Il campo mesonico di Youkawa: predizione del “mesone” 
(1935)
Introduciamo
sorgente  e interazione di un campo 
Lagrint
la Lagrangiana di
interazione viene
aggiunta alla
lagrangiana del
campo libero
Lagr


Analogia con e.m.:
 sorgente di 

1
     m 2 2  
2
L’equazione delle onde diventa
in analogia con e.m.

 x, t 

   m   
2
è la sorgente del campo

che consegue
dall’ eq. di Euler
Lagrange
Lagr

 
Lagr
   
Esempio semplice: una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo

   m   

2


   m   g x 
2
2

  g x 
 é indipendente
dal tempo
Risolveremo il problema con il
metodo della trasformazione di
Fourier.
Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone”  (cont)
2
2
spazio
delle
coordinat
e

spazio
dei
momenti
Trasformata inversa
Trasformata di Fourier

 x  
1
2 
3/ 2



Sostituendo  k
~
si ottiene:

 x  
g
2 3
~


k
~
Si ricava
tenendo conto che
3/ 2

g 2 
 k  2
k  m2
~
 


ik  x
e
3

d
k
 k 2  m2



k 

k
 ~
ik  x
 d ke
3


   m   g x 

1
d

2 
3/ 2

 x 
xe
2
  k
2

~ 
2
2
k m  k 
~

3

i
k
 x


ottenendo infine  k
g
2 3 / 2

 x  
g
2 3

ik  x
e
 d k k 2  m2

3
Il campo mesonico di Youkawa

Valutiamo l’integrale.
Poniamo:


o
 
k  x  kr cos
2
1
k 2 dk
ikr cos


d

d
cos

e

2
2 


1
k m 0






ir 

r

o
o



ir o

dk 2
sin kr 
2
2
k m


dk 2
dk 2
ikr
ikr 
e

e

2
2
2
2

0
k m
k m

dk 2
  2
ir  k  m 2


dk 2
ikr
ikr
e

e

2
2
k m
Questo integrale può essere
calcolato, ottenendo
g e  mr

4 r

 x  

1

dk 3  k 2 sin dddk

2
o

2 3
e
3

d
k
 k 2  m2
1
k 2 dk
ikr cos


d

d
cos

e
k 2  m 2 0 1

1
g

ik  x
d cos  eikr cos  
1
1
2
kr



o
k 2 dk
2
sin kr 
2
2
k m
2r
dk 2
ir  k 2  m 2


2

1 ikr ikr
1
ikrx
dxe 
e e
 sin kr
kr
kr


o
kdk
2
sin kr 
2
2
k m
r


o
 d  2
0
dk 2
sin kr
2
2
k m
è un’integrale che si calcola come un
integrale di contorno .
si sceglie come contorno dove Im(k)>0
residuo k=im
matematica spicciola
 mr
g e

4 r
come si vede da
questa equazione
se le particelle hanno
massa m, il campo ha un
raggio d’azione
r
E  t  mc   
c
2
r  1/ m
1
r
m  
c
Yukawa :  è un campo mesonico che ha il
nucleone come sorgente.
Il campo  è a range finito, e quindi deve avere
una massa m ≠ 0
Gli effetti del campo sono trasmessi da
particelle (“mesoni”) il cui campo è .
Yukawa interpretava il mesone  come la particella che mediava il campo
forte, basandosi sulla massa del  ~ 100MeV (300me ~ 150MeV).
L’interazione di Youkawa
Un nucleone interagisce con un altro nucleone “sentendo” il suo campo mesonico
Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da
Utilizziamo l’espressione


H    d x x  2 x 
3

 x  
1 e
V (r )  
4 r
H12  
g
2 3


 e
1
3
3



d
x
d
x
'

x

x
'  
1
2

4
x  x'
Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli
elementi di matrice sono dati nello spazio dei momenti.
Notare il ruolo della massa. Se la
massa =0, questo diventa il potenziale
elettrostatico


 x 
 e
1
3

d
x
'

x
'  
1

4
x  x'

1 x'  g x'
 
m xx '
L’haniltoniana di interazione
Possiamo quindi scrivere iI
potenziale
 mr
 
m xx '

 2 x 
g e  mr

4 r
In generale la quantità che rappresenta la particella
scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il
propagatore:

ik  x
e
 d k k 2  m2
3


1
k 2  m2
Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le
interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .

 x  
g
2 3

ik  x
e
 d k k 2  m2
3

Osservazione : se avessimo una
sorgente dipendente dal tempo, al
denominatore dovremmo
aggiungere :

soluzione
indipendente dal
tempo
2
 k  k  m2  m2  k 2 ,
il denominatore
apparirebbe come
un propagatore, se
una particella è
scambiata in una
interazione
2
0
k 2  k k 
1
2
2
k m
Questa è la quantità che rappresenta la
particella scambiata nello spazio dei
momenti
interazione tra campo
mesonico nucleare e
nucleone come diffusione

il propagatore bosonico
carica della
particella
g 0 e  mr
V (r )  
4 r
nello spazio dei
momenti il
momentum
transfer q
equivale alla
deflessione 


iq r
f (q )  g  V r e dr 3
coupling strenght
of the of the
particle to the
potential
interazione tra campo
mesonico nucleare e
particella

