Algebra Lineare
Esercizio
Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere
l’equazione cartesiana del piano

passante per il punto Xo := (-2, - 6, 4 )
ed ortogonale ad a .


2
 a  ( X-X o )  0
a
Xo 
X
Esercizio
Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere
l’equazione cartesiana del piano

passante per il punto Xo := (-2, - 6, 4 )
ed ortogonale ad a .


2
 a  ( X-X o )  0
X-Xo = ( x + 2 , y + 6 , z - 4 )
3( x + 2 ) + 2( y + 6 ) + 5( z - 4 ) = 0
3x+2y+5z= 2
componenti di
a
L( x, y, z)  3x  2y  5z
L : R3
FORMA LINEARE
gradiente di L
a
-1
L (3)
Xo
-1
L (2)
3x+2y+5z= 3
3x+2y+5z= 2
R
L : Rn
R
FORMA LINEARE
L( x1 , x 2 , ..., x n )  a1x1  a 2 x 2    a n x n
a : (a1 , a 2 , ..., a n ) x : ( x1 , x 2 , ..., x n )
L(x)  a  x
L(u  v)  a  (u  v) 
L
(
u

v
)

L(
u
)

L
(
v
)
a  u  a  v  L(u)  L( v)
ADDITIVITA’
CONDIZIONI DI LINEARITA’
L(x)  a  (x) 
L( x)   L(x)
 (a  x)   L(x)
OMOGENEITA’
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN
 2 x  3y - 4z  5

 5x - y  2z  3
 x - 2y  z  1

R3
infinite
unica soluzione
soluzioni
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN
 2 x  3y - 4z  5

 5x - y  2z  3
 x - 2y  z  1

R3
unica soluzione
infinite
soluzioni
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN
 2 x  3y - 4z  5

 5x - y  2z  3
 x - 2y  z  1

R3
unica
infinite
nessuna
soluzione
soluzioni
soluzione
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN
R3
 L2 x(x,
y,y z- )4z  5
1 3

- yy,z)
2z  3
 L52x(x,
 Lx (x,
 3 - 2 yy,z)z  1
 L1 ( x , y, z) 


3
3
L:R
R L ( x , y , z )   L 2 ( x , y, z ) 
TRASFORMAZIONE LINEARE
 L ( x , y, z ) 
 3

L(u  v)  L(u)  L( v)
CONDIZIONI DI LINEARITA’
L( x)   L(x)
L:R
R
2
2
L(x) = ( L1(x) , L2(x) )
L1(x011 , 10x2) = a11 x101 + a12 x012
L2(x101 ,, 0x12) = a21 x011 + a22 x012
matrice di
L
A=
a1 = L(e1)
( )
a11
a12
a21
a22
a1
a2
a2 = L(e2)
L:R
R
2
2
L(x) = ( L1(x) , L2(x) )
L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2
L2(x1 , x2) = a21 x1 + a22 x2
A=
( )
a11
a12
a21
a22
A  x : L(x)
L:R
A
R
2
2
G:R
R
B
(L  G )( x)  L(G ( x) ) 
L(B  x )  ( A  B
(B)  x)
2
G
Rp
2
R
n
L
Am x n
Bn x p
L G
A Bmxp
Rm
G
Rp
R
n
L
Am x n
Bn x p
L G
A Bmxp
AB :
(L  G )(e k )  L(G (e k )) 
colonna k-esima di
L(b k )  A  b k
Rm
idn : R
Id(ej) = ej
n
I



 
n



matrice identica
di ordine n
R
n
 j1, 2, ..., n
1 0 ..... 0 

0 1 ..... 0 

... ... ..... ...

