Il problema: un percorso ad ostacoli
• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi
matematici
19 marzo 2013
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese marzo maggio 2013
1
Lunghezza di una linea limitata
Intuitivamente: linea limitata è una linea nella quale è possibile
individuare un primo punto e un ultimo punto, tra i quali sono
compresi tutti gli altri punti della linea.
Esempi di linee limitate:
Esempi di linee non limitate:
segmenti, circonferenze,
archi di circonferenza,
ellissi, …
rette, semirette, iperboli,
parabole, …
hanno una qualità
chiamata “lunghezza” che
è una grandezza
estensiva
non è definita la
loro lunghezza
Concetto definito a
partire dai segmenti
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2
Lunghezza di un segmento
 relazione fondante: congruenza tra due segmenti, realizzata
concretamente tramite il trasporto rigido
 la congruenza è una relazione di equivalenza:
P. riflessiva: ogni segmento x è congruente a se stesso
xx
P. simmetrica: se un segmento x è congruente a un segmento
y, allora y è congruente a x
xy  yx
P. transitiva: se un segmento x è congruente a un segmento y e y
è congruente ad un segmento z, allora anche x è congruente a z
xyeyz  xz
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3
mediante trasporto rigido si verifica che:
d
a
b
c
aef
h
f
bdh
e
cg
g
segmenti tra loro congruenti formano
una classe di equivalenza
ℓ2
ℓ1
d
a
e
b
h
f
c
g
ℓ3
la proprietà che accomuna segmenti
appartenenti alla stessa classe di
equivalenza, cioè uguali rispetto al
movimento rigido, si chiama lunghezza
Segmenti congruenti definiscono la stessa
lunghezza, rappresentata da un segmento
qualunque della classe
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4
Analogia nel procedimento definitorio del concetto di lunghezza
di un segmento e di quello di direzione di una retta:
Insieme di rette del piano
Insieme di segmenti del piano
relazione di
equivalenza:
parallelismo
Ripartizione in classi di
parallelismo
relazione di
equivalenza:
congruenza
Ripartizione in classi di
congruenza
associazione ad
ogni classe di una
proprietà astratta
associazione ad
ogni classe di una
proprietà astratta
Definizione di direzione
Definizione di lunghezza
Due rette o sono uguali
o sono diverse
rispetto alla direzione
Due segmenti o sono uguali
o sono diversi
rispetto alla lunghezza
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5
Differenze tra la “qualità” direzione di una retta e la “qualità”
lunghezza di un segmento
Rette aventi direzione
diversa non possono
essere “ordinate” rispetto
alle relative direzioni
Segmenti aventi
lunghezza diversa possono
essere “ordinati” rispetto
alle relative lunghezze
Non ha alcun significato la
somma di due direzioni
Ha senso determinare la
somma di due lunghezze
Non ha alcun significato
parlare di multipli e
sottomultipli di una
direzione
Ha senso parlare di
multipli e di sottomultipli
di una lunghezza
La direzione non è una
grandezza
La lunghezza è una
grandezza estensiva
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6
Addizione tra lunghezze
 addizione tra segmenti: siano AB e BC due segmenti tra loro
adiacenti; si chiama segmento somma di AB con BC il segmento AC
e si scrive AC = AB + BC
A
B
C
l’addizione tra segmenti è definita solo
se i segmenti sono fra loro adiacenti;
se i segmenti non sono adiacenti il
segmento somma non è definito.
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7
 addizione tra lunghezze: fondata su
 possibilità di sommare due segmenti adiacenti
 possibilità di rappresentare una lunghezza con uno qualunque
degli infiniti segmenti appartenenti alla classe di equivalenza
associata alla lunghezza
Siano ℓ1 e ℓ2 due lunghezze; scelto un segmento AB come
rappresentante di ℓ1, si prenda come rappresentante per ℓ2 un
segmento BC adiacente ad AB.
Si definisce somma di ℓ1 con ℓ2 la lunghezza rappresentata dal
segmento AC
ℓ1 + ℓ2 = ℓAC
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8
Lunghezza di una spezzata: è la lunghezza somma delle lunghezze
dei lati della spezzata
Non ha senso la somma di segmenti
E
AB + BC + CD + DE
B
D
A
Ha senso la somma delle lunghezze
C
ℓAB + ℓBC + ℓCD + ℓDE
e il risultato è la lunghezza della
spezzata ABCDE
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9
Lunghezza di una linea curva
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Nel caso di linee che non sono segmenti e non sono spezzate la definizione
rigorosa di lunghezza comporta il ricorso a processi infinitesimali, ossia
l’approssimazione della linea con spezzate che sono progressivamente più
“prossime” alla linea e hanno i vertici sulla linea o sono ad essa tangenti,
come mostrano i seguenti disegni
La lunghezza della linea è il limite a cui tende la successione delle
lunghezze delle spezzate così costruite, quando tende ad infinito il numero
dei lati delle spezzate.
