Corso di ordinamento- Sessione suppletiva - a.s. 2007-2008
Soluzione di De Rosa Nicola
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ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO
Tema di: MATEMATICA
a. s. 2007-2008
PROBLEMA 1
Dato un quadrante AOB di cerchio, di centro O e raggio 2, si consideri sull’arco AB un punto P.
⎛ x⎞
1. Si esprima in funzione di t = tan ⎜ ⎟ (con x = BOˆ P ) l’area del quadrilatero OMPN, essendo
⎝2⎠
M ed N i punti medi dei raggi OA e OB.
2. Si studi la funzione f(t) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ , indipendentemente dai limiti
posti dal problema geometrico.
3. Si dica per quale valore di x l’area del quadrilatero assume valore massimo.
4. Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva γ e l'asse x.
PROBLEMA 2
Si consideri la funzione:
y = sin ( x )(2 cos( x ) + 1)
1. Tra le sue primitive si individui quella il cui diagramma γ passa per il punto P(π ,0 ) .
2. Si rappresenti graficamente la curva γ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π e si dimostri che essa è
simmetrica rispetto alla retta x = π .
3. Si scrivano le equazioni della retta tangenti alla curva nei suoi due punti A e B di ascisse
π
2
e
3π
e si determini il loro punto d’intersezione C.
2
4. Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva e le due suddette tangenti.
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QUESTIONARIO
1) Si determini la distanza delle due rette parallele:
3x + y − 3 10 = 0
6 x + 2 y + 5 10 = 0
2) Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r in modo che la base
maggiore contenga il diametro. Si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezza x dell’angolo
acuto del trapezio, affinché il solido da esso generato in una rotazione completa attorno alla base
maggiore abbia volume minimo.
3) Si determinino le equazioni degli asintoti della curva:
f (x ) = − x + 1 + x 2 + 2 x + 2
4) Si calcoli il limite della funzione:
cos( x ) − cos(2 x )
1 − cos( x )
quando x tende a 0.
)
(
5) Si calcoli il valore medio della funzione f ( x ) = log x + 1 + x 2 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1.
6) Si sechi il solido di una sfera con un piano, in modo che il circolo massimo sia medio
proporzionale fra le superficie appianate delle calotte nelle quali rimane divisa la sfera.
x
7) La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione f ( x ) = e 2 ( x + 1) e dall’asse x
nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1 è la base di un solido S le cui sezioni sono tutte esagoni regolari. Si calcoli
il volume di S.
8) Si stabilisca per quali valori del parametro reale k esiste una piramide triangolare regolare tale
che k sia il rapporto fra il suo apotema e lo spigolo di base.
9) Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione:
(
)
f (x ) = x 2 + 1
nel punto P di ascissa x =
π
2
sin ( x )
.
10) Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che
cosa rappresenta l’insieme dei punti P (1 + t 2 ,1 + t 2 ) , ottenuto al variare di t nei reali.
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PROBLEMA 1
Dato un quadrante AOB di cerchio, di centro O e raggio 2, si consideri sull’arco AB un punto
P.
Punto 1
⎛x⎞
Si esprima in funzione di t = tan⎜ ⎟ (con x = BOˆ P ) l’area del quadrilatero OMPN, essendo
⎝2⎠
M ed N i punti medi dei raggi OA e OB.
Consideriamo la figura sottostante:
L’area del quadrilatero OMPN è la somma delle aree dei triangolo OMP e ONP:
S (OMNP ) = S (OMP ) + S (ONP ) con S (OMP ) =
OM ⋅ PK
ON ⋅ PH
, S (ONP ) =
.
2
2
Ma, posto x = BOˆ P con 0° < x < 90° , si ha:
(
(
)
PH = OP ⋅ sin HOˆ P = 2 ⋅ sin ( x )
PK = OP ⋅ sin 90° − HOˆ P = 2 ⋅ sin (90° − x ) = 2 ⋅ cos( x )
per cui S (OMNP ) =
)
1 ⋅ 2 cos(x ) 1 ⋅ 2 sin ( x )
+
= cos( x ) + sin ( x ) .
2
2
⎛ x⎞
⎛ x⎞
2 tan ⎜ ⎟
1 − tan 2 ⎜ ⎟
2
2
⎝ 2 ⎠ , cos(x ) =
⎝ 2 ⎠ per cui f (t ) = 2t + 1 − t = − t + 2t + 1 con
Inoltre sin ( x ) =
1+ t 2 1+ t 2
1+ t2
⎛ x⎞
⎛ x⎞
1 + tan 2 ⎜ ⎟
1 + tan 2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝2⎠
il limite geometrico t > 0 .