0 0 ..... 1 
Α  In  A  Im  A
L:R n
R
m
A = (aij)
 L1 (x)  b1

L(x) = b
 L 2 ( x)  b 2

. . . . . . . . . .
L m (x)  b m
 a11x1  a12 x 2  . . .  a1n x n  b1
 a x a x  ...a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

a m1x1  a m2 x 2  . . .  a mn x n  b m
IMPORTANTE
PER I CALCOLI:
f :A B è biettiva se e solo se :
 b B , l’equazione :
f (x) = b
ha una e una sola soluzione
L:R
2
a b

A  
L(e1) = c L(
d  e1)
R2
R2
= u
L(x) = b
a
u :  
c
 b
v :  
d
R2
b
x
v
e2
 e1
e1
u
L:R
2
a b

A  
c d
R2
R2
L(x) = b
a
u :  
c
 b
v :  
d
b
R2
v
e2
u
e1
Rango 1
rk((A
L))  11
rk
L:R
2
a b

A  
c d
R2
R2
L(x) = b
a
u :  
c
 db 
v :  
d
R2
v
e2
I2
L( I2 )
u
e1
Rango 2
rk ( A)  2
a
 b
u    , v   
 c
d
au’b
- c 

u'  
 a 
a b

A  
c d
uDet
v  ad - bc
u
' ,(A)
v
c d
determinante di
prodotto esterno
u v  - v u
v
b
|||| uu' || u
|| v' ,||vcos
sin 
b
b

u
A
u  (a , b, c )
z
a
a23  a31  a12
2
2
v  ( a ' , b ' , c' )
2
v
c aa
c' a '
31
ba c
b ' c'
a

23
u
c a
a b 
 b c

u
,
 v :  a b ,
a ' b'  y
 b' c'a c' a '
12
prodotto
prodotto
cross product
vettoriale
esterno
x
au' vb'
u  v  sin 
uxv
convesso
u
v
concavo
u
v
vvxuu--uuxvv
L:R
R3
3
z
R3
L(x) = b
z
R3
w
k
i
I3
j
0
y
Rango 3
x
L( Iv3 )
x
u
y
determinante di
a b c
u ||w
cos
)
a ' Det(A)
b' c' := || vu w(||v|| 
u
a" b" c"
prodotto misto


A
w
a
 a'
 a" 
 
 
 
u   b  , v   b'  , w   b"
 c
 c' 
 c" 
 
 
 
 a a ' a" 


A   b b' b"
 c c' c" 
v 

a b c
a ' b ' c'
a" b" c"
 b'
v  w : 
 b"
b'
u  v  w   a
b"
u  v  w   a
u  (v  w)
=
b'
c'
c' a '
a ' b' 

,
,
c" c" a"
a" b" 
c'
c' a '
a ' b'
b
c
c"
c" a"
a" b"
c'
b" c"
-b
a'
c'
a" c"
c
a'
b'
a" b"
 a11 a12 a13 
A : a 21 a 22 ' a 23 
a 31 a 3211a 33 
a
D E T E R M I N A N T E di
Det ( A)  a a 
'
11 11
A :
 a11 a12 a13 
A : a 21 a 22 a 23 
a 31 a 32 a 33 
a
'
12
D E T E R M I N A N T E di
Det ( A)  a a  a a
'
11 11
'
12 12

A :
 a11 a12 a13 
A : a 21 ' a 22 a 23 
a 32 a 33 
a 31 13
a
D E T E R M I N A N T E di
Det ( A)  a a  a a
'
11 11
'
12 12
A :
a a
'
13 13
 a11 a12 a13 
A : a 21 a 22 a 23 
a 31 a 32 a 33 
'
i j
a ij :  ( -1)
Det (Aij )
complemento algebrico
o cofattore o aggiunto
di
a ij
 a11 a12 a13 
A : a 21 a 22 a 23 
a 31 a 32 a 33 
Det ( A)  a a  a a
'
11 11
'
12 12
a a
Regola di LAPLACE
'
13 13
L:R
R3
3
BIETTIVA
z
R3
L(x) = b
 Det ( A)  0
z
R3
w
k
i
I3
j
0
y
Rango 3
x
L( Iv3 )
x
u
y
Risolvere gli esercizi 6.13 a pag.193