Geometria euclidea,
affine e proiettiva
Anno accademico 2007-2008
1 ottobre – 1 dicembre 2007
Quante geometrie?
Felix Klein, 1872, “Programma di Erlangen”
S, insieme di punti
G, gruppo di trasformazioni di S
Ricerca delle proprietà che non variano
Figure equivalenti rispetto a G
F, F’ sottoinsiemi di S, figure
φ: S → S bigettiva (trasformazione)
φ ЄG
F equivalente a F’ rispetto a G
F G F’ se F = φ(F’)
La relazione G è riflessiva, simmetrica,
transitiva
Il programma di Erlangen
La geometria dello spazio S dotato del
gruppo G è la ricerca e lo studio delle
proprietà delle figure di S che sono
invarianti rispetto alle trasformazioni del
gruppo G.
Figure equivalenti rispetto a G hanno le
stesse proprietà geometriche.
Trasformazioni in natura: ombre
Raggi del sole a
perpendicolo: figura e
ombra hanno lati e
angoli uguali
(isometria,
trasformazione
euclidea)
Lampada sulla
verticale: figura e
ombra sono simili
Figure da M. Menghini
Altre ombre e trasformazioni
Ombra prodotta dai
raggi del sole: i
quadrati diventano
parallelogrammi,
trasformazione affine
Ombra da una
lampada: i quadrati si
proiettano in
quadrilateri generici,
proiettività

Figura da M. Menghini
Perché la geometria proiettiva?
modello matematico che spiega l’insieme
delle tecniche – la prospettiva - trovate dai
pittori del Rinascimento



Leon Battista Alberti, De pictura, 1435
Piero della Francesca, De prospectiva
pingendi, 1482
Albrecht Dürer, L’arte della misura, 1525
Pittura e geometria
poiché la geometria è il giusto fondamento
di ogni pittura, ho deciso di insegnare i
suoi rudimenti e principi a tutti i giovani
che vogliono apprendere l’arte... (A. Dürer)
Euclide, Ottica, stampata a Venezia nel
1505
Desargues, La prospettiva, 1636

http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html
Che cosa è la prospettiva?
Per farcene un’idea, cominciamo
osservando alcuni quadri
Molte fra le immagini che seguono sono
tratte dal CD allegato al testo “Le
geometrie della visione” di CatastiniGhione
Per i disegni, è stato usato un software di
geometria
Confrontate questo dipinto…
Duccio da
Boninsegna
(ca. 1255-1319)
Nozze di Canaan
…con questo dipinto
Raffaello Sanzio
(1483-1520)
Sposalizio della vergine
Il modello della piramide visiva
(figura da E.Danti, 1536-1586)
I raggi visivi che colpiscono una retta giacciono in
un piano
Il piano dei raggi visivi taglia il quadro in una retta
Se P descrive una retta del
pavimento, P’ .....
Nel piano definito dall’occhio e dalla retta
osservata, i raggi visivi stabiliscono una
corrispondenza tra la retta osservata e la
sua immagine sul quadro
CabriII
Come vengono viste nel quadro due rette
parallele del pavimento?
Rette parallele sono viste incidenti
Il punto di fuga
Punti all’infinito
Le immagini di due rette parallele si intersecano
in un punto
Il punto di fuga si può pensare come immagine
di un punto lontano, dove convergono le due
rette parallele, il punto all’infinito
La proiezione dall’occhio è una corrispondenza
quasi biunivoca tra una retta e la sua immagine
Con l’introduzione dei punti all’infinito diviene
bijettiva
La proiezione, funzione dispettosa
Ogni punto P dello spazio, diverso da O
(occhio) ha una ben definita immagine sul
piano del quadro

se la retta OP è parallela al quadro,
l’immagine di P è un punto all’infinito
Ogni punto P’ del quadro è immagine degli
infiniti punti della retta OP’
Fissato un piano  diverso dal quadro,ogni
P’ del quadro è immagine di un solo P  
Pavimento e quadro
La proiezione da O è biunivoca tra pavimento e
quadro
Linea di terra: retta comune ai due piani
I punti della linea di terra hanno come immagine
se stessi
Il pittore disegna su un semipiano
Studiamo la corrispondenza tra il pavimento al di là del
quadro e il quadro
Se P descrive una semiretta nel pavimento, la sua
immagine nel quadro descrive un segmento
L’omologia di Piero della Francesca
Il pavimento e le alzate
Il pavimento a piastrelle di Fra Lippi
Nello spazio ampliato
Si estendono agli elementi impropri
proprietà valide per quelli propri:


Due punti all’infinito individuano una retta
all’infinito che li contiene entrambi
Due rette all’infinito hanno in comune uno ed
un solo punto all’infinito
Senza distinguere propri, impropri
Due punti
individuano una retta
a cui appartengono
(retta congiungente)
Tre punti che non
appartengono ad una
stessa retta,
individuano un piano
a cui essi
appartengono (piano
congiungente)
Due piani individuano
una retta, che
appartiene ad
entrambi (loro
intersezione)
Tre piani, che non
appartengano ad una
stessa retta,
individuano un punto,
in cui si tagliano
Senza distinguere propri, impropri
Un punto ed una retta
che non si appartengono,
individuano un piano
(congiungente) a cui
appartengono entrambi
Se due punti di una retta
appartengono a un piano,
la retta appartiene al
piano
Due rette per uno stesso
punto appartengono ad
uno stesso piano
Un piano ed una retta,
che non si appartengano,
individuano un punto
(intersezione) che
appartiene a entrambi
Se due piani per una retta
contengono un punto, la
retta passa per il punto
Due rette appartenenti ad
uno stesso piano
passano per uno stesso
punto
La geometria proiettiva sintetica
Le proposizioni precedenti vengono prese
a fondamento della teoria
Teoria assiomatica:


nozioni primitive: punti, rette, piani, relazione
di appartenenza
assiomi “grafici”
Dualità: ogni assioma grafico si cambia in
un altro se si scambiano le parole punto e
piano
Geometria proiettiva algebrica
analitica:
punti, rette, piani sono determinati da
coordinate o da equazioni omogenee
Coordinate omogenee
Quoziente di uno spazio vettoriale
Indice indicativo
Il piano proiettivo come ampliamento del piano
della geometria elementare
Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività,
proiettività tra rette
Spazi proiettivi, dualità
Proiettività del piano, omologia
Affinità, isometrie
Polarità, coniche e quadriche

Classificazioni proiettive e affini