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SECONDA PROVA ESAME DI STATO 2012-2013
CORSO SPERIMENTALE – PIANO NAZIONALE INFORMATICA
Quesito 3
Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A2,1 e B 6,8 . Si determini l’equazione della
retta passante per B e avente distanza massima da A.
Svolgimento.
Osserviamo che la retta verticale passante per B, di equazione x = –6 dista 8 dal punto A.
Consideriamo quindi la generica retta orizzontale/obliqua passante per B:
y  8  mx  6 ,
da cui
mx  y  6m  8  0 .
La distanza di A da tale retta è data dalla formula
2 m  1  6m  8
8m  7
d m 

m2  1
m2  1 .
Dobbiamo trovare il massimo di tale funzione al variare di m in R.
La funzione diviene
7
 8m  7
se m 

2
8

d m    m  1
8m  7
7

se m 
2
8

m 1

.
Deriviamo la prima (la seconda ha derivata opposta):
si ha
8m  7 m
8 m2  1 
2
m 2  1  8(m  1)  m8m  7   7m  8 .
d ' m  
3/ 2
m2  1
m2  1
m2  1 m2  1
Pertanto
7
 7m  8
se m 
3/ 2
 2
8
 m 1
d ' m   
7m  8
7

se m 
3/ 2
2
8
 m  1
.
7
La prima derivata ha uno zero non accettabile, perché minore di . È sempre positiva, in quanto la
8
8
7
disequazione m   è sempre soddisfatta per m  e il denominatore è positivo per ogni m.
7
8
8
Consideriamo la seconda. Il punto stazionario è m   , accettabile. La derivata prima è positiva
7
8
per m   .
7
Unendo i risultati ottenuti sullo studio della derivata, si ottiene








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8
si ha un punto di massimo relativo.
7
La distanza per tale m è
64

7
113 7
7
 8
d    


 113
7
113
 7
 64 
  1
 49 
chiaramente superiore alla distanza 8 della retta verticale.
Pertanto, il massimo trovato è assoluto.
In m  