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10
I concetti di lunghezza, area, volume
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Nella pratica la lunghezza di una linea con elementi curvi si determina o
tramite rettificazione, per esempio con cordicelle, oppure con il curvimetro,
ruota graduata in centimetri da fare scorrere sulla linea.
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11
Curvimetri
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12
La lunghezza e la sua misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86)
Itinerario didattico
6.1 Confronto di lunghezze
6.1.1 Confronto diretto di lunghezze
6.1.2 Confronto indiretto di lunghezze con l’uso di un medio
termine
6.2 Misurazione di lunghezze con unità di misura arbitrarie
6.2.1 Utilizzo di unità di misura di un solo tipo
6.2.2 Utilizzo contemporaneo di più unità di misura
6.3 Misurazione di lunghezze con unità di misura convenzionali
6.3.1 Utilizzo del metro
6.3.2 Costruzione dei sottomultipli del metro
6.3.3 Costruzione dei multipli del metro
6.4 Il concetto di perimetro
6.4.1 Determinazione della lunghezza di una linea limitata
6.4.2 Determinazione del perimetro di un poligono
6.4.3 Determinazione della lunghezza di una circonferenza
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13
La lunghezza e la sua misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86)
La lunghezza è senza alcun dubbio la grandezza di cui gli alunni hanno
maggiore esperienza extrascolastica, sia per quanto riguarda la grandezza
in sé sia per quanto riguarda la relativa misura.
Pluralità di manifestazioni e di espressioni per la lunghezza
altezza
distanza
spessore
lunghezza
altitudine o
profondità
larghezza
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14
La lunghezza e la sua misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86)
Dal linguaggio comune:
“quanto è lungo quel film?” non si intende sapere quant’è la
lunghezza della pellicola, ma quanto dura la proiezione del film.
“in un tema non conta la lunghezza” ci si riferisce al numero di
pagine scritte, numero che può essere considerato una misura di
area.
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15
La lunghezza e la sua misura
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86)
Visualizziamo in
modo sintetico le
diverse
terminologie con
cui può essere
espressa la
lunghezza, con un
albero
vicino
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16
6.1.1 Confronto diretto di lunghezze
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86)
Condizione necessaria affinché una “qualità” possa essere definita
grandezza è che due enti possano essere confrontati rispetto a questa
“qualità” in modo da stabilire se rispetto ad essa sono uguali o non sono
uguali;
inoltre, nel caso di non uguaglianza, deve essere possibile confrontare i
due enti, così da stabilire quale di essi “possiede” più o meno
intensamente la “qualità” (stabilire relazioni d’ordine)
Confronto diretto, ossia l’accostamento o la sovrapposizione dei due enti
di cui si vuole confrontare la lunghezza.
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17
Confronto diretto nella vita quotidiana
• fa allineare in ordine crescente di altezza: per
eseguire il comando non è necessario sapere quanto
ciascuno è alto, basta accostarsi spalla a spalla e vedere
la spalla di quale bambino sopravanza quella dell’altro;
• verificare se un mobile passa o non passa da una porta
per larghezza o per altezza;
• se un libro sta sul ripiano di una libreria a mensole;
• se uno scatolone passa o meno sotto il letto;…
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18
6.1.1 Confronto diretto di lunghezze
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86)
La semplicità della richiesta di un confronto diretto non è, però,
sinonimo di banalità in quanto gli alunni devono rendersi conto che
per effettuare il confronto è necessario fare coincidere il
“punto di partenza” dei due enti.
Inoltre, essi sperimentano che ha senso il confronto di lunghezze
solo per i corpi rigidi, nel senso di corpi che non sono estensibili
ed elastici, mentre possono essere flessibili e “non diritti”: date due
cordicelle è possibile stabilire quale è più lunga, tendendole,
mentre la medesima operazione è priva di significato nel caso di
due elastici.
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19
Riflessioni sul linguaggio
• Un oggetto non è lungo o corto, alto o basso, largo o stretto, … in
assoluto, ma è più o meno lungo, più o meno corto, …. di un altro.