Punto 2
Si studi la funzione f(t) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ , indipendentemente dai limiti
posti dal problema geometrico.
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Studiamo la funzione f (t ) =
− t 2 + 2t + 1
1+ t2
Dominio: R
− t 2 + 2t + 1
= 0 ⇒ t 2 − 2t − 1 = 0 ⇒ t = 1 ± 2
Intersezioni asse ascisse: f (t ) =
2
1+ t
Intersezioni asse ordinate: t = 0 ⇒ f (0 ) = 1
Eventuali simmetrie: la funzione non è né pari né dispari
− t 2 + 2t + 1
Positività: f (t ) =
≥ 0 ⇒ t 2 − 2t − 1 ≤ 0 ⇒ 1 − 2 ≤ t ≤ 1 + 2
2
1+ t
Asintoti verticali: non ce ne sono
⎛ − t 2 + 2t + 1 ⎞
⎟⎟ = −1 per cui la retta y = −1 è asintoto orizzontale
Asintoti orizzontali: lim ⎜⎜
2
t → ±∞
⎠
⎝ 1+ t
Crescenza e decrescenza: f ' (t ) =
funzione
è
strettamente
(− 2t + 2)(1 + t 2 ) − (2t )(− t 2 + 2t + 1) = − 2(t 2 + 2t − 1)
(1 + t )
(1 + t )
2 2
crescente
(− 1 −
in
2 2
)
2 , −1 + 2 ,
strettamente
per cui la
decrescente
(− ∞,−1 − 2 )∨ (− 1 + 2 ,+∞) e si annulla in t = −1 − 2 in cui presenta un minimo
m(− 1 − 2 ,− 2 ) ed in t = −1 + 2 in cui presenta un massimo relativo M (− 1 + 2 , 2 ).
Concavità e convessità: f ' ' (t ) =
(
)
4(t − 1) t 2 + 4t + 1
(1 + t )
2 3
in
relativo
per cui la funzione presenta tre flessi alle
ascisse t1 = 1, t 2 = −2 − 3 , t 3 = −2 + 3 .
Il grafico è di seguito presentato:
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Punto 3
Si dica per quale valore di x l’area del quadrilatero assume valore massimo.
⎛ x⎞
Il valore che massimizza l’area del quadrilatero è t = 2 − 1 e cioè tan⎜ ⎟ = 2 − 1 da cui
⎝2⎠
(
)
x
π
π
= arctan 2 − 1 = ⇒ x = .
2
8
4
Punto 4
Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva γ e l'asse x.
L’area da calcolare è in grigio nella figura seguente:
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1+ 2
Area =
[
1+ 2
⎛ − t 2 + 2t + 1 ⎞
2 ⎞
⎛ 2t
⎜
⎟
=
dt
∫ ⎜⎝ 1 + t 2 ⎟⎠ ∫ ⎜⎝ 1 + t 2 − 1 + 1 + t 2 ⎟⎠dt =
1− 2
1− 2
]
= ln (1 + t 2 ) − t + 2 arctan(t ) 1−
[(
1+ 2
)
=
2
)] [ (
(
)
(
)]
= ln 4 + 2 2 − 1 − 2 + 2 arctan 1 + 2 − ln 4 − 2 2 − 1 + 2 + 2 arctan 1 − 2 =
(
)
(
)
⎛2+ 2 ⎞
⎟ − 2 2 + 2 arctan 1 + 2 + 2 arctan 2 − 1 =
= ln⎜⎜
⎟
−
2
2
⎝
⎠
⎛ 3π ⎞
⎛π ⎞
= 2 ln 1 + 2 − 2 2 + 2 ⋅ ⎜ ⎟ + 2 ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝ 8 ⎠
⎝8⎠
( )
= 2 ln (1 + 2 ) − 2
2 +π
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PROBLEMA 2
Si consideri la funzione: y = sin ( x )(2 cos( x ) + 1)
Punto 1
Tra le sue primitive si individui quella il cui diagramma γ passa per il punto P (π ,0 ) .
