RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE
MATRICE
→ INSIEME ORDINATO DI NUMERI
DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE
j 
a11
a12 ........
a1N
a21
a22 ........
a2 N
.
A= .
.
aM 1
.
.
.
.
.
.
aM 2
ELEMENTO GENERICO
a ij
i
a MN
i = 1, 2, …, M (righe);
j = 1,2, …, N (colonne).
AMN 
A11 
AM 1 
A1N 
MATRICE RETTANGOLARE DI
DIMENSIONE M*N
SCALARE
VETTORE COLONNA
VETTORE RIGA
1
SE M=N AM È UNA MATRICE QUADRATA:
AM
a11.........
.
.
.
a M 1.......
a1M
.
.
.
a MM
LA TRACCIA DI UNA MATRICE QUADRATA È DATA
DALLA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI.
LA MATRICE DIAGONALE È UNA MATRICE
QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE
DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:
a11
0........
0
0
a22 ........
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
a MM
2
LA MATRICE IDENTITÀ È UNA MATRICE DIAGONALE
CON ELEMENTI DIAGONALI UNITARI:
1
0
.
.
.
0
0........
1........
.
.
.
0
0
0
.
.
.
1
OPERAZIONI CON LE MATRICI
UGUAGLIANZA
A B
SE
aij  bij  i , j
SOMMA
A B  C
È DEFINITA SE A, B, C
SONO DELLO STESSO ORDINE E  i ,
j
aij  bij  cij
a11
a12 ........
a1M
b11
b12 ........
b1M
a21
a22 ........
a2 M
b21
b22 ........
b2 M
.
.
.
.
.
.
.
.
.
aM 1
aM 2
a MM
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
bM 1
bM 2
bMM
=
3
c11  a11  b11
c12  a12  b12 ........
c1M  a1M  b1M
c21  a21  b21
c22  a22  b22 ........
c2 M  a2 M  b2 M
.
.
.
.
.
.
.
.
cM 1  a M 1  bM 1
cM 2  a M 2  bM 2
cMM  a MM  bMM
=.
ESEMPIO
5
2
0
1

4 3
3 4  5 1

5 5  3 2
303
1 54
PRODOTTO SCALARE
SE K È UNO SCALARE, ALLORA
ESEMPIO
a11
K AMN  Kaij
.......
a1 N
Ka11
.......
Ka1 N
.
.
.
.
K.
.
= .
.
.
aM 1
.......
.
a MN
.
Ka M 1
.......
.
Ka MN
4
PRODOTTO TRA MATRICI
AMN
C MP  AMN B NP
B NP
CON ELEMENTO
ATTENZIONE
N
cij   aik bkj
AB  B A
K 1
ESEMPIO:
(3*2)
a11
a21
a31
(2*2)
a12
b11
a22 *
b21
a32
b12
b22

(3*2)
c11  a11b11  a12b21
c12  a11b12  a12b22
 c21  a21b11  a22b21
c22  a21b12  a22b22
c31  a31b11  a32b21
c32  a31b12  a32b22
ESEMPIO NUMERICO:
(2*3)
(3*2)
7 10
1 2 3
* 8 11 
4 5 6
9 12
1* 7    2 *8   3* 9  1*10    2 *11   3*12 

 4 * 7    5*8   6 * 9 (2*2) 4 *10   5*11   6 *12 
5
TRASPOSIZIONE
LA TRASPOSTA DELLA MATRICE
a11
.
A .
.
aM 1
a12 .........a1 N
A 
'
a M 2 .........a MN
AMN
È
'
A MN
a11
a21 ......a M 1
a12
a22 ......a M 2
.
.
.
a1 N
a2 N ......a MN
ESEMPIO
2
A 3
4
5
6
7
2 3 4
A 
5 6 7
'
TEOREMI
A   A
' '
 A  B
'
 A B
'
'
(AB)’=B’A’
6
MATRICE SIMMETRICA
SE
A È UNA MATRICE QUADRATA ED
A A
'
A
ALLORA
È UNA MATRICE SIMMETRICA.
FORME QUADRATICHE
SE A
È UNA MATRICE QUADRATA E SIMMETRICA DI
ORDINE M*M, X
È UN VETTORE DI ORDINE M*1, IL
PRODOTTO
'
X AX
PRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA.
ESEMPIO:
a11
A
a21
X1
X
X2
X AX  X 1
'
 X1
a11
X2
a21
a12
a22
a12 X 1