• Alla varietà nei modi di esprimere la lunghezza si aggiunge la
presenza di termini, per lo più aggettivi, propri per indicare la
“mancanza” di lunghezza: più corto, più stretto, più basso, …
Anche in questo caso si tratta di un linguaggio fortemente connesso
alle situazioni reali, nelle quali si distingue anche il caldo dal freddo,
pur avendo esistenza fisica solo il calore e il freddo è assenza di
calore, non ha esistenza in sé.
• È importante guidare gli alunni a formulazioni nelle quali sia ben
chiara la grandezza rispetto alle quali due oggetti vengono
confrontati, anche per non indurre l’idea errata di due diversi
ordinamenti opposti e presenti contemporaneamente: quello delle
lunghezze e quello delle “strettezze”; all’espressione “la cannuccia
rossa è più corta della cannuccia verde” è, dunque, preferibile
sostituire “la cannuccia rossa è meno lunga della cannuccia verde”.
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20
Importante
•
•
L’uguaglianza o la non uguaglianza di lunghezza non dipendono dalla
posizione dei due corpi.
Se si dispongono sul banco un pezzo di cannuccia A e un pezzo di
cannuccia B, in modo che, per esempio, siano affiancate come mostra il
disegno
A
B
•
si rileva che B è più lunga di A. Se, poi, le stesse due parti di cannuccia
vengono diversamente disposte, la relazione tra le loro lunghezze non
cambia
B
A
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21
La lunghezza
L’unità di misura della lunghezza è il metro (m),
definito come la distanza percorsa dalla luce,
nel vuoto, in un intervallo di tempo
pari a 1/299 792 458 di secondo.
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22
Riflettiamo…
Misurare è un problema perché …
 è certo che si commettono errori
 diverso
è misurare nelle scienze sperimentali
dal misurare in matematica
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23
 È impossibile determinare la misura “vera” di una grandezza
 ogni misura è affetta da errore
Errori casuali
Errori sistematici
 causati da molteplici
fattori (vibrazioni,…)
 difetti negli strumenti
 non eliminabili
 o in eccesso o in
difetto
 sia in eccesso sia in
difetto
 eliminabili
Teoria degli errori
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24
Qualche esempio:
 Se si usa una bilancia con la sensibilità al grammo, è necessario
esprimere le misure di massa fino alla cifra dei grammi:
3,46 hg
8,235 kg
7,0 dag
 La scrittura 7,0 dag letta
in matematica ha uno 0 “inutile”: 7,0 dag = 7 dag
nelle scienze sperimentali contiene indicazione della
sensibilità dello strumento
 l’equivalenza 15 kg = 1 500 g è
corretta dal punto di vista matematico
scorretta dal punto di vista sperimentale: 15,00 kg = 1 500 g
 l’equivalenza 600 g = 0,6 kg è
corretta dal punto di vista matematico e da quello sperimentale
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25
Tre sono i “livelli”
ENTE
(GEOMETRICO)
segmento
(linea limitata)
poligono (figura
piana limitata)
attraverso
relazione
di
equivalenz
a
fissata
unità di
misura
GRANDEZZA
(qualità estensiva)
congruenza
equiestensione
MISURA
lunghezza
numero
area
numero
angolo
congruenza
ampiezza
numero
figura solida
equiestensione
volume
numero
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26
È giusto o sbagliato dire …
Il lato di un quadrato
misura 5 cm
L’area di un triangolo
misura 38 m2
Il perimetro di un
rettangolo è lungo 20 cm
L’angolo retto misura 90°
Il volume di un cubo è
64 cm3
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27
Quali unità di misura?
Sistema Internazionale di Unità (SI)
(XI Conferenza Generale di Pesi e Misure – 1960)
Legge dello Stato Italiano:
Legge n. 122 del 14.04.1978
D.P.R. n. 802 del 12.08.1982
Precisa:
 grandezze, unità di misura e
simboli ammessi
 multipli e sottomultipli
 regole di scrittura
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28
SI: grandezze, unità di misura e simboli
 Grandezze fondamentali: 7 grandezze indipendenti l’una
dall’altra
GRANDEZZA
UNITÀ MISURA SIMBOLO
lunghezza
metro
m
massa
chilogrammo
kg
intervalli di tempo
secondo
s
temperatura
kelvin
K
intensità corrente
ampere
A
intensità luminosa
candela intern.
cd
quantità di sostanza
mole
mol
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29
 Grandezze derivate: tutte le grandezze non fondamentali
 sono definite a partire dalle grandezze fondamentali
oppure da altre non fondamentali già definite
Esempi
- La velocità è il rapporto tra la variazione dello spazio
percorso (lunghezza) e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta
tale variazione.