Calcoliamo la primitiva della funzione y = sin ( x )(2 cos(x ) + 1) = sin (2 x ) + sin ( x ) ;
1
F ( x ) = ∫ [sin (2 x ) + sin ( x )]dx = − cos(2 x ) − cos( x ) + k
2
Imponendo il passaggio per P (π ,0 ) si ricava: −
1
1
+1+ k = 0 ⇒ k = −
cui corrisponde
2
2
1
1
1
F ( x ) = − cos(2 x ) − cos( x ) − = − [cos(2 x ) + 1] − cos( x ) = − cos( x )(cos( x ) + 1) .
2
2
2
Punto 2
Si rappresenti graficamente la curva γ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π e si dimostri che essa è
simmetrica rispetto alla retta x = π .
Studiamo la funzione F ( x ) = − cos(x )(cos(x ) + 1) in [0,2π ]
Dominio: [0,2π ]
Intersezioni asse ascisse:
F ( x ) = − cos( x )(cos( x ) + 1) = 0 ⇒ cos( x ) = 0 ⇒ x =
π
2
,x =
3π
e cos( x ) = −1 ⇒ x = π
2
Intersezioni asse ordinate: x = 0 ⇒ F (0 ) = −2
Eventuali simmetrie: la funzione è pari
Positività: F ( x ) = − cos( x )(cos( x ) + 1) ≥ 0 ⇒ cos(x ) ≤ 0 ⇒
π
2
≤x≤
3π
2
Asintoti verticali: non ce ne sono
Asintoti orizzontali ed obliqui: non ce ne sono
Crescenza e decrescenza: F ' ( x ) = 2 sin ( x ) cos( x ) + sin ( x ) = sin ( x )(2 cos( x ) + 1) .
Ora
sin ( x ) > 0 ⇒ 0 < x < π mentre (2 cos(x ) + 1) > 0 ⇒ 0 < x <
funzione
è
strettamente
crescente
in
2π 4π
∨
< x < 2π
3
3
⎡ 2π ⎡ ⎤ 4π ⎡
⎢⎣0, 3 ⎢⎣ ∨ ⎥⎦π , 3 ⎢⎣ ,
strettamente
per cui
la
decrescente
in
2π
4π
⎤ 2π ⎡ ⎤ 4π
⎤
⎛ 2π 1 ⎞
⎥⎦ 3 , π ⎢⎣ ∨ ⎥⎦ 3 ,2π ⎥⎦ e si annulla in x = 3 in cui ha un massimo relativo M ⎜⎝ 3 , 4 ⎟⎠ , in x = 3
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⎛ 4π 1 ⎞
, ⎟ ed in x = π in cui ha un minimo relativo m(π ,0 ) , in
in cui ha un massimo relativo M 1 ⎜
⎝ 3 4⎠
x=
4π
⎛ 4π 1 ⎞
in cui ha un massimo relativo M 1 ⎜
, ⎟
3
⎝ 3 4⎠
Concavità e convessità: F ' ' ( x ) = 2 cos(2 x ) + cos( x ) = 4 cos 2 ( x ) + cos(x ) − 2 pertanto la funzione
presenta flessi alle ascisse tali che
− 1 ± 33
⇒
8
⎛ − 1 + 33 ⎞
⎛ − 1 + 33 ⎞
⎟, x = 2π − arccos⎜
⎟.
x = arccos⎜⎜
⎟
⎜
⎟
8
8
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 + 33 ⎞
⎛ 1 + 33 ⎞
⎟, x = 2π − arccos⎜
⎟
x = arccos⎜⎜
⎟
⎜ 8 ⎟
8
⎝
⎠
⎝
⎠
cos( x ) =
Il grafico è di seguito presentato:
Già dal grafico si evidenzia la simmetria della curva rispetto alla retta x = π . La dimostrazione
analitica di ciò si ha sottoponendo la funzione F (x ) = − cos( x )(cos( x ) + 1) alla trasformazione
⎧ X = 2π − x
da cui Y = − cos(2π − X )(cos(2π − X ) + 1) = − cos( X )(cos( X ) + 1) c.v.d.
⎨
⎩Y = y
Punto 3
Si scrivano le equazioni della retta tangenti alla curva nei suoi due punti A e B di ascisse
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π
2
e
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3π
e si determini il loro punto d’intersezione C.
