G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 Buca di potenziale unidimensionale infinita Particella in una buca di potenziale V 0 V x0 V xL V( x ) condizioni al contorno: Particella confinata in una regione limitata di spazio unidimensionale x 0 L V x per x 0 e x L V x 0 per 0 x L Classicamente: -la particella può avere qualunque energia E 0 e qualunque velocità (momento) - se si misura la sua posizione i valori 0 < x < L sono equiprobabili 1 G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 1 d 2 x V (x) E 2m x dx 2 2 2 1 d x con potenziale nullo ovunque, ossia se V(x) = 0, si ha E 2m x dx 2 Equazione di Shroedinger indipendente dal tempo assunto che E0 k 2mE / e posto 2 ossia che k l’ equazione di Shroedinger indipendente dal tempo si riconduce a d 2 ( x) 2 k ( x) 0 2 dx se supponiamo che dunque equazione dell’oscillatore armonico semplice x ( x) e d 2 ( x) d ( x) 2 x x e e e sia una soluzione si ha 2 dx dx 2 e x k 2 e x 0 e x ( 2 k 2 ) 0 2 k 2 in conclusione: esistono due soluzioni immaginarie per il principio di sovrapposizione se ( x) C1e ikx C2 eikx i 2mE ( x) eikx e ( x) eikx sara’ una possibile soluzione C1 e C2 saranno due numeri complessi ik sono soluzioni anche dove in generale G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 C1 a1 ib1 a1 , b1 , a2 , b2 possiamo allora porre C2 a2 ib2 ( x) C1e ikx C2 eikx (a1 ib1 )e ikx (a2 ib2 )eikx utilizzando le formule di Eulero eikx cos kx isenkx con e eikx cos kx isenkx ( x) (a1 ib1 )(cos kx isenkx) (a2 ib2 )(cos kx isenkx) (a1 ib1 )(cos kx) (a1 ib1 )(isenkx) (a2 ib2 )(cos kx) (a2 ib2 )(isenkx) (a1 ib1 a2 ib2 )(cos kx) (a2 ib2 a1 ib1 )(isenkx) (a1 a2 i (b1 b2 )) cos kx (ia2 i 2 b2 ia1 i 2 b1 )senkx (a1 a2 i(b1 b2 )) cos kx (ia2 b2 ia1 b1 )senkx ( x) Asinkx Bcoskx A (b1 b2 ) i(a1 a2 ) dove B (a1 a2 ) i(b1 b2 ) A e B si dovranno determinare in funzione delle condizioni al contorno G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 se nell’equazione di Schroedinger con potenziale nullo non fosse presente il segno negativo, e questo equivarrebbe ad avere energia cinetica negativa ! 2 1 2m x d 2 x dx 2 E dovremmo risolvere la ragionando in modo identico a prima la sola cosa che cambierebbe e’ che al posto della 2 2m x ( x) e kx e ( x) ekx 2mE dx 2 E otterremmo 2 k 2 anche in questo caso esisterebbero due e per il principio di sovrapposizione se fossero soluzioni anche sarebbe una possibile soluzione e anche in questo caso d 2 x ( x) e x se ipotizzassimo che quindi, da un punto di vista strettamente matematico soluzioni , questa volta reali dato che 1 ( x) C1e kx C2 e kx C1 e C2 sarebbero in generale dei numeri complessi che si dovranno determinare in funzione delle condizioni al contorno da notare pero’ come queste soluzioni in linea di massima non siano normalizzabili perche’ l’integrale tra e diverge ed E V > 0 se V e’ diverso da zero , ossia quindi se possibile assumeremo che E > 0 se V = 0 assumeremo che E sia sempre maggiore di V, anche nel caso V sia negativo di modo che risulti sempre E V > 0 e dato che E e’ l’energia totale , cinetica piu’ potenziale cio’ si traduce nell’ imporre che l’ energia cinetica T sia positiva in caso contrario dovremo valutare caso per caso le possibili soluzioni scartando quelle non normalizzabili G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 nel caso della buca di potenziale unidimensionale infinita occorrera’ determinare la funzione d’onda per un potenziale dato da: V ( x) 0 x 0 (I ) 0 x L ( II ) ( buca di potenziale infinita ) x L ( III ) la particella in questo caso non può mai trovarsi a x negative, né a x > L una prima soluzione e’ : ψI(x)=0 per x<0 e ψIII(x)=0 per x>L d 2 ( x) 2mE d 2 ( x) 2mE per 0 x L : 2 ( x) 2 ( x) 0 2 2 dx dx II ( x) Asen(kx) B cos(kx) con k 2mE 2 G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 A, B, e k e quindi E sono incogniti. Per determinarli ricorreremo alle proprieta’ della funzione d’onda ed alle condizioni al contorno richiedendo la continuità della funzione d’onda per x = 0 : per x 0, I (0) II (0) B 0 imponendo la continuità anche per x = L A0 n k L quindi II ( x) Asen(kx) II ( L) III ( L) A sin kx 0 oppure kL n con n intero 2 2 2 h 2 2 n E n con n = 1, 2, 3, … intero 2 2 8mL 2mL solo certi valori di energia sono permessi l’ energia è quantizzata per determinare A imporremo la condizione di normalizzazione della funzione d’onda normalizzazione: L 0 * * * ( x ) ( x ) dx 1 A AL / 2 1 ( x ) ( x ) dx 1 II II dunque in questo particolare caso si puo’ scegliere A reale quindi: II ( x) sen(kx) 2 / L G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 (x) 0 per 0 < x < L (x) = 0 per x 0, x L Stati stazionari: 2 V E 2 2m x 2 autofunzioni n x 2 x sin( kx ), 0 0 2 2m L E 0 2 x 2 2mE k , kL n , n 1, 2,3,... 