- L’accelerazione è il rapporto tra la variazione della velocità e
l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione.
 le loro unità di misura sono derivate da quelle delle
corrispondenti grandezze fondamentali
Esempi
- Per la velocità: 1 m/s
- Per l’accelerazione: 1 m/s2
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30
 Unità tollerate: per alcune grandezze del SI sono annesse
ammesse a tempo indeterminato unità di misura diverse da quelle
convenzionali
GRANDEZZA
UNITÀ MISURA SIMBOLO
volume
litro
L, l, ℓ
massa
tonnellata
t
area
ara
a
1 a = 10 dam2
1 ha = 102 a = 10 hm2
Unità di misura
di volume
1m3
Unità di misura
di capacità
1kl
1dm3
1hl
1dal
1l
1cm3
1dl
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1cl
1l
31
SI: multipli e sottomultipli di un’unità di misura
 vengono
precisati i valori
dei multipli e dei
sottomultipli
ammessi, il loro
nome, da
premettere a
quello dell’unità, e
il loro simbolo, da
premettere a
quello dell’unità
FATTORE
NOME
SIMBOLO
1018
exa
E
1015
peta
P
1012
tera
T
L
109
giga
G
T
106
mega
M
103
kilo
k
I
102
etto
h
101
deca
da
1
unità
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M
U
P
L
I
32
FATTORE
NOME
SIMBOLO
1
unità
101
deci
d
102
centi
c
103
milli
m
106
micro

109
nano
n
1012
pico
p
1015
femto
f
1018
atto
a
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S
O
T
T
O
M
U
L
T
I
P
L
I
33
 Multipli e sottomultipli tollerati: sono consentiti per alcune
unità di misura multipli e sottomultipli non del tutto decimali, ma
sessagesimali
GRANDEZZA
UNITÀ
SOTTOMULTIPLI
Ampiezza
angolo grado
(1°)
primo (1’)= 1/60 (di grado)
secondo (1”)= 1/60 (di
primo)
Intervalli di
tempo
secondo
(1s)
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MULTIPLI
minuto (1 min)= 60 s
ora (1h)= 60 min
34
SI: alcune regole di scrittura
Alcuni metri
Alcuni m
Giusto!
Sbagliato!
Se l’unità di misura non è riferita ad
un valore numerico scritto in cifre,
allora l’unità va scritta per esteso
L’unità di misura segue il valore
numerico cui si riferisce, tranne nel
caso dei simboli monetari
7 kg.
3h 15min
9 sec
2 mt.
7 kg
3h 15min
9s
2m
s 12
5€
Sbagliato!
12 s
€5
Giusto!
I simboli delle unità di misura non
vanno puntati (sono simboli non
abbreviazioni), vanno scritti in riga
con il valore, non ammettono altra
Sbagliato!
Giusto!
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - scrittura
Marinella Delda
Torchio
35
quella indicata nel SI.
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Il soggetto è un
ente geometrico
Il verbo fa
riferimento
a un numero
Il lato di un quadrato
misura 5 cm
È una lunghezza,
quindi una
grandezza
Sbagliato!
Formulazioni corrette:
 Il lato di un quadrato è lungo 5 cm
 La lunghezza del lato di un quadrato
è 5 cm
 La misura, in centimetri, della
lunghezza del lato di un quadrato è 5
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36
Il soggetto è
una grandezza
Il verbo fa
riferimento
a un numero
L’area di un triangolo
misura 38 m2
È un’area, quindi
una grandezza
Sbagliato!
Formulazioni corrette:
 L’area di un triangolo è 38 m2
 Un triangolo ha area 38 m2
 La misura, in metri quadrati,
dell’area di un triangolo è 38
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37
Il soggetto è
una grandezza
Sbagliato!
Il predicato
esprime una Il perimetro di un
proprietà
rettangolo è lungo 20 cm
del soggetto
È una lunghezza,
quindi una
grandezza
Formulazioni corrette:
 Il perimetro di un
rettangolo è 20 cm
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38
Il soggetto è un
ente geometrico
È un’ampiezza,
quindi una
grandezza
L’angolo retto misura 90°
Il verbo fa
riferimento
a un numero
Sbagliato!
Formulazioni corrette:
 L’angolo retto è ampio 90°
 L’ampiezza dell’angolo retto è 90°
 La misura, in gradi, dell’angolo retto
è 90
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39
È una grandezza
Il volume di un cubo è
64 cm3
Giusto!
