Introduzione all’algebra
lineare
Marco Casarotti
(Università di Padova)
Paolo Bouquet
(Università di Trento)
Algebra lineare
indici
Definizione di Matrice:
Tabella di numeri – detti
coefficienti – disposti in
righe e colonne:
 a11

a
 21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 

a33 
Esempi:
 a11 a12 
A

 a21 a22 
 b11 b12 
B

b
b
 21 22 
 a11 a12

 a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
 4 14 1 3 6 


6
2
1
74
3


 67 32 1 3 99 


 3 


  13 
 3 76 


55
32


4 3


 56 1 
m
 a11


a
 m1
n
a1n 


amn 
Matrici quadrate
Matrici quadrate:
Il numero di righe è uguale al numero di
colonne: A m x m
m è chiamato ordine della matrice
Esempio di matrice
avente ordine 4
79
5
 23 9


2
10
1
66


 54 1
43 32 


 6 121 1000 5 
Definizioni
Diagonale principale:
Insieme dei coefficienti
con indice (i, i) con
1≤i≤m
 23 9 79 5 


 2 10 1 66 
 54 1 43 32 


 6 121 10 5 
Definizioni
Diagonale secondaria:
Insieme dei coefficienti
con indice (i, m-i+1)
con
1≤i≤m
 23 9 79 5 


2
10
1
66


 54 1 43 32 


 6 121 10 5 
Definizioni
Matrici diagonali:
Sono matrici quadrate i cui coefficienti NON
diagonali sono uguali a 0.
Esempi:
1 0


0 2
3 0 0 


0
3
0


 0 0 43 


3

0

0

0
0 0 0

2 0 0
0 3 0

0 0 2
Definizioni
Matrici scalari: matrici diagonali in cui tutti i
coefficienti sono tra loro uguali
5

0
0

0
0 0 0

5 0 0
0 5 0

0 0 5
Vettori
T
Matrice 1xn: vettore riga ( v )
vT  12 3  121
Matrice mx1: vettore colonna ( u )
 12 


3

u 
  


121
Prodotto scalare
Prodotto scalare: data una matrice A ed uno
scalare α,si definisce prodotto scalare la
matrice αA tale che:
 A   a
 3
 2 4 2


A  2 6 5
8 4 8


mn

 2*3 4*3 2*3 


 A   2*3 6*3 5*3 
 8*3 4*3 8*3 


Definizioni
Si definisce –A, la matrice OPPOSTA di A:
 A   amn 
Proprietà del prodotto scalare:
• 1A=A
• 0A=0
• (xy)A=x(yA)
Somma di matrici (per componenti)
Date due matrici A e B delle medesime
dimensioni, si definisce come loro somma la
matrice A+B tale che:
(a  b)mn   amn  bmn 
La somma di matrici aventi diverse dimensioni
NON è definita.
1

A  2
9

4

B  6
2

12 4 

3 3
6 9 
1 1

3 2
4 8 
 1  4 12  1 4  1 


A  B   2  6 3 3 3 2
9  2 6  4 9  8


Prodotto per componenti
Date due matrici A e B delle medesime
dimensioni, si definisce come loro
prodotto per componenti la matrice C
tale che:
(c)mn   amn * bmn 
1

A  2
9

4

B  6
2

12 4 

3 3
6 9 
1 1

3 2
4 8 
 1* 4 12*1 4*1 


A.* B   2*6 3*3 3* 2 
 9* 2 6* 4 9*8 


Prodotto di un vettore riga per un vettore
colonna
T
Dati un vettore riga v ed un vettore colonna u
con lo stesso numero di elementi, ovvero
rispettivamente 1xn e nx1, si definisce
prodotto riga per colonna il valore (o matrice
1x1):
v u  v1u1  ...  vnun
T
Esempio di prodotto riga
v  1 2 3 4 
T
 3
 
5
u  
7
 
1
T
v u  1*3  2*5  3*7  4*1
Prodotto di matrici righe per colonne
Siano A e B due matrici tali che il numero di
colonne di A sia uguale al numero di righe di
B. Definiamo il prodotto di A e B righe per
colonne come la matrice C ottenuta
eseguendo il prodotto di vettore riga per
vettore colonna tra tutte le righe di A e tutte le
colonne di B. La matrice C avrà lo stesso
numero di righe di A e lo stesso numero di
colonne di B.
4
1 2 3 4  

 5
 5 6 7 8 * 7
 9 10 11 12  

 8

3
9
4
9
 4
 
5

1 2 3 4  *    a11
7
 
8
1

7
5

1
 a11 a12

a
a
21
22

a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
4
1 2 3 4  

 5
 5 6 7 8 * 7
 9 10 11 12  

 8

3
9
4
9
 4
 
5

 5 6 7 8 *    a21
7
 
8
1

7
5

1
 a11 a12

a
a
21
22

a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
4
1 2 3 4  

 5
 5 6 7 8 * 7
 9 10 11 12  

 8

3
9
4
9
 4
 
5

 9 10 11 12  *    a21
7
 
8
1

7
5

1
 a11 a12

a
a
21
22

a
 31 a32
a13 

a23 

a33 
4
1 2 3 4  

 5
 5 6 7 8 * 7
 9 10 11 12  

 8

3
9
4
9
 3
 
9

1 2 3 4  *    a12
4
 
9
1

7
5

1
 a11 a12

a
a
21
22

a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
4
1 2 3 4  

 5
 5 6 7 8 * 7
 9 10 11 12  

 8

3
9
4
9
 3
 
9

 5 6 7 8 *    a22
4
 
9
1

7
5

1
 a11 a12

a
a
21
22

a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
4
1 2 3 4  

 5
 5 6 7 8 * 7
 9 10 11 12  

 8

3
9
4
9
 3
 
9

 9 10 11 12  *    a32
4
 
9
1

7
5

1
 a11 a12

a
a
21
22

a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
Prodotto di un vettore colonna per un
vettore riga
T
v
Il prodotto di un vettore colonna u per un vettore riga
è una matrice C ottenuta calcolando il prodotto per
componenti di una matrice A avente tante colonne,
T
tutte uguali ad u, quante sono le righe di v e di
T
v
una matrice B avente tante righe, tutte uguali ad
quante sono le righe di u.
Esempio di prodotto di vettore colonna
per vettore riga
1
 
u   2
 3
 
1 1 1 1


2
2
2
2


 3 3 3 3


 T   6 7 8 9
.*
6 7 8 9


6
7
8
9


6 7 8 9


=
 1*6 1*7 1*8 1*9 


2*6
2*7
2*8
2*9


 3*6 3*7 3*8 3*9 


Esempio rete neurale con due insiemi di pesi
 y1
y3 
y2
 m11

 m21
m
 31
m12 

m22 
m32 
 h1
h2 
 w11

 w21
w12
w13
w22
w23
 x1
x2
x3
Y
M
H
w14 

w24 
x4 
W
X
 w11

 w21
w12
w13
w22
w23
w14  *

w24 
 m11

 m21
m
 31
m12 

m22 
m32 
 x1
x2
x3
x4 

h1

*
h2 

 y1
y2
y3 