Un precursore del 50 aC
astrofisica
cosmologia
In file separati:
Parte 0: Storia astronomia
Parte 1: Stelle
Parte 2: Galassie
Rev. mag-09
appunti di fisica
per la quinta classe
Modelli dell’Universo attuale
All’inizio del ‘900
Il principio cosmologico
L’Universo è omogeneo e isotropo
•L’omogeneità è su vasta scala
(regioni più estese di 100 Mpc
 300 Mly)
L’Universo stazionario
•L’idea dominante era quella di un
universo (U) stazionario.
•La gravitazione comporterebbe una
contrazione di U
3
Modelli dell’Universo attuale
All’inizio del ‘900
1826, il paradosso di Olbers
•Perché la notte è buia e non uniformemente brillante come il Sole?
Es.: Sole a distanza doppia. L’intensità che ci raggiunge sarebbe 1/4, ma
anche la superficie che sottende al nostro sguardo è 1/4.
1. Polvere interstellare indebolisce la luce che viene da più lontano (spiegazione errata: la
povere, scaldandosi, emette radiazione)
2. Il numero di stelle di U è finito (spiegazione errata, poiché il numero di stelle sarebbe
sufficiente a rendere luminosa la notte)
3. U si espande e dunque le stelle più lontane hanno un red shift che porta la luce nell’infrarosso
4. U è giovane e dunque la luce delle stelle più lontane non è ancora riuscita a raggiungerci
(orizzonte cosmico)
•Dunque il paradosso di Olbers è un paradosso solo in un U stazionario.
1910-14, Slipher
•Primi redshift dinebulose
a spirale (non riconosciute come galassie)
 
redshift z :


obs
em
1
Heinrich Wilhelm Olbers, medico e astronomo tedesco, 1758-1840
Vesto Melvin Slipher, astronomo USA, 1875-1969
4
Modelli dell’Universo attuale
La teoria
1916, Einstein
•Teoria della relatività generale (RG): teoria della gravitazione che
sostituisce la teoria della gravitazione newtoniana
•Equazioni di campo, che in notazione moderna sono sintetizzate in
8G
G 4 T
c
Il tensore G esprime la curvatura dello s-t
Il tensore T esprime la distribuzione di massa-energia e quantità di
moto
•Il problema diventa: trovare le soluzioni delle equazioni di campo
5
Modelli dell’Universo attuale
Il modello di Einstein
1917, il “modello di Einstein”
•Applica RG ad U, considerato omogeneo, isotropo e statico
•Introduce nelle equazioni di campo il parametro costante cosmologica 
per bilanciare la gravità delle masse con un effetto repulsivo
G  g  
8G
T
4
c
4G