2
L’equazione
della
retta
tangente
in
⎛π ⎞
⎜ ,0 ⎟
⎝2 ⎠
π⎞
⎛
y = m⎜ x − ⎟
2⎠
⎝
è
con
π⎞
⎛π ⎞
⎛
⎛π ⎞
m = F ' ⎜ ⎟ = [sin (x )(2 cos(x ) + 1)]x = π = 1 da cui la retta tangente in ⎜ ,0 ⎟ è y = ⎜ x − ⎟ .
2
2⎠
⎝2 ⎠
⎝
⎝2⎠
Analogamente
⎛ 3π
m = F '⎜
⎝ 2
l’equazione
della
retta
tangente
in
⎛ 3π ⎞
⎜ ,0 ⎟
⎝ 2 ⎠
⎞
⎟ = [sin ( x )(2 cos( x ) + 1)]x = 3π = −1 da cui la retta tangente in
2
⎠
è
3π ⎞
⎛
y = m⎜ x −
⎟
2 ⎠
⎝
3π
⎛ 3π ⎞
⎛
⎜ ,0 ⎟ è y = −⎜ x −
2
⎝ 2 ⎠
⎝
con
⎞
⎟.
⎠
⎛ π⎞
Le due tangenti si incontrano nel punto C ⎜ π , ⎟
⎝ 2⎠
Punto 4
Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva e le due suddette tangenti.
L’area è rappresentata in grigio nella figura sottostante:
e vale:
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π
Area = S ( ABC ) − 2 ∫ [− cos( x )(cos( x ) + 1)]dx =
π
2
=
π
⎡ cos(2 x ) + 1
⎤
+ 2∫ ⎢
+ cos( x )⎥ dx =
+ [cos(2 x ) + 1 + 2 cos( x )]dx =
4
2
4 π∫
⎦
π ⎣
π
2
π
2
π
2
π
2
2
=
π
2
π
π
⎡1
⎤
⎡π
⎤
+ ⎢ sin (2 x ) + x + 2 sin ( x )⎥ =
+ [π ] − ⎢ + 2⎥ =
π
4 ⎣2
4
⎦
⎣2
⎦
2
2
=
4
+
π
2
−2=
π + 2π − 8
2
4
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=
(π + 4)(π − 2)
4
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QUESTIONARIO
Quesito 1
Si determini la distanza delle due rette parallele:
3 x + y − 3 10 = 0
6 x + 2 y + 5 10 = 0
Consideriamo un generico punto della prima retta e poi calcoliamo la distanza di esso dalla seconda.
Un punto appartenente alla prima retta è
d=
6 ⋅ 10 + 2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 10
6 +2
2
2
=
11 ⋅ 10
2 ⋅ 10
=
( 10 ,0)
e la sua distanza da 6 x + 2 y + 5 10 = 0 è
11
.
2
Quesito 2
Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r in modo che la base
maggiore contenga il diametro. Si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezza x
dell’angolo acuto del trapezio, affinché il solido da esso generato in una rotazione completa
attorno alla base maggiore abbia volume minimo.
Consideriamo la figura sottostante:
π
Poniamo x = CBˆ F con 0 < x < .
2
Si ha: CF = r , FB =
r
cos( x )
OE
r
=r
, OB =
=
, per cui
tan ( x )
sin ( x )
sin ( x ) sin (x )
CD = AO + OF = AO + OB − FB = r +
⎡1 + sin ( x ) − cos( x ) ⎤
cos( x )
r
−r
= r⎢
⎥.
sin ( x )
sin ( x )
sin ( x )
⎣
⎦
Il solido generato da una rotazione completa attorno alla base maggiore non è altro che un cilindro
di altezza CD e raggio di base CF cui si sovrappone un cono di altezza FB e raggio di base CF.
