Geometria euclidea, affine e
proiettiva
Anno accademico 2008/09
Presentazione del corso
g.e.a.p. 08/09
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Quante geometrie?
Felix Klein, 1872, “Programma di Erlangen”
S, insieme di punti
G, gruppo di trasformazioni di S
una teoria geometrica di S consiste nello studio delle
proprietà delle figure di S che sono
invarianti
rispetto alle trasformazioni del gruppo G
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Figure equivalenti rispetto a G
Dati
• F, F’ sottoinsiemi di S, figure
• φ Є G, φ: S → S bigettiva (trasformazione)
diremo che
• F è equivalente a F’ rispetto a G , F G F’
se
F = φ(F’)
Esercizio
• La relazione G è riflessiva, simmetrica, transitiva
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Dal programma di Klein segue:
se la geometria dello spazio S dotato del
gruppo G è la ricerca e lo studio delle
proprietà delle figure di S che sono
invarianti rispetto alle trasformazioni del
gruppo G, allora
figure equivalenti rispetto a G hanno
le stesse proprietà geometriche.
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Trasformazioni in natura: ombre
• Raggi del sole a
perpendicolo: figura e
ombra hanno lati e
angoli uguali
(isometria,
trasformazione
euclidea)
• Lampada sulla
verticale: figura e
ombra sono simili
• Figure da M. Menghini
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Altre ombre e trasformazioni
• Ombra prodotta dai
raggi del sole: i
quadrati diventano
parallelogrammi,
trasformazione affine
• Ombra da una
lampada: i quadrati si
proiettano in
quadrilateri generici,
proiettività
– Figura da M. Menghini
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Perché la geometria proiettiva?
E’ il modello matematico che spiega
l’insieme delle tecniche – la prospettiva trovate dai pittori del Rinascimento
– Leon Battista Alberti, De pictura, 1435
– Piero della Francesca, De prospectiva
pingendi, 1482
– Albrecht Dürer, L’arte della misura, 1525
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Pittura e geometria
poiché la geometria è il giusto fondamento di ogni
pittura, ho deciso di insegnare i suoi rudimenti e
principi a tutti i giovani che vogliono apprendere
l’arte... (A. Dürer)
• Dürer è in Italia, dove, a Venezia nel 1505 viene
stampata Ottica, di Euclide
• Gli studi sulla prospettiva trovano compimento
nell’opera di Desargues, La prospettiva, 1636
– http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html
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Che cosa è la prospettiva?
• Per farcene un’idea, cominciamo
osservando alcuni quadri
• Molte fra le immagini che seguono sono
tratte dal CD allegato al testo “Le
geometrie della visione” di CatastiniGhione
• Per i disegni, è stato usato un software di
geometria
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Confrontate questo dipinto…
Duccio da
Boninsegna
(ca. 1255-1319)
Nozze di Canaan
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…con questo dipinto
Raffaello Sanzio
(1483-1520)
Sposalizio della vergine
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Il modello della piramide visiva
(figura da E.Danti, 1536-1586)
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I raggi visivi che colpiscono una retta
giacciono in un piano
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Il piano dei raggi visivi taglia il quadro in una retta
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Corrispondenza tra retta
osservata e retta immagine
• Supponiamo che l’occhio segua un punto
P che si muove lungo una retta…
• C:\Documents and
Settings\daprile1\Documenti\geap0809\rett
aguardata.fig
• La corrispondenza P P’ è una bigezione
tra le due rette?
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Ci sono delle eccezioni
• C’è un punto I sulla retta guardata che non
ha corrispondente sul quadro e c’è un
punto J sul quadro che non è immagine di
nessun punto sulla retta osservata.
• Le eccezioni sono dovute all’esistenza di
rette parallele.
• Come vengono viste nel quadro due rette
parallele del pavimento?
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Rette parallele sono viste incidenti
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Il punto di fuga
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Punti all’infinito
• Le immagini di due rette parallele si intersecano
in un punto, il punto di fuga
• che si può pensare come immagine di un punto
lontano, dove convergono le due rette parallele,
il punto all’infinito delle due rette
• La proiezione dall’occhio, corrispondenza quasi
biunivoca tra una retta e la sua immagine,
diviene bijettiva con l’introduzione dei punti
all’infinito
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In linguaggio simbolico
Siano:
• r la retta osservata dall’occhio O
• r’ la retta sezione del piano del quadro con il
piano di O ed r
• nel fascio di centro O, p la retta parallela ad r,
p’ la parallela ad r’
• I = rp’, J =r’p
• R il punto all’infinito di r
• R’ il punto all’infinito di r’.