c2


m 2 

 elimina la curvatura dello s-t a grandi distanze, pur senza influire sulle
distanze piccole, dove la gravità è attrattiva, per cui nelle equazioni di
campo del 1916 non era incluso.
Dopo il 1926 (Hubble), Einstein parlerà del suo più grande errore.
Oggi la costante cosmologica è tornata in auge per risolvere un problema
analogo.
6
Modelli dell’Universo attuale
Il modello di Einstein
•L’U di Einstein è finito
curvatura positiva (parametro di
curvatura k=1), spazio ellittico;
volume proporzionale a -3/2
•è illimitato
la geometria sferica consente di
percorrere una retta trovandoci al punto
di partenza dopo una distanza
proporzionale a -1/2
•è assunto con pressione della materia
p=0
7
Modelli dell’Universo attuale
Il modello di De Sitter
1918, il “modello di De Sitter”
•Postula un U omogeneo e isotropo, ma in espansione, con curvatura
nulla (spazio euclideo), quindi infinito
•L’effetto della materia e della pressione di materia è nullo, solo  decide
e >0 implica espansione infinita
•La materia rallenta solo localmente l’espansione.
•Si introduce il sistema comovente: sistema di coordinate i cui punti del
reticolo, pur essendo fermi, si allontanano tra loro per effetto della
dilatazione dello spazio (esempio di coordinate polari o di meridiani e
paralleli su superficie sferica)
Willem De Sitter, matematico e fisico olandese, 1872 - 1934
8
Modelli dell’Universo attuale
Il modello di De Sitter: le distanze
•La velocità percepita da due osservatori,
fermi rispetto al reticolo, è legata alla
modifica dello s-t (e può superare c)
•Fattore di scala R(t), descrive
l’espansione, è la distanza tra due vertici
del reticolo di coordinate
Lunghezza dell’unità di misura comovente al
tempo t
•Distanza fisica (in metri) tra due oggetti
“fermi” al tempo t:
𝐷 𝑡 = 𝐷0
𝑅 𝑡
𝑅 =1
𝑅0 0
9
Modelli dell’Universo attuale
Il modello di De Sitter: le distanze
D(t )  D0
R(t )
R0
10
Modelli dell’Universo attuale
Il modello di De Sitter: le distanze
•In generale uno spostamento di
due oggetti è dato
dall’integrazione di:
ds  R(t ) dx 2  dy 2  dz 2
dove dx, dy e dz sono gli spostamenti rispetto
al reticolo
11
Modelli dell’Universo attuale
Il modello di De Sitter: l’espansione
•In caso di un’espansione omogenea e isotropa, si osserva che i punti fermi rispetto al reticolo comovente - a distanza doppia si allontanano
(nello stesso istante) con velocità doppia (perché c’è tra essi uno spazio
“doppio”, in espansione ovunque):
v(t )  D(t )  HD(t(allo
) stesso istante)
•Ma se i punti sono fermi rispetto al reticolo comovente, v(t) è la velocità
di recessione del fattore di scala R(t), dR/dt, e dunque:
v(t ) 
dR
 HR
dt
•L’espansione in De Sitter è dunque esponenziale: la soluzione
2
dell’equazione
è
R(t )  e Ht
con H  3c
12
Modelli dell’Universo attuale
Red-shift cosmologico
1924, Wirtz
•Il redshift z è legato al fattore di scala R(t)
•L’espansione dà una spiegazione cosmologica del redshift:
la lunghezza d’onda cambia perché si dilata lo spazio
oggi
Roggi
obs
1 z 


em emissione Remissione
Roggi= (z+1)Remiss (esempi in tabella)
lim Remissione  0
z 
z
0
1
2
3
10
v
0
3/5 c
8/10 c
15/17 c
120/122 c

o
2 o
3 o
4 o
11 o
Roggi
Remiss
2Rem
3Rem
4Rem
11Rem
•Se H (costante di proporzionalità di De Sitter tra R’ e R) non è costante, z
dipende anche dal tempo di emissione
Carl Wilhelm Wirtz, astronomo tedesco, 1876-1939
13
Modelli dell’Universo attuale
Red-shift cosmologico
14
Modelli dell’Universo attuale
La legge di Hubble
1924-29, Hubble
•Misura z di 24 galassie vicine (z  0.003)
H
z 0d
c
•Hubble misura z: come risalire a v? e di quale v si tratta?
A basse v la relazione v-z è approssimativamente v =zc
che è la relazione Doppler classica: per questo motivo
 Htesto
(bassi
z e v) “Hubble modificata”:
0d
molti astronomi e libriv di
usano
Quindi per le 24 galassie di Hubble (con z <0.003) v
<900 km/s
La legge vale comunque solo per z < 0.2 (v <60,000
km/s)
–Oltre, il Doppler relativistico prevede l’impossibilità di
Doppler classico :
cv
obs ,class   

 c 
obs ,class   v


c
 v
zclass :

 c
Doppler relativistico :
cv
obs ,relat   

c


cv
z relat :
1
cv
15
Modelli dell’Universo attuale
La legge di Hubble
•Valore di H0 accettato:
H0 = 72  8 km/s/Mpc
= (2.3  0.3) 10-18 s-1
•circa 20 km/s per ogni Mly
(1 pc = 3.26 ly = 3.1 1016 m)
z
H0
c
d

numero  kmkm/ s //Mpc
 Mpc
s
16
Modelli dell’Universo attuale
La legge di Hubble
d  vt  d 0 Linearità dell ' espansione