Quindi
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V = VCilindro + VCono = πr 2 ⋅ CD +
πr 2 ⋅ FB
3
=
πr 3 ⎡ ⎛ 1 + sin ( x ) − cos( x ) ⎞ cos( x ) ⎤
πr 2
3
(3CD + FB ) =
⎟⎟ +
⎢3⎜
⎥=
3 ⎣ ⎜⎝
sin (x )
⎠ sin ( x ) ⎦
πr 3 ⎡⎛ 3 + 3 sin (x ) − 2 cos( x ) ⎞⎤
⎟⎟⎥
=
⎢⎜
3 ⎣⎜⎝
sin ( x )
⎠⎦
=
Calcoliamo la derivata della funzione volume:
V '=
=
πr 3 ⎡ sin ( x )(3 cos( x ) + 2 sin ( x )) − cos( x )(3 + 3 sin ( x ) − 2 cos( x )) ⎤
3 ⎢⎣
⎥=
⎦
sin 2 ( x )
πr 3 ⎡ 2 − 3 cos( x ) ⎤
3 ⎢⎣ sin 2 ( x ) ⎥⎦
La funzione volume, considerando il limite geometrico 0 < x <
⎛
⎛2⎞ π ⎞
crescente in ⎜⎜ arccos⎜ ⎟, ⎟⎟ , strettamente decrescente in
⎝3⎠ 2 ⎠
⎝
⎛2⎞
x = arccos⎜ ⎟ ≅ 48°11'22' '
⎝3⎠
in
cui
il
π
2
, risulta essere strettamente
⎛
⎛ 2 ⎞⎞
⎜⎜ 0, arccos⎜ ⎟ ⎟⎟ e si annulla in
⎝ 3 ⎠⎠
⎝
volume
assume
valore
⎡⎛
⎡⎛ 5
⎞⎤
4 4 ⎞⎤
+ 5 ⎟⎥
⎢⎜ 3 + 3 1 − − ⎟⎥
3 ⎢⎜
⎛
⎛ 2 ⎞ ⎞ πr ⎢⎜
9 3 ⎟⎥ πr ⎢⎜ 3
⎟⎥ = πr 3 5 + 3 5 = πr 3
=
V ⎜⎜ arccos⎜ ⎟ ⎟⎟ =
⎟
⎜
⎥
3 ⎢
3 ⎢⎜
4
5 ⎟⎥
3 5
⎝ 3 ⎠⎠
⎝
⎟⎥
1−
⎟⎥
⎢⎜
⎢⎜
9
⎣⎝ 3 ⎠⎦
⎠⎦
⎣⎝
(
3
)
(
minimo
)
5 +3
3
Quesito 3
Si determinino le equazioni degli asintoti della curva:
f (x ) = − x + 1 + x 2 + 2 x + 2
La funzione f ( x ) = − x + 1 + x 2 + 2 x + 2 è definita e continua su tutto l’asse reale, per cui
sicuramente non ammetterà asintoti verticali.
Vediamo se esistono asintoti orizzontali:
[
lim [− x + 1 +
]
+ 2 x + 2 ] = (− ∞ + ∞ )
lim − x + 1 + x 2 + 2 x + 2 = (+ ∞ + ∞ ) = +∞
x → −∞
x → +∞
x2
e razionalizzando si ha
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⎡
lim ⎢
x → +∞
⎢⎣
⎤
⎡
⎥
⎢
(
4 x + 1)
− x + 1 + x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2 + x − 1 ⎤
⎥
⎢
= lim ⎢
⎥
⎥=2
2 2
1 ⎞⎥
x 2 + 2x + 2 + x − 1
⎥⎦ x→+∞ ⎢ ⎛⎜
x 1 + + 2 + 1 − ⎟⎟
⎢⎣ ⎜⎝
x x
x ⎠ ⎥⎦
)(
(
in cui si è sfruttato che per
)
x → +∞ vale x = x , per cui la retta y = 2 è asintoto orizzontale
destro.
Vediamo se esistono asintoti obliqui: essi avranno equazione y = mx + q .
⎡ ⎛
1
2 2 ⎞⎤
x⎜⎜ − 1 + − 1 + + 2 ⎟⎟ ⎥
⎢
⎡ − x + 1 + x 2 + 2x + 2 ⎤ ⎢ ⎝
x
x x ⎠⎥
m = lim ⎢
⎥=⎢
⎥ = −2
x → −∞
x
x
⎥⎦ ⎢
⎢⎣
⎥
⎢⎣
⎥⎦
[
]
[
]
q = lim − x + 1 + x 2 + 2 x + 2 + 2 x = lim x + 1 + x 2 + 2 x + 2 =
x → −∞
⎡
= lim ⎢
x → −∞
⎢⎣
x → −∞
⎤
⎡
⎥
⎢
1
x + 1 + x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2 − x − 1 ⎤
⎥
⎢
= lim ⎢
⎥
⎥=0
2 2
1 ⎞⎥
x 2 + 2x + 2 − x − 1
⎥⎦ x →+∞ ⎢ ⎛⎜
− x 1 + + 2 + 1 + ⎟⎟
⎢⎣ ⎜⎝
x x
x ⎠ ⎥⎦
(
)(
)
in cui si è sfruttato che per x → −∞ vale x = − x , per cui la retta y = −2 x è asintoto obliquo
sinistro.
