  c 1
m
mc
2
mc
massa

momento
energia
Unità di misura naturali
GeV
esempio
me  me c  me c 2 
me 
  6.6 1025 GeV . sec
1GeV 
Utile per passare
dalla “larghezza”
di una particella o
risnanza alla vita
media
1
MeV
2
1
1
 1011 cm 1
h / me c 4
1
1
21
1
me 


10
sec
h / me c 2 1.3
me  9,110 31 kg
Fattori di
conversione
1
1
sec
6.6 10  25
c  3 1010 cm / sec
1sec  3 1010 cm
10 13 cm  1 fermi  5GeV 1
1mb  10  27 cm 2  2.56GeV  2
1GeV  2  0.39 10  28 cm 2
Utile per
esprimere le
sezioni
d’urto in cm
Notazioni relativistiche
esempi
quadrivettore


a  a ;a ,a ,a

0
1
2
3
a  a ; a1 , a2 , a3
0


Prodotto scalare
Gradiente
x  t; x, y, z 


x  t; x 


a  a 0 ;a1 ,a 2 ,a3
Tensore metrico

g 

p  E ; p 


a b  a b  a b  a b  a b
0 0
1 1
2 2





 
  ; , ,    0 ;
x  t x y z 

1



 1




1 




 1





2 2
2
2
    2  2  2  2   02   2     
t x y z

3 3
 

a  g  a
 
a b  a b  a  b

0 0

  0 ;  

x
o


a
 a 
a
t
ELETTROMAGNETISMO e NOTAZIONI RELATIVISTICHE

E  

 E 
 B 
 j
t

 B  0

 B
 E 
0
t
carica e
corrente di n
una
particella
particelle
puntiforme
puntiformi
le equazioni
di Maxwell


B   A
 n   

 t,xt , xi eieixx xi xt it 
i 1.
 

 
n
.
 j t, xi   ei x t  x  xi t 
j t , x    ei x t  x  xi t 


A
E  V 
t
i 1
  


0
A  V; A  A ; A




0
J   ; j   j ; j



Lagrangiane classiche
Lagrangiana della meccanica classica:
energia cinetica – energia potenziale
Un esempio:
Lagrangiana
dell’elettromagnetismo
Lagr
Lagr  T  V


1 2
2
 E  B  V  J  A
2


 
E , B campi elettrico e magnetico classici

J ,  densità di corrente e densità di carica

V , A potenziali scalare e vettoriale
Intensità dei campi in
funzione dei potenziali


A
E  V 
t


B   A
Lagrangian density dell’elettromagnetismo,formalismo relativistico
Quadrivettori
  
 


0
A  V, A  A ; A


J  ; J


E i   i A0   0 Ai
i  1,2,3  0


A
E  V 
t
F 0i   0 Ai   i A0   E i
Tensore antisimmetrico
F


F ij   i A j   j Ai   ijk B k


  A  A
Lagr

simbolo di Levi
Civita,
adimensionale
 123   231  1
 213   132  1
 223   112  0
1


  F F  J  A
4
ANTISYMMETRIC TENSOR
F 0i   F i 0   E i
F ij   ijk B k

E  
F 
Ex E y Ez



x
y
z
 0  E1  E 2  E 3 




 E1 0  B 3 B 2 


 2
3
1 
E
B
0

B




 E 3  B 2 B1 0 



E1 E 2 E 3


 j0
x1 x2 x3
 F
1E1   2 E 2   3 E 3  j 0
 j  0
1F 10   2 F 20   3 F 30  j 0

 j
 F 0  j0
The two non homogeneos Maxwell equations, which are driven by the current and charge
densities take a simple form.
The current conservation is contained in this formula and is a direct consequence of the
antisymmetry of F and of the commutativity of  and .
Il ruolo delle Lagrangiane, nella fisica delle particelle
La energia potenziale nella Lagrangiana definisce la teoria.
Essa infatti specifica le forze in gioco. (Interaction
Lagrangian)
il fotone è il quanto del campo ed è rappresentato dal
potenziale vettore
L’elettrone è rappresentato da l campo fermionico
Elettrodinamica quantistica:
La Lagrangiana contiene la interazione
fondamentale:
A

