La Lagrangiana del
Modello Standard
studiata pezzo per pezzo,
lezione 10
riferimento Kane 7

Electroweak mixing angle
definiamo
e
g g
2
2
2
1
, cos  w 
e / 4  1 / 137
2
g g
2
2
g1
sin  w 
g1 g 2
Angolo di Weimberg
2
1
e
g1 
;
sin  w
Questo angolo è
stato misurato ed
è
g2
g g
2
2
2
1
,
(Unita naturali )
e
g2 
cos 
sin  w  0,23
corrente neutra

Abbiamo scoperto un nuovo tipo di
interazione. Esaminiamo i nuovi
coupling per elettrone e neutrino al
nuovo campo Z.
g 22  g12
g2


Z  L  L  
Z  L  L
2 cos  w
2
Forza del coupling elettrodebole: se c’è un vertice di interazione
-Z, possiamo sempre associarvi una forza, che possiamo
pensare come una carica elettrodebole
e
corrente neutra

 2
2
   g 1  g2
Z  eL eL
2
2

2
g

g

2
1

 2
2
g
1  g2

 2 g 22  g12


  g 21  
  eR  eR 


 g 22  g12  



e
 1
2 

   sin  
 sin  w cos  w  2


  g 21 
e


 sin 2 
 g 22  g12  sin  w cos  w

entrambi questi termini
possono essere scritti:



e
f
2
T3  Q f sin  w 

 sin  w cos  w



Abbiamo scoperto un nuovo tipo di
interazione, anche per l’elettrone.
L’interazione dell’elettrone 
nuovo campo Z.
corrente neutra
e



Z  eL eL  eR eR



e
f
2
T3  Q f sin  w 

 sin  w cos  w


quale è il significato fisico di questi termini?

Che cosa significa
► Tf 3

e
T3 f  Q f sin 2  w
sin  w cos  w
è l’autovalore di T3 che è il generatore
diagonale di SU(2), analogo a Jz, per
qualsiasi fermione
► f singoletto Tf3 =0.
► f doppietto Tf3 =+1/2,-1/2
► Qf è la carica elettrica dei fermioni (Qe=-1
Qd=-1/3 ,=0....)

Significato fisico
►É
possibile interpretare la teoria elettrodebole, così
che contenga la interazione elettromagnetica solita
più una nuova particella, tipo-fotone, la Z0, che
interagisce con ogni fermione che ha carica e.m Qf
o weak-isospin Tf3 diversi da 0
► Questa nuova interazione è chiamata di corrente
neutra
► In questa trattazione la Z0 ha massa nulla,come il
fotone. Vedremo come assegnare una massa ai
bosoni di gauge.
eL  eL ; eR  eR ;  L   L
 


g1



YL  L  L  eL eL  YR eR eR B
2

g2

0

0
 L  LW  eL eLW
2

corrente carica
il decadimento beta
U(1) ha elementi solo diagonali.
SU(2) ha anche elementi off-diagonal.
eL   L
SU(2)

g2



0


W  eL  eLW0
 L  LW  2 L eLW  2eLL  LLW
2


g2




Lag carica 
 L eLW  eL  LW
2

I due termini sono Hermitiani coniugati uno dell’altro; quindi la
Lagrngiana è Hermitiana
decacdimento 
corrente carica
V-A
pu
nd
•è coinvolto solo eL. eL può trasformarsi in
L, assorbendo una W+ o emettendo una W•questa è la vioalzione di parità delle
interazioni deboli; formalmente:
W 
W
ee
ee


1
 L eL     1   5 e      55 e
2

•si vede espilicitamente che questa è la
somma coerente dei termini vettoriali e
assiali. V-A
la forza di accoppiamento debole
Lag
e
neutra

e

T3 f  Q f sin 2  w
 sin  w cos  w

la forza di accoppiamento alla
Z,dalla lagrangiana di corrente
neutra
Lag
la forza di accoppiamento
alla W dalla lagrangiana di
corrente carica
e
carica