Legge di Hubble
v  Hd
v  Htv  Hd 0

 Ht  1
Identità v sse 
 Hd 0  0
1
H
d0  0
t
Se l’espansione è lineare, tutte le galassie
sono nella stessa posizione d0=0 al tempo
t =T0 = -1/H0  13.8 Gy
•Per Hubble T0 =2 Gy < Tterra= 4.6 Gy
 scetticismo e modello stazionario rafforzato
17
Modelli dell’Universo attuale
La legge di Hubble
La legge di Hubble è compatibile con il principio cosmologico
•U delle galassie è tutto lo spazio.
•Si espande e le onde e.m. si stirano,  aumenta (red shift cosmologico)
•Il red shift cosmologico è dunque prodotto dall’espansione dello spazio
18
Modelli dell’Universo attuale
La legge di Hubble
L’espansione di Hubble è
compatibile con il principio
copernicano
•Se v è lineare con d, lo è anche
per un osservatore di un’altra
galassia.
Cambiando punto di vista, U rimane isotropo
v  H 0d
•Se non lo fosse, un altro
osservatore lontano dalla Terra
troverebbe una legge diversa.
Cambiando punto di vista, U non è più, la
Terra è osservatore privilegiato
v  H 0d 2
19
Modelli dell’Universo attuale
La legge di Hubble
Differenze tra
(1)
v(t ) 
dR
 H R
dt di De Sitter, Friedmann, Lemaître
v  zc  H 0  d
(2)
di Hubble
•La (1) viene dalla teoria RG
v e R sono relative a un unico sistema comovente e a un unico istante;
non si ha una vera e propria v, ma c’è il trascinamento dello spazio;
v >c è possibile;
H è costante nello spazio, ma non necessariamente nel tempo
•La (2) è sperimentale
H0 è costante solo perché Hubble guarda galassie vicine e quindi H0 non ha
“avuto tempo” per cambiare.
H1929 14, 000,1000, 000

 1.000000005
1
H
–H dovrebbe solo decrescere
nel tempo (H0 =1/T0); sembra
2000 lentamente
14 , 000 , 000 , 071
costante perché:
20
Modelli dell’Universo attuale
Cinematica dell’espansione
•Velocità dell’espansione, R’
R R ct R (t ) d
z




R
Rt c
R(t ) c
d
R (t )
zH
dove H (t ) 
c
R(t )

È il significato della costante di Hubble H(t)
nei modelli cosmologici
•H cambia nel tempo e quindi R’ non dipende solo da R.
Occorre studiare anche R”, accelerazione di R.
Ogni modello cosmologico da’ un’espressione di R(t), che comunque
H (t0 )  H 0
deve soddisfare
il valore di H misurato oggi, H0:
21
Modelli dell’Universo attuale
Cinematica dell’espansione
Accelerazione dell’espansione, R”
•Per studiare la curvatura di R(t) si introduce il parametro di
decelerazione q(t)
q (t ) : 
R(t ) 
R(t )
R 2 (t )
•q>0 espansione decelera; q<0 espansione accelera
•La relazione d vs. z diviene:
d
c
z
H0
d
c
z 1  12 1  q0  z  
H0
In prima approssimazione:
In miglior approssimazione:
• Il fattore in z 2 diventa importante per z grandi
1  q0 2
c
z
z
H0
2H 0
22
Modelli dell’Universo attuale
Cinematica dell’espansione
•d è la distanza valutata con la luminosità della galassia.
•Se z stesse sopra la retta significherebbe che è maggiore di quello previsto
da un’espansione lineare; dunque nel passato la velocità di R sarebbe stata
maggiore: saremmo in un U in decelerazione.
•Dalla osservazione di
galassie lontane (d grandi)
si osservano z minori di
quelli attesi nel modello
lineare: pare dunque che
sia q0<0 e U in
espansione accelerata.
Valore stimato oggi: q0=-0.55
23
Modelli dell’Universo attuale
I modelli FRW
1922, i modelli di Friedmann, Robertson, Walker
•Per sapere come cambia l’espansione, oltre alla via cinematica - ricerca di H(t) e q(t) - c’è
la via dinamica - ricerca delle cause dell’espansione
•Per RG l’espansione dipende da materia , da Energia , da  e da p
p, che dipende dal moto della materia, contribuisce al campo gravitazionale complessivo: è una delle principali differenza
tra la RG e la fisica di Newton (http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2005/Ucau050126d002/)
•Si cercano dunque soll. delle equazioni di campo.
•I modelli di Einstein e De Sitter sono casi particolari di una classe di soluzioni delle eqq. di
campo (i modelli di FRW) che valgono per U omogeneo e isotropo con pressione di materia
nulla
•Nei modelli FRW la geometria dello s-t è data dalla distanza generalizzata tra due eventi,
che avvengono a distanza r dall’origine, che si calcola con
ds 
2
R(t )2
1  
kr 2
4
2
dx
2

