Il problema: un percorso a ostacoli • Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici Terzo incontro Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 1 Problema: calcolare la somma delle ampiezze degli angoli di un poligono Poligoni convessi Angoli interni Angoli esterni Poligoni concavi non intrecciati Angoli interni Angoli esterni Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 2 Angoli interni di poligoni convessi Prerequisito: conoscere la somma delle ampiezze degli angoli di un triangolo. (Nel mondo della geometria vol. 3 pag. 214) Si ritiene efficace,quella di lavorare con modelli di triangoli in carta: ogni alunno deve ritagliare, o meglio strappare, gli angoli di ogni modello e poi riaccostare le tre parti in modo che i tre vertici del triangolo coincidano Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 3 Angoli interni di poligoni convessi Esempio esagono Per calcolare la somma delle ampiezze degli angoli interni posso dividere il poligono in triangoli partendo da un punto interno qualunque partendo da un vertice 180° x 6= 1080° 180° x 4= 720° Che cosa si deve modificare per ottenere lo stesso risultato da tutti e due i disegni? 180° x 6 – 180° x 2 = 720° In generale: se n è il numero dei lati la somma delle ampiezze degli angoli interni è uguale a: n angoli piatti – 2 angoli piatti = (n -2) angoli piatti Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 4 Angoli esterni di poligoni convessi Si invitano gli alunni, eventualmente suddivisi in piccoli gruppi, a tracciare in ogni poligono gli angoli esterni, a “strappare” il modello in carta del poligono in modo da “separarne” i singoli angoli esterni e, infine, a accostare tutti gli angoli esterni in modo da fare coincidere i loro vertici e da non lasciare “spazio” tra il lati dei vari angoli. A meno di imprecisioni legati alle operazioni concrete, gli allievi dovrebbero riuscire a ricostruire un angolo giro Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 5 Timss - Pisa 2003 Risposta: 60° Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 6 Angoli interni di poligoni concavi La regola generale per i poligoni convessi vale anche per quelli concavi? Esempio pentagono 5 a.p. – 2 a.p.= 3 a.p. 3 a.p. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 7 Angoli esterni di poligoni concavi non intrecciati Nel caso dei poligoni concavi il significato di angolo esterno non cambia rispetto a quanto detto per i poligoni convessi e neppure la loro individuazione grafica, tuttavia il risultato può essere “strano” in quanto vi sono angoli esterni che contengono parte del poligono, (gli angoli esterni sono segnati orientando in verso orario la poligonale) Per questo motivo, nei poligoni concavi invece di angoli esterni si preferisce parlare di angoli al contorno, per individuare gli angoli che danno il cambiamento di direzione delle rette dei lati. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 8 Angoli esterni di poligoni concavi Una maggiore difficoltà si incontra nella determinazione della somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono concavo. Infatti, se si addizionano le ampiezze senza tenere conto dell’orientamento degli angoli, si ottiene un risultato maggiore dell’angolo giro, nonostante la percorrenza del contorno del poligono porti ad affermare che il numero di cambiamenti di direzione è tale da aver fatto percorrere un giro completo, come nel caso dei poligoni convessi. 62° + 59° + 77° + 123° + 101°+ 140° = 562° Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 9 Angoli esterni di poligoni concavi L’eccesso rispetto all’angolo giro è dovuto al fatto che alcuni angoli al contorno sono orientati in senso orario e altri in senso antiorario, come è evidenziato nella seguente figura, nella quale di ogni angoli sono riportate le ampiezze assolute L’angolo di vertice E è ampio 101° ed è ottenuto con un cambiamento di direzione in senso antiorario. Esso si annulla, per esempio, con la parte ampia 101° in senso orario che descrive l’angolo di vertice F, per cui la somma delle ampiezze rimanenti è 360°. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 10 Angoli esterni di poligoni concavi Si può formalizzare in modo algebrico quanto affermato se si associa un segno alle ampiezze: se per esempio si conviene di considerare positive le ampiezze di angoli orientati in verso orario e negative le ampiezze di angoli orientati in verso antiorario, l’espressione che corrisponde alla somma algebrica degli angoli al contorno dell’esagono concavo rappresentato è: 62° + 59° + 77° + 123° + (-101°) + 140° = 360°. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 11 Quali problemi ci possono dare le diagonali? Corda? Definizione Diagonali? Il concetto di corda in genere viene introdotto a scuola solo nel caso del cerchio; in realtà esso ha significato anche nel caso dei poligoni, in quanto una corda è un segmento i cui estremi appartengono a lati distinti della poligonale che individua il poligono. Q R Nell’esagono ABCDEF i segmenti PQ, FR, EB sono corde. P Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 12 Quali problemi ci possono dare le diagonali? Le diagonali sono corde aventi gli estremi in due vertici non consecutivi del poligono. Q R Nell’esagono ABCDEF tra le corde rappresentate è diagonale solo il segmento EB. P Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 13 Quali problemi ci possono dare le diagonali? 