 
 V  J  A  J  A
Lagrangiana di un campo scalare reale (massa m, spin 0)
Si puo’
dimostrare
che la :
Lagr

1
     m 2 2
2
Si può anche dimostrare che 
soddisfa l’eq. delle onde



p  i
2
2
2
E  p m
2

E 2  p 2  02  2     
Ogni campo che descrive
una particella di massa m
deve soddisfare questa
relazione
E’ un campo libero, quindi
è la sua Lagrangiana
   m   0
1930 Klein e Gordon (KG) hanno ottenuto questa
equazione sostituendo gli operatori nell’equazione
E  i 0
 x 
senza

    m 
energia potenziale, o termine di interazione
2
Esempio: costruiamo un campo scalare normalizzato
ad un singolo

quanto di energia definita
e momento k

 
  A cos k  r  t


 2  k 2  m2 ,
A  fattore
normalizza zione

Sostituendo
nell’equazione
dell’energia
Lagr

H al     Lagr ;

H al 
E   d 3 xH ;
al
si
ha inoltre
Per un
singolo
quanto con
energia 
Lagr 



A
2


1 2
   2  m 2 2
2


1
2
E   d 3 x  2     m 2 2
2


1 2 2
E A
2


1

ei k .r t   e i k .r t 
2

In una teoria quantistica dobbiamo parlare di creazione e distruzione di particelle:

n
nk
Stato con
particelle, tutte
con energia
e momento
allo stesso
isrante

Operatori
creazione
edistruzione
crea i quanti
associati
al campo
a
a
nk  e int ;
k
t

 scritto in
questo modo
facilita le cose
campo


1

ei k .r t   e i k .r t 
2
nk  1  e
i  n 1t




1

aei k .r t   ae i k .r t 
2
Passando da campo ad
operatore
Da ricordare:
li distrugge
coefficiente
operatore
distruzione
OGNI CAMPO QUANTISTICO PUO
CREARE O DISTRUGGERE
PARTICELLE. QUANDO LO FA,C’E’
UN FATTORE ASSOCIATO CHE E’
LA FUNZIONE D’ONDA della
PARTICELLA
ATTENZIONE



Questo è stato un approcio “euristico” al problema della
quantizzazione di un campo scalare 
Abbiamo solo visto che  deve avere una certa forma e può
essere interpretato in termini di creazione e distruzione di
particelle con spin = 0, (scalare) con fattori che sono la
funzione d’onda
In una trattazione completa avremmo dovuto procedere
alla quantizzazione del campo sclare, così come si fa con il
campo elettromagnetico (vettoriale), che porta
all’interpretazione del fotone come il quanto del campo
elettromagnetico, che coincide con A.
Sorgenti e correnti in una teoria quantistica non relativistica: un esercizio
Equazione di
Schroedinger
2mi

 2  0
t
Moltiplichiamo questa equazione per



i *  2mi
 2   0
t


Moltiplichiamo la complessa coniugata di
questa equazione per i e sommiamo.
Si ottiene

Densitá di
probabilitá
2

i
J 
 *   *
2m

Particella
libera


 J  0
t

Densitá di
corrente
 
  C exp ip  r  it 
 2 *
* 
  0
 i    2mi

t



 *
i



 * 2    2  *  0
t
t
2m
*
Definiamo adesso

i *
C
2


p
J
m

Un sistema di due
campi scalari reali ,
stessa massa m 
1
Lagr
2



 
1
1

2 2
  1 1  m 1   2  2  m 222
2
2
Costruiamo un
  1  i2 / 2
campo complesso
stessa massa m  *  1  i2 / 2


niente ha
prefissato la
direzione di 1 2
Lagr
Campi
equivalenti
Possiamo formare un
campo complesso
 '  1 cos   2 sin   i11 sin   i2 cos   / 2
 '  e i1  ie i2 / 2
 '  e i ;  *  ei *
'
La lagrangiana
non cambia:
essa è
proporzionale a

Invarianza per rotazione
*

1
   *   m 2 *
2


1'  1 cos   2 sin 
2'  1 sin   2 cos
 '   '1 i2 ' /
 '*   '1 i2 ' /
2
2
 è una costante reale
trasfornmazione
di “gauge” di
prima specie
Che implicazioni ha questo esempio?
Consideriamo una
rotazione 
infinitesima, per
semplificare i conti
 '  1  i     i    
COME VARIA LA LAGRANGIANA
Lagr 
  i