 dy 2  dz 2  c 2 dt 2
(metrica di Robertson Walker)
24
Modelli dell’Universo attuale
I modelli FRW
Robertson  Walker metric
ds 2 
R(t )2
1  
kr 2
4
2
dx
2

 dy 2  dz 2  c 2 dt 2
La metrica di Robertson Walker contiene:
•Il parametro di curvatura k
k=-1 (s-t iperbolico)
k=0 (s-t euclideo)
k=+1 (s-t ellittico)
•Il fattore di scala R(t) che descrive la dinamica dell’espansione.
Il fattore di scala si applica solo alla componente spaziale della
distanza.
2
2

può 2trovarsi risolvendo un’equazione
8

GR

c
Occorre determinare
R(t)
,
che
2
  
  kc
R 
complicata (equazione
da cui risulta R(t)=f(,,k).
3 di Friedmann),
8G 
25
Modelli dell’Universo attuale
I modelli FRW
Friedmann equation
8G 
c 2  2
  
 R  kc 2
R 2 
3 
8G 
•L’equazione è suscettibile di un’interpretazione newtoniana, essendo
derivabile dal principio di conservazione dell’energia di una distribuzione
sferica di galassie in espansione:
-kc² è correlato all’energia totale della sfera
R’² è correlato all’energia cinetica della sfera
4
M
R  sfera
Il termine con G è correlato all’energia potenziale gravitazionale della
3
R
2
2 2
1  2per
GM
MR c
Moltiplicando i termini
dell’universo), e ricordando
MR  ½M
 (con M
 massa
kc 2
2
R
6
che
2
(i modelli FRW valgono per p=0)
26
Modelli dell’Universo attuale
I modelli FRW
27
Modelli dell’Universo attuale

Dinamica dell’espansione

Friedmann equation
•Assumendo:
8G 
c 2  2
2

  
 R  kc 2
R 
3 
8G 
principio cosmologico
p=0
(impliciti in Friedmann)
•invece di
risolvere
Einstein
equation
G  g  
8G
T
c4
•si procede come a fianco
dove
k
2
,  e k sono Rgrandezze
osservabili
(t )
–
k
è la curvatura all’istante t
R(t )
Robertson  Walker metric
ds 
2
R(t )2
1  
2
kr
4
2
dx
2

 dy 2  dz 2  c 2 dt 2
proprietà geometriche dello s-t (G)
28
Modelli dell’Universo attuale
Dinamica dell’espansione
Trascuriamo l’esistenza di  (=0) e supponiamo lo s-t piatto (k=0)
•L’espansione dell’U è decisa solo dalle masse
•Può arrestarsi e invertirsi se domina la gravità. Oppure può continuare all’infinito, se la velocità
degli oggetti supera la velocità di fuga gravitazionale.
•L’esito dipende dalla velocità dell’espansione del BB ed è in relazione con la densità media
dell’U.
•La densità critica c è quella limite tra i due casi:
se viene superata, vince la gravità e l’U andrà verso il Big Crunch
Se la densità è minore, allora l’espansione continuerà indefinitamente.
•Quanto vale
C(oggi)?
29
Modelli dell’Universo attuale
Friedmann equation
8G 
c 2  2
  
 R  kc 2
R 2 
3 
8G 
Dinamica dell’espansione
•Supponiamo un U sferico critico (densità
critica c) di massa M e raggio d.
Una galassia sul contorno allora possiede
la velocità di fuga
vHubble  H 0 d