a22 X 2
a11 X 1  a12 X 2
X2
a21 X 1  a22 X 2

7
 a11 X 12  a12 X 1 X 2  a21 X 1 X 2  a22 X 2 2 
 a11 X 12  2a12 X 1 X 2  a22 X 2 2
Se per ogni X diverso da 0
X ' AX  0
X ' AX  0
→
→
A È DEFINITA POSITIVA
A È SEMIDEFINITA POSITIVA
Scambiando il segno delle disuguaglianze si ottiene A DEFINITA
NEGATIVA e A SEMIDEFINITA NEGATIVA
DETERMINANTE
AD OGNI MATRICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO
SCALARE
DETTO
DETERMINANTE,
INDICATO
GENERICAMENTE det A
CALCOLO DEL DETERMINANTE
IN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE
IL DETERMINANTE DELLA MATRICE A DA CUI È
STATA TOLTA LA i-esima RIGA E LA j-esima COLONNA.
SI DEFINISCE COFATTORE
Aij
=  1
i j
di ordine ij il prodotto
aij *
8
aij *
IL DETERMINANTE DI
A SI OTTIENE COME SEGUE:
det A  a11 A11  a12 A12  ...  a1M A1M
SE
A È 2*2, CIOÈ:
a11 a12
A
a21 a22
det A  a11 A11  a12 A12  a11  a22   a12  a21 
 a11a22  a12 a21
SE LA MATRICE È 3*3, CIOÈ:
a11 a12
A  a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
det A  a11 A11  a12 A12  a13 A13
In cui i minori sono
 a22 a23 
a  det 
  a22 a33  a32 a23
 a32 a33 
 a21 a23 
*
a12  det 
  a21a33  a31a23
 a31 a33 
 a21 a22 
*
a13  det 
  a21a32  a31a22
 a31 a32 
*
11
9
det A  a11  a22 a33  a32a23   a12  a21a33  a31a23  
 a13  a21a32  a31a22  
 a11a22 a33  a11a32a23  a12a21a33 
 a12a31a23  a13a21a32  a13a31a22
In generale
Aij  ( 1)i  j aij*
det( A)  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  aiM AiM per ogni i  1...M
O equivalentemente
det( A)  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  aMj AMj per ogni j  1...M
10
ALCUNE PROPRIETA’ DEI DETERMINANTI
det A  det A
'
anche se A non è simmetrica
det AB   det A det B 
SE DUE RIGHE/COLONNE DI
ALLORA det A  0 ;
SE SI SCAMBIANO DUE
CAMBIA IL SEGNO DEL det A ;
A
SONO UGUALI
RIGHE/COLONNE
IN A
SE OGNI ELEMENTO IN A È MOLTIPLICATO PER UNO
SCALARE, det A È ANCH’ESSO MOLTIPLICATO PER TALE
SCALARE;
SE IN OGNI RIGA/COLONNA OGNI ELEMENTO È
SOMMATO AD UN MULTIPLO DI UN’ALTRA
RIGA/COLONNA, det A NON CAMBIA.
SE LE RIGHE/COLONNE DI
DIPENDENTI IL det A  0
A SONO LINEARMENTE
IlL DETERMINANTE DI UNA MATRICE TRIANGOLARE
E’ PARI AL PRODOTTO DEGLI ELEMENTI DELLA
DIAGONALE
11
INVERSIONE DI UNA MATRICE
L’INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA A È UNA
1
MATRICE A CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER
PRODUCE LA MATRICE IDENTITÀ, CIOÈ:
1
A
1
AA  A A  I
IN ALTRI TERMINI,
BA
1
B È L’INVERSA DI A SE E SOLO SE:
E BA  AB  I
CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHÈ A
POSSEGGA L’INVERSA È CHE det A  0 ,CIOÈ SE A È
1
NON SINGOLARE. PER OTTENERE
BISOGNA
A
DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI A (INDICATA
CON adj A ) CHE È LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI
COFATTORI, CIOÈ:
adj A 
A11
A12 ...... A1M '
A11
A21...... AM 1
A21
A22 ...... A2 M
A12
A22 ...... AM 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
AM 1
AM 2 ...... AMM
A1M
A2 M ...... AMM

12
L’INVERSA DI
A SI OTTIENE DA:
1
A 
1
adj A
det A
ESEMPIO:
a11 a12
A
a21 a22
A11
adj A 
A21
A12 ‘
A22
QUINDI:
A11  a22
A12   a21
A21   a12
A22  a11
a22 a21 ' a22 a12
adj A 

a12 a11 a21 a11
a22 a12
1
A 
a11a22  a21a12 a21 a11
1
13
ESEMPIO NUMERICO
A11  4
1 2
A
3 4
A12  3
A21  2
4 3 4 2
adj A 

2 1 3 1
A22  1
1
A
2
4
 0,5
1
3
1 4

4  6 3
2
2

1
1,5
1
0,5
Alcune proprietà delle matrici inverse
1) Se A e B sono entrambe matrici non singolari
 AB 1
2)
3)
4)
 B 1 A1
A   A
A   A 
1
det A  
det( A)
1 1
' 1
1 '
1
14
RANGO DI UNA MATRICE
In una matrice A di dimensione m x n il
numero massimo di righe linearmente
dipendenti è uguale al numero massimo di
colonne linearmente indipendenti. Tale
numero è detto rango della matrice e si
indica con r(A).
Alcune definizioni/proprietà
r ( A)  min( M , N )
r ( A)  r ( A' )
r( AB)  min r( A), r( B)
Se A è una matrice quadrata di ordine N e
rango pari a N, A è detta matrice
nonsingolare ed esiste una matrice inversa
unica. Quando il r ( A)  N A è detta
matrice singolare e non esiste la matrice
inversa.
15
Se X è una matrice di dimensioni (n,k) con
k<n e tra le colonne della matrice non vi
sono relazioni lineari esatte si dice che X ha
pieno rango pari a k e si ha
r( X )  r( X ' )  r( X ' X )  r( XX ' )  k
DERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALE
SE y  f  x1 , x2 ,......, xM  È UNO SCALARE ED X È UN
VETTORE COLONNA
 x1 
x 
 2 
. 
X  
. 
. 
 
 xM 
LA DERIVATA PRIMA DI y RISPETTO AD OGNI
ELEMENTO DI X È DEFINITA DA:
16
y
x
 1
y
x
2
y 
 .
X 
.
.

 y
x
 M














VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE
-SE a È UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI ai
COSTANTI

 a' X
X
a
-SE A È UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE M*M
CON ELEMENTO TIPICO a ij COSTANTE

 X ' AX
X
  2 AX
17
- SE A E B SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE
M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI
 X ' AX 
 '
 2  AX  X ' B X  2 X ' AX
 X BX  
2
'
X
X BX

 


BX 
18