Z
e

e

e

  L L R eR

 

e

 sin w cos w
2



 T3f Q f sin2  w



g2

 L  eLW  eL  LW
2
g
2 / 2
4
  e
2
2


/ 4
2

2 sin 2  w 137
2
la forza di accoppiamento prevista è molto maggiore di quella
misurata!
bosoni di gauge privi di massa
forza debole e massa dei bosoni di gauge
le transizioni di “ corrente carica”, dovute ad un
emissione od assorbimento di una W,(le transizioni
deboli tradizionali) erano state osservate fino dalla fine
dell’ottocento (decadimento ).
► l‘accoppiamento debole osservato è però molto più
debole di quanto ci si aspetterebbe, se la W avesse
massa nulla
► anche le transizioni di corrente neutra dovute ad
emissione o assorbimento di Z0 , m=0, danno una forza
di accoppiamento molto grande
► si suppose quindi che W e Z0 avessero una massa
grande.
► come introdurre il termine di massa nella
Lagrangiana?
► vedremo presto come è stato affrontato questo
problema.
►
Lagrangiana SU(3) dei Quark
Ricordiamo la forma generale della Lagrangiana fermionica
L ferm 
 fi
f  L ,eR ,QL u R , d R

D f
i 
aa 
Y 
D    ig1 B  ig 2 Wi  ig33 GGaa
2
2
22


rimane da calcolare la lagrangiana delle interazioni
forti nel Modello Standard
L ferm 
quark
 fi
f QL ,u R , dR ;
 , , 1, 2 , 3 ;colore

D f
ultimo termine
elettrodebole da
calcolare
Lagrangiana SU(3) dei Quark
la funzione d’onda di un generico quark q, per esempio
q  stato
particolare di
quark, con un
colore definito.
QL, uR, dR
 space   spin  U (1)   SU (2)   SU (3) 
  
  
  
  

q  
 factor   factor   factor   factor   factor 
tutti questi fattori sono indipendenti l’uno dall’altro; l’ortonormalità
della funzione d’onda vale per ogni fattore separatamente
Per esempio il termine “debole” della Lagrangiana contiene
termini di spin e di SU(2); automaticamente l’ ortonormalità della
funzione d’onda rende =1 gli altri fattori
 i
g 2  W
i
Lagrangiana SU(3) dei Quark
la forma della Lagrangiana elettrodebole è la stessa per quark e
leptoni; sono accoppiati nello stesso modo agli stessi bosoni W
e Z0 e ;
i quark hanno un normale accoppiamento elettromagnetico al
; transizioni di corrente carica uL dL, , con emissione o
assorbimento di W non uR dR ,
transizioni di corrente neutra per ogni q sinistrorso o
destrorso con costante universale di accoppiamento
Qu  Qu  2 3
L
R
Qd  Qd  1 3
L
R

e

 sin w cos w

 f
 T3 Q f sin2  w


T3uL  1 2; T3d L  1 2; T3uR  T3d R  0
La Lagrangiana QCD dei quark
i termini di
QCD nella
Lagrangiana
sono
a Ga
matrici 3×3
nello spazio
interno di
colore SU(3).
termine di interazione
di colore (,= 1..3)
q  g  q'
q  g  q'
qq  g
g  qq
q  g  q'
q  g  q'
nessun contributo ai
leptoni, che sono
singoletti di colore ( o
bianchi, o neutri)
g3
a
q   
Ga q
2
come i fotoni, i
gluoni possono
aggiungere o
togliere momento
(deviano il quark
con la forza colore)
i gluoni Ga sono
e.m. neutri; quindi
non interagiscono
con il campo e.m.
i generatori a hanno
termini off-diagonal,
quindi i gluoni cambiano
anche il colore dei quark
dato che ogni particella può essere
trasformata in un’antiparticella invertendo
direzione,carica e momento tutte le
transizioni sono descritte da un vertice con forza di
accopiamento forte
u
d
G
g3
2
La seconda e la terza famiglia
particelle
18
la lagrangiana per fermioni e bosoni di gauge
LU (1) 
Z
LSU ( 2 )
W
L SU ( 2 )

è la somma di tutti questi termini, scritti
esplicitamente:



eQ
f

f
A
 f
f  e ,u , d
g2

cos  w
  f  f T

f  e e ,u , d
L

L
f
3



g2

u L  d L  eL  eL W   ...
2
Lgluoni
SU ( 3) 
 a
a
q


q
G
    
f u , d


 Q f sin 2  w  f R  f R  Q f sin 2  w Z 
alcune relazioni utili
GF
g 22

2
2 8M W
e2
1


4 137
2
2
g
1
2 

4 30
e
g2 
sin W
e
g1 
cos W
2
1
g
1
1 

4 100
g 32
3 
 ...
4
particelle
20
masse?
m 
non possiamo aggiungere il termine
di massa semplicemente!
m   m PL  PR 
 m PL PL  m PR PR
 m R L  m L R