2GM

v

 fuga
d
H 02 d 2  2G 43 c d 2
3H 02
8G
c 
H2 
c
8G
3
R 2 8G

c
2
R
3
•Quest’ultima è l’eq. di Friedmann per k=0 e =0, che quindi qui è ricavabile in modo classico
con il principio di conservazione dell’energia.
•H0=72 km/s/Mpc  c=10-26 kg/m3 = 1011 M /Mpc3 = 5 atomi H/m3
30
Modelli dell’Universo attuale
Friedmann equation
8G 
c 2  2
  
 R  kc 2
R 2 
3 
8G 
Dinamica dell’espansione
•Per valutare l’effetto gravitazionale delle masse si introduce il parametro di densità per la
materia, m(t):
 m (t ) 
 (t )
 c (t )
•La massa considerata è tutta quella visibile e oscura, barionica e no
•Nell’eq. di Friedmann,  ha lo stesso effetto e la stessa unità di misura di c²/8G; per
analogia si introduce, per valutare l’effetto della costante gravitazionale :
la densità  per la costante cosmologica
c 2
 
8G
 kg 
 m 3 
e il parametro di densità (t) per la costante cosmologica
  (t ) 

 c (t )
31
Modelli dell’Universo attuale
Dinamica dell’espansione
•Le due  moltiplicate per c² danno densità spaziali di energia (J/m³, stessa unità della
pressione):
mc² è un’energia, c² è una densità spaziale di energia, la densità di energia di massa
c² dà una densità spaziale di energia, la densità di energia del vuoto
•Se lo spazio si espande, c² aumenta
•È stato proposto che sia un’energia del vuoto quantistico, per ora senza troppa fortuna
•Oggi si parla di densità di energia oscura
•Gli astrofisici sono alla ricerca dei valori di m,0 e ,0
 = m + 
32
Modelli dell’Universo attuale
Dinamica dell’espansione

c 2 
8G 
c 2  kc 2
  
  kc 2

  2 2
1


2 
8

G
3
H
8

G



 R H
kc 2
kc 2
1  m    2 2
  1  2 2 nuova forma eq. di Friedmann
R H
R H
8GR
R 2 
3
2
Dalla riscrittura di eq. Friedmann:
•Se  < 1 , la geometria dello spazio-tempo (*)
è iperbolica (U aperto, <)
•Se  = 1, la geometria dello spazio-tempo (*)
è piana, o euclidea (U critico, =, caso
limite)
Idea intuitiva per molto tempo accettata: “tanto s-t è
stato creato nel BB, tanto viene fagocitato dalle masse”
•Se  > 1, la geometria dello spazio-tempo (*)
è ellittica (U chiuso, >)
(*) Attenzione: s-t è iperbolico o ellittico, non il solo spazio!
33
Modelli dell’Universo attuale
Dinamica dell’espansione
k=-1 (s-t iperbolico)
 <1
k=0 (s-t euclideo)
=1
k=+1 (s-t ellittico)
 >1
34
Modelli dell’Universo attuale
Dinamica dell’espansione
8GR
R 2 
3
2

c 2 
  
  kc 2
8G 

•Derivo l’eq. di Friedmann su t, ricordando che R³=costante:
  
2 R R
8G 
16G 
RR 
RR 
3
3
•Moltiplicando ambo i membri per
q (t ) : 
ottengo il parametro di decelerazione q(t):
R(t ) 
1
R
(
t
)

 m (t )    (t )
2

R (t )
2
•Se  > ½ m allora q<0 e U accelera, altrimenti decelera.
•Le osservazioni più accettate oggi danno: m,0  0.3, ,0  0.7
0  1: s-t è piatto (k=0, s-t euclideo)
q0  -0.55: U accelera la sua espansione
  0.4 10-52 m-2
35
Modelli dell’Universo attuale
Dinamica dell’espansione
8GR
R 2 
3
2

c 2 
  
  kc 2
8G 

Eq. di Friedmann e “modello critico”
•Risolvo eq. Friedmann per =0 e k=0
dR
8G
8G D

R 2 
dt
3
3 R
R 3  costante  D
8GD
dt
3
R dR 
2 32
8GD
R 
t
3
3
A  3 6GD
2
R(t )  A t 3
•Inoltre, derivando R:
R (t ) 2
H (t ) 