2 sin n x L L 2 n 2 autovalori En L 2m n x En i t 2 sin n x e L L NB.: a) n 1, altrimenti (x) = 0 dato che se n=0 la funzione seno si annullerebbe per ogni x b) P(x) dipende da x c) Notare l’equivalenza con le onde stazionarie. 7 G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2008-2009 Buca di potenziale infinita Autovalori Esempio: elettrone in una buca di potenziale larga L=100 pm (dimensioni tipiche di un atomo) 2 2 n h n En L 2 m L 8m 2 2 • E può avere solo valori discreti (livelli energetici), con E >0 . • Il livello inferiore n =1 è lo stato fondamentale. • Gli altri livelli di energia sono detti stati eccitati. • Se fosse E = 0 sarebbe p= 0, Dp = 0, ma da DpDx=h sarebbe Dx = i sistemi confinati devono avere energia E > 0 vai all’esercizio Livelli energetici in una buca di potenziale infinita 8 G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 Buca di potenziale infinita Autofunzioni Parte indipendente dal tempo 2 2 i nn xx, t sinsin n n x x e L L L L sono funzioni ortonormali: ogni funzione f(x) può essere scritta En t f ( x) cn n x n 1 Densità di probabilità … … degli stati stazionari: indipendente dal tempo n x, t n x 2 2 n2 ( x)dx 1 9 A.A A.A.2010-2011 2009-2010 G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini Buca di potenziale infinita Probabilità La densità di probabilità per un elettrone intrappolato è quindi: n2 ( x) 2 2 n sin L L x con n 1, 2,3,.... La probabilità non è costante per tutti gli x interni alla buca di potenziale, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare dalla fisica classica inoltre Esempio per L= 100 pm La distribuzione di probabilità varia al variare del numero quantico n. All’aumentare di n la distribuzione di probabilità tende ad essere uniforme.Cioè la fisica quantistica approssima quella classica (principio di corrispondenza) 10 vai all’esercizio Probabilita’ per una particella intrappolata in una buca di potenziale infinita G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 Buca di potenziale infinita Soluzioni dipendenti dal tempo n x, t 2 i sin n x e L L En t Analogo del moto di una particella Stato stazionario probabilità costante. ( x, t ) cn n x, t n 1 Stato generico: sovrapposizione di stati probabilità variabile. Dalle relazioni di ortonormalità e di completezza si può dimostrare in generale che: cn 1 n 1 2 http://www.falstad.com/qm1d/ … e in particolare: 2 H cn En Conservazione n 1 dell’energia 11 A.A A.A.2010-2011 2009-2010 G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini Buca di potenziale infinita Momento in termini di operatori risolvere l’equazione di Schoredinger indipendente dal tempo equivale a determinare le autofunzioni e gli autovalori dell’equazione H E 2 operatore Hamiltoniano H V ( x) 2m x 2 2 classicamente p2 H V ( x) e’ l’ Hamiltoniana 2m ci si puo’ domandare se le soluzioni n trovate siano anche autofunzioni dell’operatore momento e nel caso esistano, quali siano gli autovalori pn del momento che soddisfino una equazione agli autovalori operatore momento p quindi i x p n pn n p n n 2 sin n x i x L i x L i 2 n cos n x L L L non esistono pn che soddisfino una equazione agli autovalori; cioè le n non sono autofunzioni del momento n è sinusoidale dentro la buca, ma nulla fuori dalla buca, pertanto è una forma d’onda complicata, rappresentabile in serie di Fourier con onde di diversa lunghezza d’onda. allora (p = h/l) non vi è un momento univoco associato all’autofunzione (siccome Dx L allora Dpx h/L) vai all’esercizio Principio di indeterminazione in una buca di potenziale infinita 12 G. Cambi M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli G.- Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini A.A A.A.2010-2011 2009-2010 Buca di potenziale infinita Riepilogo 2 E n x sin n x 2 i n t L sin n x e L n x L L 2 2 n n 1, 2,3... numeri quantici En L 2m x V( x ) 0 L ( x, t ) cn n 1 2 i sin n x e L L H cn En n 1 2 En t n x, t n x 2 2 p n pn n 13
Scarica