1. Il numero delle diagonali è costante per poligoni con lo stesso numero di lati? 2. Le diagonali di un poligono sono sempre interne? 3. Esistono poligoni in cui il numero delle diagonali è uguale al numero dei lati del poligono stesso? Si suggerisce di distribuire ad ogni gruppo di bambini alcuni disegni, piuttosto grandi, di poligoni, in modo che ogni gruppo abbia almeno un triangolo, un quadrilatero, un pentagono e un esagono e che vi siano tipi diversi di tali poligoni (per esempio, triangoli rettangoli, acutangoli, ottusangoli, isosceli, scaleni, equilateri, quadrilateri, pentagoni ed esagoni concavi e convessi, con o senza angoli retti o lati congruenti o angoli congruenti). I bambini devono tracciare in ogni poligono tutte le possibili diagonali e registrare quanto ottenuto in una tabella tipo: Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 14 nome nome poligono poligono poligono poligonoconcavo concavoo o convesso? convesso? n° n° diagonali diagonali n°n°diagonali diagonali interne interne triangolo convesso 0 quadrilatero convesso 2 2 0 quadrilatero concavo 2 1 1 pentagono convesso 5 5 0 pentagono concavo 5 2 3 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 n° n° diagonali diagonali esterne esterne 15 Risposte • I triangoli non hanno diagonali • I poligoni con lo stesso numero di lati hanno lo stesso numero di diagonali, mentre i poligoni con diverso numero di lati hanno anche diverso numero di diagonali • Il numero delle diagonali è uguale al numero dei lati solo nei pentagoni • Nei poligoni convessi tutte le diagonali sono interne, mentre nei poligoni concavi vi sono diagonali esterne Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 16 Problema Esiste una relazione tra il numero dei lati e il numero delle diagonali di un poligono, in modo da poter dire quante diagonali ha un poligono senza doverle necessariamente tracciare? Riprodurre, su un foglio di carta da pacco posto a terra, un poligono, per esempio un pentagono e di sistemare un alunno in corrispondenza di ogni vertice del poligono. Ad un alunno viene assegnato il ruolo di tenditore di diagonali: a partire da un vertice del poligono, il tenditore deve tendere corde di uno stesso colore verso tutti i vertici che non sono consecutivi a quello in esame, facendo impugnare le corde ai bambini posti ai vertici; in modo analogo procede per ogni vertice, cambiando ogni volta il colore delle corde. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 17 Quante corde impugna ciascun bambino vertice? (due, nel caso del pentagono) Quante corde sono state tese in tutto? (per il pentagono 2 5 = 10). Si lancia la provocazione di assumere come numero delle diagonali proprio il numero delle corde tese. In realtà, i bambini constatano facilmente che il numero delle diagonali è la metà di quello delle corde tese, in quanto ogni diagonale è visualizzata da una coppia di corde tese. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 18 Ripetere l’esperienza a partire da un esagono e, poi, rendere più sistematica la verifica lavorando con i poligoni dai triangoli ai dodecagoni Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 19 Esiste una relazione tra il numero dei lati o vertici di un poligono e quello delle diagonali uscenti da ciascun suo vertice? n° lati /vertici poligono n° diagonali da ogni vertice differenza 3 0 3–0=3 4 1 4–1=3 5 2 5–2=3 6 3 6–3=3 7 4 7–4=3 8 5 8–5=3 9 6 9–6=3 10 7 10 – 7 = 3 11 8 11 – 8 = 3 12 9 12 – 9 = 3 La differenza è sempre 3 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 20 Le osservazioni quantitative si possono raccogliere in una tabella n° lati/vertici poligono n° diagonali da ogni vertice n° diagonali poligono 3 0 (0 3) : 2 = 0 4 1 (1 4) : 2 = 2 5 2 (2 5) : 2 = 5 6 3 (3 6) : 2 = 9 7 4 (4 7) : 2 = 14 8 5 (5 8) : 2 = 20 9 6 (6 9) : 2 = 27 10 7 (7 10) : 2 = 35 11 8 (8 11) : 2 = 44 12 9 (9 12) : 2 = 54 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 21 In generale Se n indica il numero di lati/vertici di un poligono, la formula che generalizza quanto verificato dagli alunni e consente di calcolare il numero d delle diagonali del poligono è: (n 3) x n d 2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 22 Ancora problemi sulle diagonali In ogni quadrilatero le diagonali si intersecano V F Giustifica la tua risposta Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 23 Ogni quadrilatero con le diagonali uguali è un quadrato V F Giustifica la tua risposta Compito: Scrivere alcune possibili definizioni di quadrato Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 24 Il caso dei trapezi b Quali di questi quadrilateri sono trapezi? ......... a c e d Perché?................ Quali sono trapezi isosceli? ...... g f h i m Perché?.................... Esistono trapezi concavi? Se la risposta è affermativa disegnarne uno. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 25 Come definire il trapezio isoscele? Definizione “usuale”: Un trapezio è isoscele quando ha i due lati obliqui congruenti. A. Ipotesi di trapezio con “una sola coppia”di lati paralleli • tra i trapezi dati, solo f è un trapezio isoscele • ha gli angoli adiacenti ad una base tra loro congruenti si dimostra che un trapezio è isoscele ha gli angoli adiacenti ad una base tra loro congruenti ha le diagonali tra loro congruenti ha almeno un asse di simmetria che è anche asse di due lati paralleli Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 26 Definizione “usuale”: Un trapezio è isoscele quando ha i due lati obliqui congruenti. B. Ipotesi di trapezio con “almeno una coppia” di lati paralleli • tra i trapezi dati, f, d, h, i, m sono trapezi isosceli; più in generale tutti i parallelogrammi sono da considerare trapezi isosceli non sono più vere le proprietà solitamente associate ai trapezi isosceli come modificare la definizione di trapezio isoscele? un trapezio è isoscele se i due angoli adiacenti ad una base sono tra loro congruenti un trapezio è isoscele se ha almeno un asse di simmetria che è anche asse di due lati paralleli si dimostra che un trapezio è isoscele un trapezio ha due lati opposti congruenti Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 27 libertà (non arbitrarietà) nella scelta di una definizione ma coerenza con la scelta fatta: necessità di rigore inteso nell’accezione data da Giuseppe Peano (1858-1932) “il rigore matematico è molto semplice. Esso sta nell’affermare solo cose vere e non nell’ affermare cose che sappiamo non vere. Non sta nell’affermare tutte le verità possibili” Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 28 … almeno due lati paralleli, allora ogni parallelogramma è un trapezio (accezione inclusiva) Q …è quadrilatero b …è trapezio …è parallelogramma a T g d e c P f i h m tutte le proprietà dei trapezi sono anche proprietà dei parallelogrammi esistono trapezi che non sono parallelogrammi TP=P Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 29 Se con “due lati paralleli” si intende … … solo due lati paralleli, allora ogni parallelogramma non è un trapezio (accezione esclusiva) …è parallelogramma Q …è quadrilatero a b …è trapezio T g P d e c f i m h le proprietà dei trapezi non è detto siano proprietà dei parallelogrammi tutti i trapezi non sono parallelogrammi TP= Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 30 UNA FAMIGLIA DI ROMBI Sul reticolo segna i punti di coordinate A (1,6) ; C (7,6). •Quanti rombi con i vertici sui nodi del reticolo e con AC come diagonale puoi disegnare? •Disegnali e rispondi •Di ogni rombo che hai disegnato scrivi le coordinate degli altri due vertici. •Qualcuno di questi rombi è un quadrato? ........ •Perché? 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 31 UNA FAMIGLIA DI ROMBI Sul reticolo segna i punti di coordinate A (1,6) ; C (7,6). La scheda consente di mettere in evidenza che: •i vertici B, D si trovano sull’asse del segmento AC perché la retta BD deve essere asse di simmetria per ogni rombo; •la retta della diagonale AC è pure asse di simmetria per ogni rombo; •la retta BD è parallela all’asse delle ordinate quindi i vertici B, D hanno tutti la stessa ascissa; •il quadrato è un rombo con le diagonali congruenti; i rombi “ interni” al quadrato hanno la diagonale maggiore parallela all’asse delle ascisse, quelli esterni hanno la diagonale maggiore parallela all’asse delle ordinate. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 32 Consolidiamo i concetti presentati I RETTANGOLI SI TRASFORMANO (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.290) Osserva i dieci rettangoli congruenti sotto disegnati. Ognuno di essi è stato diviso da una corda in due quadrilateri tra loro congruenti. •Che tipo di quadrilateri sono?.....…………………………… •Ritaglia con molta precisione i dieci rettangoli. Poi, seguendo la corda tracciata taglia ogni rettangolo in due parti. ………………………………………………………….. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 33 I RETTANGOLI SI TRASFORMANO (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.291) Unendo a due a due ( usando lo scotch ) i quadrilateri ottenuti da ogni rettangolo, in modo che abbiano sempre in comune solo un lato della stessa lunghezza, si possono ottenere più poligoni uno diverso dall’altro. •Sai prevedere quanti poligoni di forma diversa puoi ottenere?………………………… •Di quanti lati pensi siano i poligoni?............ Procedi ora alla costruzione di poligoni nel modo sopra descritto. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 34 I RETTANGOLI SI TRASFORMANO (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.285) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 35 I RETTANGOLI SI TRASFORMANO (da “Nel mondo della GEOMETRIA” vol.3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.291) Incolla sul quaderno i poligoni ottenuti, mettendo la colla solo a metà figura. •Contrassegna ogni poligono ottenuto con un numero e scrivi accanto ad ognuno nome e proprietà Ad esempio, per il rettangolo potrai scrivere: quadrilatero convesso, trapezio , parallelogramma , rettangolo . • Classifica i poligoni ottenuti secondo i seguenti criteri : - essere convesso ( c ) - avere almeno un asse di simmetria ( s ) e rappresenta la classificazione ottenuta usando il diagramma di Eulero-Venn sotto riportato. Nel diagramma indica ogni poligono con il numero che gli hai attribuito. c s Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012 36
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