R(t ) 3t
2
2
  Hubble
3H 0 3
Hubble = 14 Gy e quindi t0 = 9 Gy, che è poco probabile, data l’età del sistema solare
•Per altre vie si stima t0 intorno ai 14 Gy, per questo si rende necessario  > 0
t0 
36
Modelli dell’Universo attuale
Dinamica dell’espansione
8GR
R 2 
3
2

c 2 
  
  kc 2
8G 

Eq. di Friedmann e modello di Einstein
•R’(t)=0 e perciò (eq. Friedmann) deve essere k>0, s-t sferico
•Nella derivata di eq. Friedmann, deve essere R’’(t)=0, da cui si ha il
valore richiesto a :
8G 
16G 
RR 
RR 
3
3
   8G R  16G R  0
R

6
6
4G
 2 
c
  
2 R R
37
38
1.
2.
3.
4.
modello
modello
modello
modello
chiuso con =0, k=+1, >1
critico con =0, k=0, =1
aperto con =0, k=-1, 0<<1
accelerante con >0, k=0
39
Modelli dell’Universo attuale
Dinamica dell’espansione
40
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
Look back time (LBT) tempo tra l’emissione di radiazione da una galassia
e la ricezione sulla Terra
•La distanza genericamente indicata da una galassia è proprio LBT
(moltiplicata per c)
Es.: LBT=5 My, D=5 Mly
•DE è la distanza tra luogo dell’emissione e di ricezione nell’istante
dell’emissione (distanza all’emissione)
•DR è la distanza tra luogo di emissione e di ricezione al momento della
ricezione (distanza radiale)
•DE < cLBT < DR
41
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
H  H 0  E( z)
E ( z )   M (1  z ) 3   K (1  z ) 2   
Calcolo di LBT da z
da

v
 Ha

dt
 H  H 0  E ( z )
 K  1  M  
da
dz
dt 

aH 0 E ( z )
(1  z ) H 0 E ( z )
•Si procede per integrazione quando possibile, altrimenti per calcolo
numerico della somma dei dt per piccoli dz.
•La somma va estesa da z=0 (oggi) indietro nel tempo fino a z=zE (della
luce stellare).
•Se viene estesa fino a z= si ottiene l’età dell’U.
42
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
•Esempio si studio di galassia lontana
53W069 ha z=1.43 e contiene stelle di 3.5 Gy
M