Vediamo se esiste anche un asintoto obliquo destro:
⎡ − x + 1 + x 2 + 2x + 2 ⎤
m = lim ⎢
⎥
x → +∞
x
⎦⎥
⎣⎢
[
]
⎡ ⎛
1
2 2 ⎞⎤
x⎜⎜ − 1 + + 1 + + 2 ⎟⎟ ⎥
⎢
x =x
x
x x ⎠⎥
⎢
= ⎢ ⎝
⎥=0
x
⎥
⎢
⎥⎦
⎢⎣
q = lim − x + 1 + x 2 + 2 x + 2 = 2
x → +∞
Per cui in conclusione esiste un asintoto orizzontale destro di equazione y = 2 ed un asintoto
obliquo sinistro di equazione y = −2 x come il grafico della funzione mostra:
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Quesito 4
Si calcoli il limite della funzione:
cos( x ) − cos(2 x )
1 − cos( x )
quando x tende a 0.
Possiamo seguire due strade: applicare o meno il teorema di De L’Hopital. Le mostreremo
entrambe:
•
Uso di de l’Hopital
⎡ cos(x ) − cos(2 x ) ⎤
⎡ − sin ( x ) + 4 sin ( x ) cos( x ) ⎤
= lim ⎢
lim ⎢
[4 cos(x ) − 1] = 3
⎥
⎥ = lim
x →0
x
→
0
sin ( x )
⎣ 1 − cos( x ) ⎦
⎣
⎦ x →0
•
Senza de l’Hopital
La
funzione
di
cui
calcolare
il
limite
è
⎡ cos( x ) − cos(2 x ) ⎤ ⎡ − 2 cos 2 ( x ) + cos( x ) + 1⎤ ⎡ (1 − cos( x ))(2 cos( x ) + 1) ⎤
⎥=⎢
⎥ = (2 cos( x ) + 1)
⎢ 1 − cos( x ) ⎥ = ⎢
1 − cos( x )
1 − cos(x )
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎡ cos( x ) − cos(2 x ) ⎤
Per cui lim ⎢
⎥ = lim[(2 cos( x ) + 1)] = 3
x →0
⎣ 1 − cos( x ) ⎦ x →0
Quesito 5
(
)
Si calcoli il valore medio della funzione f ( x ) = log x + 1 + x 2 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1.
b
1
Il valore medio di una funzione f ( x ) in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è VM =
f ( x )dx .
b − a ∫a
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)
(
1
In tal caso si ha VM = ∫ log x + 1 + x 2 dx ed applicando l’integrazione per parti troviamo:
0
⎛
x
x ⋅ ⎜⎜1 +
1+ x2
−∫ ⎝
x + 1+ x2
0
⎞
⎟
⎟
⎠dx =
[ (
)]
x⋅
= [x log(x + 1 + x )] − ∫
dx =
1+ x
= [x log(x + 1 + x )] − [ 1 + x ] = log(1 + 2 ) + 1 −
VM = x log x + 1 + x 2
2
1
1
0
1
1
0
2
0
2
1
2
1
0
0
2
Quesito 6
Si sechi il solido di una sfera con un piano, in modo che il circolo massimo sia medio
proporzionale fra le superficie appianate delle calotte nelle quali rimane divisa la sfera.
Il circolo massimo di una sfera di raggio r ha superficie S C = π ⋅ r 2 , mentre le superfici delle due
calotte
appianate
di
altezze
S C1 = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, S C 2 = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (2r − h ) .
(2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h ) ⋅ [2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (2r − h )] = π 2 ⋅ r 4
h
Va
e
(2r − h )
quindi
sono
rispettivamente
impostata
l’equazione
⎛4±2 3⎞
⎛2± 3⎞
⎟ = r⎜
⎟
da cui 4h 2 − 8rh + r 2 = 0 ⇒ h1, 2 = r ⎜⎜
⎟
⎜ 2 ⎟
4
⎝
⎠
⎝
⎠
che sono rispettivamente le due altezze delle due calotte. In conclusione la sfera va divisa in modo
⎛2− 3⎞
⎛2+ 3⎞
⎟, h2 = r ⎜
⎟
che le due calotte abbiano altezze h1 = r ⎜⎜
⎟
⎜ 2 ⎟.