*  i*

1
  *   m 2 *?
2
Dimostreremo che la variazione della Lagrangiana è =0, il che implica che la
ESISTE una CORRENTE che SI CONSERVA
•:
Lagr
per ogni variazione
,  *
riscriviamo il
secondo termine
  
 
  


  x
Lagr
Lagr
 Lagr

   *
   
 

 x 
 


 Lagr 
  Lagr 

  
  




 
   
   
    


 
 
Qui il secondo termine serve solo a cancellare quella
parte del primo termine dove  opera sulla derivata
della Lagrangiana
Lagr
Lagr
Lagr 
 Lagr
 Lagr 
*

*
 

 
       


 * 










 




 

 


Lagr
Lagr 
 Lagr
 Lagr 
*

*
Lagr  

 
       


 * 










 



le variazioni rispetto  e  , * e * sono tutte indipendenti.

 
Lagr
 m 2 *

Lagr
 


 
 
Lagr
   *


1
   *   m 2 *
2
 Lagr 
         *
   

Lagr
 
 Lagr 
      m 2 *      *  0

   
Lagr

     m2  0
 
Lagr 
 Lagr
*
  
 

 * 
  
  

 


Considerazioni sulla variazione della lagrangiana





la variazione della lagrangiana può essre scritta
come la derivata della quantità tra parentesi graffe
la variazione della lagrangiana deve essere nulla
la quantità tra parentesi graffe deve essere nulla
questa quantità può essere interpretata come la
divergenza di una corrente
quindi, una corrente che si conserva
Lagr
Lagr 
 Lagr
*
  
 

 * 
  
  

 


Lagr
Lagr 
 Lagr
*
  
 

 * 
  
  

 
Lagr    S 



indipendente dai parametri
della trasformazione 
S   i      
*
*


Lagr  0   S   0
Questo è un risultato generale che non dipende dai dettagli della
particolare trasformazione che abbiamo usato
La variazione della Lagrangiana può essere scritta come la derivata della
quantità tra parentesi.
Sappiamo che la variazione deve essere 0.
Quindi la quantità tra parentesi si comporta come una corrente
conservata, cioe la sua quadridivergenza è 0.
conservazione locale di carica
Se scambiamo  * , S cambia segno. Una teoria relativistica ha particelle
con la stessa massa ma carica opposta: le antiparticelle.
Se  rappresenta una particella di carica e , * rappresenta
l’antiparticella di carica –e, allora S è interpretato come una densità di
corrente di carica.
L’equazione  S = 0 dice che il cambiamento della densità di carica
S0(x) in una regione è uguale al flusso di corrente S (x) fuori dalla ragione.
Quindi la carica si conserva localmente , e può essere usata per
“ etichettare gli stati”
Niente di quello che abbiamo fatto ci dice che la carica deve essere
necessariamente una carica elettrica. Vedremo le particelle hanno molte
“cariche”, alcune delle quali possono essere messe in relazione a
conservazione di corrente
dQ
0
dt
trasformazioni di gauge
Trasformazione di gauge di “prima
specie” o trasformazione di gauge
globale
Se il parametro  che descrive la
trasformazione dipendesse dallo
spazio x,y,z o dal tempo t , allora
la trasformazione di gauge
sarebbe di “seconda specie” o
locale
Trasformazione di gauge è un nome
storico.
Sarebbe molto più comprensible
usare le espressioni trasformazioni
locali o globali di fase ed
invarianza di fase.
 i
 e 
'
i
 e 
*'
*

const.
Il teorema di Noether
Lagr
 Lagr
* 
  
   

  



 

L
agr
L’equazione è molto generale.
E’ un esempio di una proprietà basilare delle teorie quantistiche di campo:
e cioè che se un sistema è invariante per una certa trasformazione questo porta
necessariamente alla conservazione di qualche quantità fisica.
teorema di Noether
In un sistema descritto da una Lagrangiana, una qualsiasi trasformazione
continua che lasci invariata l’azione, porta necessariamente ad una corrente
conservata S, con  S = 0 .
E’ sempre possibile definire una carica che si conserva
Qt    d 3 xS0 x 
dQt 
0
dt
dt
invarianze e conservazione
invarianza per rotazione
conservazione momento angolare
invarianza per traslazione
conservazione momento (quantità di moto)
invarianza per traslazione temporale
conservazione energia
I mesoni K
I K neutri sono un esempio pratico del sistema descritto