Il potenziale V(r)
nello spazio delle
coordinate ha una
ampiezza associata
f(q) per lo scattering
della particella,
nello spazio dei
momenti
scattering (=diffusione)
di una particella in
potenziale
f(q) è la trasformata di
Fourier del potenziale,
esattamente come nella
diffrazione la
distribuzione della luce
difratta è la trasformata
di Fourier dell’ostacolo

iqr
 iqr

sin qr  2


e

e
f (q )   V r 
r dr   e mr 
dr
qr
 2iq 
0
g 0g
 2
q  m2
Amplitude in
momentum
space is
equivalent to
the potential in
coordinate
space

charge 
strenght 
propagator
REGOLE DI FEYNMAN

Scrivere il fattore appropriato per ogni
veritice
 Mettere il propagatore di ogni linea interna
di massa m e quadrimomento k , 1/(k2-m2)
 Moltiplicare per le funzioni d’onda esterne:
u fermione iniziale, anti-u fermione finale,
1 per bosoni scalare ed  per i bosoni
vettoriali
Le regole di Feynman
Interazione elettromagnetica
Una corrente:
Q
=
 J
Lagr int   J  A

Q  
 Q  A
è la carica elettrica


Il fattore
è tale per cui il termine
quadrivettore.
  
è un
In un campo coulombiano, (per esempio di
un nucleo) un elettrone di quadrimomento p
emette un fotone e rincula con un
quadrimomento p’
 ,k
Q  e

  u  p 'e ip'.x
e ,p

e , p'
A




  u  p e ip. x
A    e 
ik . x
Lagr int  V
  Lagrint
Sommario delle Lagrangiane
Vector field, mass=0
(elettromagnetismo)
Lagr
1
  F F   J  A
4
Real Scalar or Pseudoscalar field
Campo reale di massa m e spin=0
Lagr

1
     m 2 2
2
fotone

pione 

     m2  0
Complex scalar or
pseudoscalar field of mass m
 


1
1
 1 1  m 212   2  2  m 222
2
2
Lagr 
1
  *    m 2 *
2
K1
K0

Lagr 
  1  i 2 / 2
 *  1  i 2 / 2     m 2  0

anti-K0
    *  m 2 *  0
K2

ESISTE IN NATURA IL
MESONE DI YUKAWA?
Yukawa era convinto che il suo mesone fosse il , sulla base della
massa ~240me. Esperimento di Neddermeyer e Anderson
 Per spiegare anche il decadimento  con il suo mesone aveva
ipotizzato un decadimento e con 10-6s.
 Se il  fosse il mesone di Yukawa , dovrebbe essere catturato dai
nucleoni
 La frequenza di cattura potrà essere diversa per + e -, a causa del
campo coulombiano del nucleo.
 Il decadimento è in competizione con la cattura
 Calcoli di Tomonaga e Araki :  in volo probabilità di cattura da
materiali standard (Pb,Al,aria)m trascurabile. + in quiete non
vengono mai catturati, - in quiete vengono sempre catturati se lo
spessore del materiale è sufficiente per ridurli in quiete.
 Possibile test sperimentale: si riducono in quiete le particelle  della
radiazione cosmica . le particelle positive devono tutte decadere,
mentre quelle negative devono essere tutte catturate

L’ esperimento di Pancini Piccioni Conversi
Iron plates magnetized
15.000 Gausslet converge
in the apparatus the
requested particle sign
i contatori A e B sono in
coincidenza, mentre C sono in
coincidenza ritardata.
Ritardo variabile tra 10-6s e
4.510-6 s
conteggi
n  ABC rit  ABCD
Quindi un  “firma” perche’ sono
particelle con vita media 10-6,
che decade nell’assorbitore in
elettroni che non giungono in D
Se un  decade nell’assorbitore
la energia dell’eletrone di
decadimento è comunque troppo
bassa per superare l’assorbitore
in piombo
CONCLUSIONI
le probabilità di cattura uguali per mesoni positivi e
negativi in Carbonio.
in Ferro i mesoni negativi non sono tutti catturati
IN CONTRASTO CON TOMONAGA
      
   e   e  
mass GeV
0,135
- 0,140

0,105
mean-life s
8,4.10-17
2,6.10-8
2,2.10-6
0



c 6,6 10 25 GeV .s . 3 1010 cm
m


13
nell’atmosfera da collisioni nucleari
di
r
10 cm  s
Due parole sui raggi cosmici
I  sono generati
protoni cosmici. La vita media del  è abbastanza breve da
far decadere il pione in volo, nella stratosfera.
 0Il,2pione
GeV
Il 2
decadimento
 è un
a di
neutro decade in
gamma e dádel
origine
adprocesso
una cascata
due(La
corpi.
Il  ha la stessa
energia
coppie di elettroni.
componente
“soft”dei
raggi cosmici).
(4,1 MeV),
quindi ~lodella
stesso
Il  vive 2200ns,cinetica
puó arrivare
sullaesuperficie
terra. (la
“range” (600 m) nella emulsione.
componente” hard”).
Le emulsioni nucleari consistono

Il decadimento del  è un
processo
a
essenzialmente in piccoli microcristalli di
tre corpi, ed infatti lélettrone
ha d’argento,
uno
bromide
sospesi in gelatina
spettro di energia continuo.
specialmente sensibilizzata (emulsione).
Una particella carica ionizzante lascia
una immagine latente nei cristalli che
attraversa. Le lastre di emulsione
Cosmic rays and
vengono sviluppate e le tracce
nuclear emulsion
appaiono come una sequenza di granini
d’argento anneriti.
 ,
0