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Quesito 7
x
2
La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione f ( x ) = e ( x + 1) e dall’asse x
nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1 è la base di un solido S le cui sezioni sono tutte esagoni regolari. Si
calcoli il volume di S.
Un esagono regolare è composto da 6 triangoli equilateri di lato l, per cui la sua area sarà
2
x
⎤
3 2 3 3 2 3 3 ⎡ 2
3 3 x
2
A( x ) = 6 ⋅
⋅l =
⋅l =
⋅ ⎢e ( x + 1)⎥ =
⋅ e ( x + 1)
4
2
2 ⎣
2
⎦
1
ed
il
suo
volume
1
3 3 x
3 3
2
2
⋅ e ( x + 1) dx =
⋅ ∫ e x ( x + 1) dx . Applicando l’integrazione per parti si ha:
2
2
0
0
V =∫
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[
1
3 3
3 3 ⎧ x
2
2
V =
⋅ ∫ e x ( x + 1) dx =
⋅ ⎨ e ( x + 1)
2 0
2 ⎩
=
[
3 3 ⎧ x
2
⋅ ⎨ e ( x + 1)
2 ⎩
] − 2∫ e (x + 1)dx⎫⎬ =
1
1
x
0
⎭
0
] − [2e (x + 1)] + 2∫ e dx⎫⎬ =
1
1
x
0
1
x
0
0
{[
]}
⎭
1
3 3
2
⋅ e x ( x + 1) − 2e x ( x + 1) + 2e x 0 =
2
3 3
3 3
=
⋅ {[4e − 4e + 2e] − [1 − 2 + 2]} =
⋅ (2e − 1)
2
2
=
Quesito 8
Si stabilisca per quali valori del parametro reale k esiste una piramide triangolare regolare
tale che k sia il rapporto fra il suo apotema e lo spigolo di base.
Consideriamo la figura sottostante:
Come è facile sperimentare, quando V coincide con H, piede dell'altezza della piramide, questa
degenera nel triangolo di base ed, essendo H il baricentro del triangolo di base, la lunghezza
dell'apotema MV non può essere inferiore alla lunghezza di MH, la cui misura è un terzo della
lunghezza
dell'altezza
del
triangolo
Quindi il rapporto k = MV / BC deve essere maggiore di
stesso.
.
Quesito 9
Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione:
(
)
f (x ) = x 2 + 1
nel punto P di ascissa x =
π
2
sin ( x )
.
⎞
⎛π π 2
π ⎞ ⎛π 2 ⎞
⎛
Il punto P è ⎜⎜ ,
+ 1⎟⎟ e la tangente in esso ha generica equazione y = m⎜ x − ⎟ + ⎜⎜
+ 1⎟⎟ . La
2⎠ ⎝ 4
⎝
⎠
⎠
⎝2 4
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(
)
funzione f ( x ) = x 2 + 1
(
)
f ' (x ) = x 2 + 1
sin ( x )
sin ( x )
2
può essere riscritta come f ( x ) = e sin ( x )⋅ln (x +1) e la sua derivata è
(
)
2x ⎤
⎡
⋅ ⎢cos( x ) ⋅ ln x 2 + 1 + sin ( x ) ⋅ 2
,
x + 1⎥⎦
⎣
pertanto
⎡
⎤
2
⎢
⎛
⎞
π ⎥
π ⎞ ⎛π 2 ⎞
π2
⎛π ⎞ ⎜π
⎛
⎟
⎜
⎟
⎥ = π da cui la tangente y = π ⎜ x − ⎟ + ⎜
+ 1⎟ ⋅ ⎢ 2
m = f '⎜ ⎟ = ⎜
+ 1⎟ = π ⋅ x −
+1.
2⎠ ⎝ 4
4
⎝2⎠ ⎝4
⎝
⎠
⎠ ⎢ π + 1⎥
⎢⎣ 4
⎥⎦
Quesito 10
Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che
(
)
cosa rappresenta l’insieme dei punti P 1 + t 2 ,1 + t 2 , ottenuto al variare di t nei reali.
(
)
L’insieme dei punti P 1 + t 2 ,1 + t 2 , visto che l’ordinata è uguale all’ascissa e che 1 + t 2 ≥ 1 ∀t ∈ R ,
non è altro che la semiretta di equazione y = x con x ≥ 1 .
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