1
K L   f  f K 0   f  f K 0
2
1

KL 
K1  K 2 
1  2

K1 e K2 sono come 1 e 2
K0
e anti K0
sono come  e *
La “carica” è la stranezza
Per i K, la conservazione della “carica”, cioè
della stranezza, è “rotta” da una doppia
interazione debole che trasforma K0 in anti-K0
e introduce una piccola degenerazione di livello:
la differenza di massa tra K1 e K2
K0  K 0
Anomalie e MODELLO STANDARD
L’analisi presentata è di tipo classico.
Una simile analisi potrebbe essere fatta in teoria
quantistica, generalmente con gli stessi risultati.
Correzioni quantistiche radiative di ordine più
elevato possono dare risultati diversi da 0 nella
 S, anche quando il risultato classico darebbe 0.
Questi termini sono chiamati anomalie.
Richiedere che le equazioni non contengano anomalie
è una guida importante nel determinare la struttura
della teoria, in particolare perché qualche volta le
anomalie scompaiono se il modello ha certe
simmetrie.
Questo è quello che succede con il MODELLO
STANDARD
Il campo mesonico di Youkawa: predizione del “mesone” 
(1935)
Introduciamo
la Lagrangiana di
interazione viene
aggiunta alla
lagrangiana del
campo libero
Lagrint
Lagr
sorgente e interazione di un campo 

 x, t 

Analogia con e.m.:
 sorgente di 

1
     m 2 2  
2
L’equazione delle onde diventa

   m   
2
che consegue
dall’ eq. di Euler
Lagrange
Lagr

 
Lagr
   
Esempio semplice: una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo

   m   

2


   m   g x 
2
2

  g x 
 é indipendente
dal tempo
Risolveremo il problema con il
metodo della trasformazione di
Fourier.
Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone”  .(2)
2
2



   m   g x 
Trasformata di Fourier

 x  
3/ 2
3
d
 ke



Sostituendo  k
~
si ottiene:
~


k
~
Si ricava
tenendo conto che
3/ 2

g 2 
 k  2
k  m2
~

 x  
g
2 3
 


ik  x
e
 d k k 2  m2
3



k 

k
 ~
ik  x
1
2 
Trasformata inversa

1
d

2 
3
3/ 2

i
k
 x
xe

 x 
2
  k
2

~ 
2
2
k m  k 
~
g
2 3 / 2


ottenendo infine  k

Osservazione : se avessimo una sorgente dipendente dal tempo, il denominatore sarebbe:
2
 k  k  m2  m2  k 2 ,
2
0
e apparirebbe come un propagatore, se una particella è scambiata in una interazione
k 2  k k 

 x  
g
2 3

ik  x
e
 d k k 2  m2
3

Il campo mesonico di Youkawa

Yukawa :  è un campo mesonico
che ha il nucleone come
sorgente.
Valutiamo l’integrale.
Poniamo:


o
 
k  x  kr cos
Gli effetti del campo sono
trasmessi da particelle
(“mesoni”).
2
1
k 2 dk
ikr cos


d

d
cos

e

2
2 


1
k m 0
2

r





o
ir 

o



ir o

k 2 dk
sin kr 
2
2
k m


k 2 dk ikr ikr
e e

2
2
k m
r  1/ m
come si vede da questa equazione
k 2 dk ikr  k 2 dk ikr 
e 
e 
2
2
2
2
0
k m
k m

k 2 dk ikr
  2
e
2


ir
k m

Se le particelle hanno massa m,
il campo ha un raggio d’azione
Questo integrale può essere
calcolato, ottenendo
g e  mr

4 r
Youkawa interpretava  come il campo mesonico del nucleone. Il nucleone aveva
una carica forte; il mesone  , massa m ,trasmetteva il campo. Il raggio d’azione
della forza forte è r~1/m
L’interazione di Youkawa
Un nucleone interagisce con un altro nucleone “sentendo” il suo campo mesonico
Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da


