Omologia e CABRI
Definizioni
Chiameremo piano proiettivo il piano euclideo completato con i punti della retta all’infinito.
I punti all’infinito del piano proiettivo si dicono punti impropri, la retta all’infinito si dice retta
impropria.
Dati due piani proiettivi, α e β definiamo trasformazione proiettiva, o proiettività, di α in β ogni
corrispondenza biunivoca che conservi l’allineamento.
Una proiettività di un piano proiettivo in sé si dice omologia se ha una retta di punti uniti, asse
dell’omologia, e un punto unito, centro dell’omologia.
Se il centro appartiene all’asse l’omologia è detta speciale.
Principali proprietà dell’omologia
1. Punti corrispondenti sono allineati con il centro dell’omologia.
La dimostrazione di questa proprietà si trova nel capitolo V del libro §6.
2. Rette corrispondenti si incontrano in un punto dell’asse.
La dimostrazione di questa proprietà si trova nel capitolo V del libro §6.
Nella figura P è il centro dell’omologia, A’ è l’omologo di A e la retta A’T è l’omologa della retta
AT.
ATTENZIONE. Se A’ è l’omologo, o corrispondente, di A rispetto all’omologia f in generale non è
vero che A è l’omologo di A’ rispetto alla stessa omologia.
3. Un omologia sul piano è individuata dal centro, l’asse e una coppia di punti corrispondenti.
La dimostrazione di questa proprietà, che si trova nel capitolo V del libro §6, è ottenuta a partire dal
teorema di Desargues.
4. Ogni retta parallela all’asse si trasforma in una retta parallela all’asse e rette parallele (non
parallele all’asse) si trasformano in rette convergenti.
Costruzioni per la barra dell'omologia.
La barra comprende una serie di macro il cui nome appare cliccando sul corrispondente pulsante. A
partire dalla barra dell'omologia, si apre ("nuovo") un foglio di lavoro e su questo possiamo
utilizzare gli strumenti dell'omologia che si trovano sulla barra in alto a destra.
Come abbiamo già detto un’omologia è univocamente determinata se è dato l’asse r, il centro P e
due punti corrispondenti A e A’ allineati con P e le nostre costruzioni partono da questi dati iniziali.
Nota bene: se indichiamo con φ l’omologia di centro P e asse r che porta A in A’, l’omologia di
centro P e asse r che porta A’ in A è l’omologia inversa che, generalmente come abbiamo detto, non
coincide con φ.
Costruzione della macro "omologia".
Oggetti iniziali (in questo ordine)
• il centro P,
• l’asse r ( il centro non appartiene all’asse),
• due punti corrispondenti A e A’ (allineati con P).
• un punto B.
Oggetto finale
• il punto B' omologo di B nella unica omologia con centro P asse r che trasforma A in A'.
Costruzione di B':
•
•
•
si costruisce la retta AB
si trova punto T di intersezione di AB con l’asse.
si trova il punto di intersezione delle due rette PB e A’T. Questo è il punto B’ cercato.
Nota bene: se indichiamo con φ l’omologia di centro P e asse r che porta A in A’, l’omologia di
centro P e asse r che porta A’ in A è l’omologia inversa che, generalmente come abbiamo detto, non
coincide con φ. Se, utilizzando la macro definita, si clicca, nell’ordine su P, r, A’, A e B si otterrà
quindi l’omologia inversa.
Un’omologia, come ogni proiettività, conserva l’allineamento. Dunque porta rette in rette. Possiamo
verificare sperimentalmente con Cabri questa proprietà.
Sia data un omologia (mediante il suo centro P, l’asse r e la coppia di punti corrispondenti A e A’) e
una retta s. Per costruire con Cabri l’omologo della retta s, prendiamo su s un punto B e ne
costruiamo l’omologo B’ servendoci della macro precedentemente definita.
Costruiamo infine il luogo di B’ al variare di B sulla retta s. Muovendo la retta s si sposterà anche la
sua omologa.
Costruzione della macro "omologo retta".
Oggetti iniziali (in questo ordine)
• il centro P,
• l’asse r ( il centro non appartiene all’asse),
• due punti corrispondenti A e A’ (allineati con P).
• una retta s.
Oggetto finale
• la retta s' omologa di s nella unica omologia, con centro P e asse r, che trasforma A in A'.
La costruzione si ottiene facilmente definendo come oggetto finale la retta che passa per l'omologo
di un punto di s e per il punto nel quale l'asse incontra s.