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Proiezione di centro O
È l’applicazione
O: r  r’,
definita come segue
• se Pr, PI, P R,
O(P) = P’ , tale che O,P,P’ siano allineati
• se P = I, O(P) = R’
• se P = R, O(P)= J
O è una bijezione
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La proiezione, come funzione
dallo spazio al quadro
• Ogni punto P, diverso da O, ha una immagine P’ sul
quadro
– se la retta OP è parallela al quadro, l’immagine di P è un punto
della retta limite, o orizzonte
• Ogni punto P’ del quadro è immagine di infiniti punti,
appartenenti alla retta OP’
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Da un’applicazione non iniettiva…
Siano: S lo spazio,  il piano del quadro,  un
piano che non passi per O. L’applicazione non
iniettiva “proiezione da O”
O: S \  
induce un’applicazione O|:  , che è iniettiva
se ai due piani si aggiungono i punti impropri
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La proiezione del pavimento
• Ogni punto P’ del quadro è immagine di un solo P del piano del
pavimento: la proiezione da O è biunivoca tra pavimento e quadro
• Linea di terra: retta comune ai due piani; i punti della linea di terra
hanno come immagine se stessi
• I punti all’infinito del pavimento hanno come immagine i punti “di
fuga”, o punti della retta “limite”, o dell’”orizzonte”
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Il pittore disegna su un semipiano
• Gli interessa la corrispondenza tra il pavimento al di là
del quadro e il quadro
• Se P descrive una semiretta nel pavimento, la sua
immagine nel quadro descrive un segmento
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Iniziare dal pavimento
• La raffigurazione del pavimento è un
espediente per dare la sensazione di
profondità
• Alle tecniche empiriche usate nelle
botteghe del suo tempo, Piero della
Francesca sostituisce una tecnica basata
sullo studio di una trasformazione della
geometria proiettiva, detta “omologia”
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L’omologia di Piero della Francesca
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Il pavimento e le alzate
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Il pavimento a piastrelle di Fra Lippi
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La città ideale
(scuola di Piero della Francesca o L. B. Alberti ?)
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Scopo del corso
• Conoscere i fondamenti della geometria
proiettiva
• Classificare le trasformazioni del piano proiettivo
in sé, riconoscendo tra queste l’omologia di
Piero
• Studiare le geometrie affine ed euclidea come
sottogeometrie della geometria proiettiva
• Costruire le classificazioni proiettiva, affine,
metrica delle curve piane del secondo ordine
(coniche)
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Indice indicativo
• Il piano proiettivo come ampliamento del piano
della geometria elementare
• Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività,
proiettività tra rette
• Spazi proiettivi, dualità
• Proiettività del piano, omologia
• Affinità, isometrie
• Polarità, coniche e quadriche
– Classificazioni proiettive e affini
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Prequisiti al corso
• Geometria analitica elementare:
– equazioni cartesiane e parametriche di rette e coniche nel piano,
– di rette, piani, cilindri, sfere nello spazio.
• Sistemi lineari:
– il teorema di Rouché-Capelli, autosoluzioni di un sistema lineare
omogeneo.
• Algebra lineare:
– spazi vettoriali, sottospazi, dimensioni, formula di Grassmann,
– applicazioni lineari e matrici associate, nucleo e immagine di
un’applicazione lineare, relazione tra rango della matrice e
dimensioni del nucleo e dell’immagine dell’applicazione
associata alla matrice;
– autovalori e autovettori
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Testi
• Beltrametti, Carletti, Gallarati, Monti
Bragadin, Lezioni di geometria analitica
e proiettiva, Bollati Boringhieri, Torino,
2002
• Catastini-Ghione, Le geometrie della visione,
Springer, 2003,
http://www.mat.uniroma2.it/mep
• Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri,
Torino, 1989
• Stillwell, The four pillars of geometry,
Springer, New York, 2005
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Siti utili
• Siti di storia:
– http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html
– http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/HistTopics/Architecture.html
• Altri siti di geometria
– www.treccani.it/site/Scuola/Zoom/prospettiva/scuola_zo
om.htm
• Appunti ed esercizi del corso e altri materiali
http://www.mat.unical.it/%7Edaprile/Materiali.htm
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Aiuti allo studio
•
Un compito a casa ogni settimana (per sette volte,
possibilmente)
•
esercitazione scritta a metà corso
influiscono sul voto finale
Proposta, basata sull’esperienza dell’anno scorso:
indicato con v il voto della prova intermedia,
•
Se v < 18 , non ha nessun effetto sul voto finale
•
Se 18  v  26 , viene aggiunto 1 punto al voto finale
•
Se 27  v  30 con lode , vengono aggiunti 2 punti al voto finale.
•
A chi consegna almeno la metà dei compiti , viene
aggiunto un punto
•
Se invece almeno quattro compiti a casa erano corretti,
due punti
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Aiuti allo studio
Ricevimento
lunedì dalle 14.30 alle 16, sesto piano
(livello ponte
carrabile)
per appuntamento: tel. 0984/496452, posta el.
[email protected]
•
•
Esame scritto e orale sugli argomenti
svolti nelle lezioni. E’ obbligatoria la
prenotazione https://didattica.unical.it/
Tutor?
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