600 a.C.
Sul lato del quadrato (in
forma decimale)
30
Sulla diagonale
1,414213 (~ √2)
42,42639 =
30 * 1,414213
Tavoletta Plimpton 322
Columbia University
Tavoletta di Susa
Determinare il raggio di un cerchio
circoscritto a un triangolo isoscele di lato e
base noti
Tavoletta di Tell Dhibayi
Determinare l’area di un rettangolo di cui
sono noti l’area e la diagonale
Tavoletta BM 85 196
~ 1700 a.C.
Una trave lunga 0;30 GAR è appoggiata a un
muro.
La sua altezza da terra è 0;60 GAR più bassa
di quanto sarebbe se fosse appoggiata
verticalmente al muro.
Quanto dista la base della trave dal muro?
Sulbasutra
1500 a.c - 200 a.C.
I Sulbasutra raccolgono varie regole di
misurazione
Baudhayana Sulbasutra
(800 a.C.)
La fune che è stesa lungo la diagonale di un
quadrato produce un’area doppia del
quadrato originale
Matematica cinese
Chou Pei Suan Ching
(Il libro dello gnomone e
delle orbite circolari)
Teorema Kou ku (Gou Gu)
Il problema del bambù spezzato
Chiu Chang Shuan Shu
(I nove capitoli di arte
matematica) 206 a.C. -220
d.C. – 246 problemi
Un bambù alto 32 cubiti si è
spezzato a causa del
vento. La sua estremità
superiore tocca il terreno
ad una distanza di 16
cubiti dalla base del fusto.
Dimmi, o matematico, a
quale altezza si trova la
frattura?
Pier Maria Calandri
Aritmetica (1491)
Pier Maria Calandri
Aritmetica (1491)
Pier Maria Calandri
Aritmetica
La dimostrazione del teorema
Il caso del triangolo
rettangolo isoscele
si “vede”
immediatamente
Il Menone di Platone
• Socrate. Coloro che se
intendono chiamano
questa linea diagonale
sicché, se essa ha nome
diagonale, allora dalla
diagonale, come tu dici,
o ragazzo di Menone, si
può ottenere l’area
doppia.
• Ragazzo – Certamente, o
Socrate
Una dimostrazione visuale
generale?
Il quadrato azzurro
a destra è veramente
un quadrato?
Mondrian, Composizione con rosso,
blu e giallo (1930)
I rischi delle dimostrazioni visuali
La dimostrazione di Euclide
Elementi, I.47
La dimostrazione del teorema sembra un
po’ artificiale: esistono dimostrazioni più
semplici ma non usano risultati così
elementari.
Perché il “teorema di Pitagora” viene
collocato alla fine del primo libro degli
Elementi?
La quadratura
delle figure rettilinee
Nei primi due libri degli Elementi, Euclide
affronta il problema della quadratura delle
figure rettilinee. L’ultima proposizione del
libro II recita
II.14 Costruire un quadrato uguale a una
figura rettilinea data
Il teorema di Pitagora (I.47) è uno dei
pilastri su cui poggia II.14
Il problema della quadratura
delle figure rettilinee
Possibili strategie
Byrne’s edition (1847)
http://www.math.ubc.ca/~
cass/Euclid/byrne.html
Byrne’s edition
Generalizzazioni
Proposizione II.12 degli Elementi
In un triangolo
ottusangolo, il
quadrato costruito sul
lato opposto
all’angolo ottuso è
maggiore dei due
quadrati costruiti sui
lati che contengono il
quadrato
Generalizzazioni
Proposizione II.13 degli Elementi
Generalizzazioni
Proposizione VI.31 degli Elementi
Le lunule
di Ippocrate di Chio (IV sec. a.C.)
La proposizione VI.31
(th. di Pitagora esteso)
vale anche se
costruiamo dei
semicerchi sui lati
Le lunule
di Ippocrate di Chio (IV sec. a.C.)
Rosso = giallo + Giallo
Rosso = triangolo +
segmento + Segmento
Triangolo = lunula +
Lunula
Generalizzazioni
Il Teorema di Pappo (Collezioni matematiche, IV libro)
Riferimenti bibliografici
A. Cerasoli, Mr. Quadrato, Sperling & Kupfer 2006
B.Vitrac, Sur Pythagore et le “théorème de Pythagore”, in
Euclide, Les Éléments, PUF, vol.1 1990, pp.310-321
Pitagora e il suo teorema, a cura di E.Giusti, Firenze,
Polistampa 2001
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858%20