Costruzione della macro "omologo di un triangolo ".
Oggetti iniziali (in questo ordine)
• il centro P,
• l’asse r ( il centro non appartiene all’asse),
• due punti corrispondenti A e A’ (allineati con P).
• un triangolo T.
Oggetto finale
• il triangolo T' omologo di T nella unica omologia, con centro P e asse r, che trasforma A in
A'.
La costruzione si ottiene facilmente, dato che rette vanno in rette, applicando la macro omologia
sui tre vertici del triangolo iniziale e definendo come oggetto finale il triangolo per i tre punti
omologhi.
Costruzione della macro "omologo P infinito".
La costruzione dell’omologo di un punto all’infinito, che viene individuato da una retta e da tutte le
sue parallele, è molto semplice e si ottiene seguendo le stesse regole seguite per costruire l’omologo
di B (al finito).
Oggetti iniziali (in questo ordine)
• il centro P,
• l’asse r ( il centro non appartiene all’asse),
• due punti corrispondenti A e A’ (allineati con P).
• una retta s che definisce il punto (all'infinito) Binf con quella direzione.
Oggetto finale
• il punto B' omologo di Binf nella unica omologia, con centro P e asse r, che trasforma A in
A'.
Costruzione di B':
•
•
si costruisce la retta ABinf cioè la retta per A parallela ad s
si trova il punto T di intersezione di ABinf con l’asse r.
•
si trova il punto di intersezione delle due rette PBinf e A’T. Questo è il punto B’ cercato.
Le rette limite. Sono due particolari rette, parallele all’asse. Una, L1 è la retta corrispondente della
retta all’infinito del piano, l’altra, L2, è, viceversa, la retta che si trasforma nella retta all’infinito del
piano ed è costituita dai punti che si trasformano nei punti all’infinito del piano.
Costruzione della macro "retta limite (L1)".
Oggetti iniziali (in questo ordine)
• il centro P,
• l’asse r ( il centro non appartiene all’asse),
• due punti corrispondenti A e A’ (allineati con P).
Oggetto finale
• la retta L1
Costruzione di L1: osserviamo che la retta L1 è parallela all’asse r. Quindi per costruire la retta L1
basterà costruire l’omologo B’ di un punto all’infinito Binf (che non sia il punto all’infinito dell’asse
dell’omologia) e quindi la retta parallela all’asse r e passante per il punto B’.
In particolare il punto Binf si può assegnare mediante una retta passante per P. Questo semplifica
molto la costruzione
Costruzione della macro "retta limite (L2)".
Oggetti iniziali (in questo ordine)
• il centro P,
• l’asse r ( il centro non appartiene all’asse),
• due punti corrispondenti A e A’ (allineati con P).
Oggetto finale
• la retta L2
Osserviamo Per costruire la retta limite L2 basterà applicare la macro retta limite (L1) all’omologia
inversa. Infatti nell’omologia inversa le due rette limite si scambiano.
Costruzione della macro "omologo di circ ".
Oggetti iniziali (in questo ordine)
• il centro P,
• l’asse r ( il centro non appartiene all’asse),
• due punti corrispondenti A e A’ (allineati con P).
• una circonferenza C.
Oggetto finale
• la conica C' omologa di C nella unica omologia, con centro P e asse r, che trasforma A in
A'.
La costruzione della macro si ottiene facilmente sapendo che l'immagine di una circonferenza
mediante una omologia è una conica. Applicando allora la macro omologia su 5 punti della
circonferenza C e poi costruendo la conica per i 5 punti omologhi otteniamo l'oggetto finale della
macro.
Casi Particolari
Per particolari posizioni al finito o all'infinito dell'asse e del polo di una omologia otteniamo
trasformazioni note che rientrano quindi come casi particolari di omologie nell'ambito della
geometria proiettiva.
1. Omologia con asse al finito e centro all’infinito
Una omologia con asse proprio e centro improprio viene detta omologia affine o affinità. La sua
costruzione è descritta nella figura seguente dove è stato realizzato il triangolo omologo di un
triangolo dato ABC.
Affinità
2. Omologia con asse all’infinito e centro al finito
In questo caso otteniamo una omotetia. La sua costruzione è descritta nella figura.
Omotetia
3. Omologia con asse all’infinito e centro all'infinito
In questo ultimo caso otteniamo una traslazione.
Traslazione