H    d x x  2 x 

 2 x 
g e  mr

4 r
3
Utilizziamo l’espressione
 
m xx '

 e
1
3

 x  
d
x
'

x
'  
1

4
x  x'


1 x'  g x'
 
m xx '

 e
1
3
3
H12  
d xd x' 1 x  2 x '  

4
x  x'
possiamo scrivere iI potenziale
L’haniltoniana di interazione
1 e  mr
V (r )  
4 r
Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli
elementi di matrice sono dati nello spazio dei momenti.
Notare il ruolo della massa. Se la
massa =0, questo diventa il
potenziale elettrostatico

 x  
g
2 3
In generale la quantità che rappresenta la particella
scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il
propagatore:


ik  x
e
3

d
k
 k 2  m2


1
k 2  m2
Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le
interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .
CONCLUDENDO
Per nuclear forces con range ~10-13cm, l’ ipotesi di
Youkawa predice un quanto spinless con una
massa ~ 100MeV
      
   e   e  

mass GeV
0,135
- 0,140

0,105
mean-life s
8,4.10-17
2,6.10-8
2,2.10-6
0


c 6,6 10 25 GeV . sec . 3 1010 cm
m


13
nell’atmosfera da collisioni
nucleari
di
r
10 cm
Due parole sui raggi cosmici
I pioni sono generati
protoni cosmici. La vita media del pione è abbastanza breve
da far decadere il pione in volo, nella stratosfera.
Il pione
 0,2GeV
Il 2
decadimento
 è un
a di
neutro decade in
gamma e dádel
origine
adprocesso
una cascata
due(La
corpi.
Il  ha la stessa
energia
coppie di elettroni.
componente
“soft”dei
raggi cosmici).
cinetica
(4,1 MeV),
e quindi
~lo stesso
Il mu vive 2200ns
puó arrivare
sulla
superficie
della terra.
(la componente”“range”
hard”).(600 m) nella emulsione.
Le emulsioni nucleari consistono

Il decadimento del  è un
processo
a
essenzialmente in piccoli microcristalli di
tre corpi, ed infatti lélettrone
ha d’argento,
uno
bromide
sospesi in gelatina
spettro di energia continuo.
specialmente sensibilizzata (emulsione).
Una particella carica ionizzante lascia
una immagine latente nei cristalli che
attraversa. Le lastre di emulsione
Cosmic rays and
vengono sviluppate e le tracce
nuclear emulsion
appaiono come una sequenza di granini
d’argento anneriti.
 ,
0
L’ esperimento di Pancini Piccioni Conversi
L’interazione di Yukawa l’eqauazione di KleinGordon e il propagatore sono trattati
anche dal Perkins, paragrafi 2.2 e 2.3
Sommario delle Lagrangiane
Vector field, mass=0
(elettromagnetismo)
1
   F F   J  A 
4
Real Scalar or Pseudoscalar field
Campo reale di massa m e spin=0

1
      m 2 2
2
fotone

pione 

     m2  0
Complex scalar or
pseudoscalar field of mass m
K1
K0


 
1
1
 1 1  m 212    2   2  m 2 22
2
2


1
  *    m 2 *
2
  1  i 2 / 2
 *  1  i 2 / 2     m 2  0

anti-K0
    *  m 2 *  0

K2

Le regole di Feynman
Interazione elettromagnetica
Abbiamo inserito una corrente:
Q
 J
=
Lagr int   J  A
Q  
 Q  A
è la carica elettrica

Il fattore
è tale per cui il termine
quadrivettore.
  
è un
 ,k
Un elettrone di quadrimomento p emette un
fotone e rincula con un quadrimomento p
e , p
Q  e

e , p'
  u  p 'e ip'.x
A



  u  p e ip. x
A    e 

ik . x
Lagr int  V
  Lagrint
REGOLE DI FEYNMAN

Scrivere il fattore appropriato per ogni
veritice
 Mettere il propagatore di ogni linea interna
di massa m e quadrimomento k , 1/(k2-m2)
 Moltiplicare per le funzioni d’onda esterne:
u fermione iniziale, anti-u fermione finale,
1 per bosoni scalare ed  per i bosoni
vettoriali