H0
LBT
TU
1
0
70
6.8
9.3
Impossibile
0.3
0
70
7.6
11.2
Al limite
0.3
0.7
70
9.1
13.4
Ragionevole
43
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
44
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
Misuriamo la distanza della galassia con redshift z
•Se U statico: DR=DE
a
•Se U in espansione:
DR  DE 0  DE (1  z )
aE
Calcolo di DE da z
•Seguiamo un fotone emesso secondo i dz che portano da zE a z=0 e per ogni
dz calcoliamo dr, lo spazio percorso dal fotone
c  dz
dr  dDR  dD (1  z )  c  dt  (1  z ) 
H 0 E( z)
'
E
DR   dr
•L’integrazione è fatta sui percorsi del fotone riportati alla distanza attuale
•Poi, per trovare DE basta dividere DR/(1+zE)
Ad esempio, con m=0.3, =0.7, H0=70 km s-1 Mpc-1:
–DE(53W069)=1742 Mpc=5.68 Gly
–DR(53W069)=4234 Mpc=13.8 Gly
45
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
Al crescere di z (e quindi indietro nel tempo), DR cresce continuamente,
mentre DE cresce dapprima e poi decresce, a causa della piccola
concentrazione spaziale delle masse ai primi tempi del BB.
46
46
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
DR
DE
47
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
Per misurare la distanza occorre avere i valori di m,  e H0
Trovando D in altro modo si potrebbe risalire a una stima di (m, )
Luminosità bolometrica apparente B (senza assorbimenti, con strumento
ideale)
Luminosità bolometrica assoluta LB (potenza erogata, deve essere nota)
Distanza di luminosità DL
lB 
LB
4DL2
DL 
LB
4l B
In U statico, DL=DR=DE
Con l’espansione DL è legata a z
I fotoni si trovano dispersi su una superficie sferica di raggio DR, però hanno 
maggiore e intensità di arrivo minore di quella di emissione. In definitiva B
deve essere minore, del valore
atteso
nel caso di staticità, di un fattore (1+z)²
L
1
lB 
B
4D (1  z )
2
R
2
DL  DR (1  z )
48
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
Se lo spazio è curvo (K  0 , m +   1), il valore di DR deve essere
ulteriormente corretto.
I valori dei parametri producono DL diverse principalmente ai grandi z, per cui
con “candele standard” sufficientemente luminose e lontane, come le SN IA, è
possibile stimare tali parametri.
•Gli astronomi misurano B con la magnitudine apparente m e LB con la
magnitudine assoluta M. La distanza è quindi descritta dal modulo di distanza,
m-M.
m  M  5 log( DL )  25
( DL in Mpc)
Le supernovæ IA hanno M=-19.5 e il telescopio Hubble ne ha individuate
diverse: i dati che seguono mostrano che alcune coppie (m, ) sono poco
probabili.
I valori statisticamente migliori sono (m, ) = (0.27, 0.73)
49
Modelli dell’Universo attuale
Tempo di emissione e distanza
12
10
8
Colonna 1
6
Colonna 2
Colonna 3
4
2
0
Riga 1
Riga 2
Riga 3
Riga 4
50
51
Modelli dell’Universo attuale
La dinamica dell’espansione
Il valore di 
•Luminosità dell’U dà 1.1 108 L /Mpc3.
Siamo a 1/1000 di c (m =0.001)
•Considerando i corpi oscuri (stelle morte, pianeti, nubi fredde di gas, …) si
può arrivare al più a m =0.03.
•Fine anni ‘70 una “quasar doppia” si rivela essere una sola quasar
raddoppiata dalla lente gravitazionale di una galassia nascosta
Croce di Einstein: 4 immagini di una stessa quasar
•Utilizzando l’attrazione gravitazionale nelle galassie e non la luminosità del
cielo, si può arrivare a 30% di c (m =0.3)
•Tre considerazioni:
Abbiamo capito cosa sia solo 1/10 della materia dell’U
L’espansione sembra accelerare
L’U sembra piatto
52
Modelli dell’Universo attuale
Lo stato attuale
Scoperta delle disomogeneità nella distribuzione delle galassie (Grande Muraglia di
500 Mly nell’emisfero nord; Muraglia meridionale nell’emisfero sud). Come spiegare,
se l’Inflazione rende U altamente piatto e omogeneo su vasta scala?
•COBE doveva rispondere cercando le disomogeneità nel CMB, ma quelle trovate non sono
sufficienti
•Fisici teorici:
galassie nate da fluttuazioni quantistiche dello spazio
si sono creati difetti nella struttura dello spazio in espansione, chiamati “corde cosmiche”,
paragonabili alle differenze di cristallizzazione del ghiaccio fra zone di un lago che gelino in
momenti diversi
•L’U inflazionario appare una costruzione teorica con il pregio dell’applicazione delle teorie
della fisica delle particelle, in particolare di quelle di grande unificazione (GUT) e della
supersimmetria (SUSY) alla cosmologia, ma, secondo alcuni, poco corroborata.
Nuove scoperte
•Daly - Guerra, USA, 2000: da redshift, dimensioni e luminosità di radiogalassie si è stimato
che l’espansione accelera
•Schmidt, Australia, 2000 - Perlmutter, USA, 2000: l’espansione accelera
53
Modelli dell’Universo attuale
Lo stato attuale
Il modello attuale
•Il modello più accreditato oggi prevede m,0  0.3, ,0  0.7
0  1: lo spazio è piatto (k=0, s-t euclideo)
kc 2
 1  2 2
R H
q0  -0.55: U accelera la sua espansione
q (t )  
dove    m   
R(t ) 
1
R
(
t
)

 m (t )    (t )
R 2 (t )
2
  0.4 10-52 m-2
54
Modelli dell’Universo attuale
Lo stato attuale
L’U è piatto e dominato
dalla costante cosmologica
e dalla materia oscura
55
q
1
m  
2

kc 2
1
R2H 2
q0
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