È una grandezza
(la stessa)
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40
I tre diversi “livelli” andrebbero distinti non solo verbalmente, ma
anche simbolicamente:
un simbolo per indicare l’ente geometrico
un altro simbolo per indicare la grandezza associata all’ente
un altro simbolo per indicare la misura della grandezza
rispetto ad una certa unità fissata
Segmento: AB
Un segmento AB è lungo 12 cm
Lunghezza del segmento:
[AB] = 12 cm
Misura, in centimetri, della
lunghezza del segmento:
[AB]cm = 12
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41
Sistema centesimale
Unità di misura:
Angoli notevoli:
grado centesimale 1g
- angolo giro: è ampio 400g
è l’ampiezza della 400a
parte dell’angolo giro
- angolo piatto: è ampio 200g
- angolo retto: è ampio 100g
Sistema in radianti
Unità di misura:
radiante 1rad
Angoli notevoli:
- angolo giro: è ampio 2π
- angolo piatto: è ampio π
è l’ampiezza dell’angolo che
posto al centro di una
- angolo retto: è ampio π/2
circonferenza individua un

arco lungo come il raggio
La definizione di un angolo non può essere legata
della circonferenza
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42
alla misura dell’ampiezza dell’angolo stesso
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CONFRONTO DIRETTO DI LUNGHEZZE
PICCOLI ARTISTI
Luca e Silvia hanno trovato su una
rivista di bricolage il modellino di un
teatrino e vogliono provare a
costruirlo per poter rappresentare
con i burattini a dita una
commediola.
Potrai costruire anche tu un piccolo
teatrino utilizzando i pezzi che
troverai nella pagina seguente. Segui
attentamente le istruzioni e…
all’opera!
IL BOCCASCENA
Ritaglia le strisce, incollale su un cartoncino e uniscile secondo il modello.
-Come hai fatto a stabilire con sicurezza quali strisce vanno usate per le colonne?
- La striscia che serve per la trave è …………………………….. delle strisce che
servono per le colonne
- Le due strisce che servono per le colonne hanno …………
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43
IL SIPARIO
Ritaglia le strisce, confrontale e colorale seguendo le indicazioni:
strisce di uguale lunghezza devono avere uguale colore
le strisce più lunghe vanno colorate di verde
le strisce più corte vanno colorate di blu
le altre strisce vanno colorate di giallo.
* Indica con una crocetta la risposta esatta.
Come sono le strisce gialle rispetto alle strisce blu?
Più lunghe
Meno lunghe
Lunghe uguali
Come sono le strisce gialle rispetto alle verdi?
Più lunghe
Meno lunghe
Lunghe uguali
Le strisce gialle sono……………………………… di quelle verdi e
…………………….. di quelle blu.
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44
IL FONDALE
Come fondale Silvia e Luca hanno preparato un grande castello che
potrai comporre seguendo le istruzioni.
Ritaglia porte e finestre; confrontale per rispondere alle seguenti
domande.
Tutte le porte hanno uguale altezza? ………..
Tutte le porte hanno uguale larghezza? ………..
Tutte le finestre hanno uguale larghezza? ………
Tutte le finestre hanno uguale altezza? ………
Ritaglia le torri, confrontale e completa
La torre n°1 è larga come la torre ……
La torre n°1 è alta come la torre ……
La torre n°2 è ……………………. larga della torre n°4.
La torre n°2 è ……………………alta della torre n°3.
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LA PAGLIUZZA
Valentina, Sara, Marco e Luca sono stati colpiti da un particolare della
fiaba “Il gatto con gli stivali”: il papà, quando deve decidere cosa
lasciare in eredità ai figli, fa estrarre a ciascuno di loro una pagliuzza.
I quattro bambini per stabilire, senza litigare chi partirà per primo
nella gara a cronometro della corsa veloce, decidono di affidarsi alla
sorte utilizzando lo stesso metodo. Siccome non è facile trovare delle
pagliuzze, utilizzano quattro cannucce di diversa lunghezza. Chi
estrarrà la cannuccia più lunga sarà il primo a correre.
Luca
Sara
Valentina
Marco
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OBIETTIVO
COSTRUZIONE DEL CONCETTO DI ANGOLO
CONTENUTI
1. Congruenza * e confronto di angoli :
concetto di ampiezza
2. Classificazione e denominazione di angoli
3. Misura di ampiezze angolari
* Assumiamo la congruenza di angoli (coincidenza di
vertici e di lati) come nozione primitiva da verificare, a
questo livello, con il trasporto rigido di modelli.
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L’ampiezza angolare
Per potere confrontare angoli è indispensabile che gli alunni abbiano
ben compreso che l’ampiezza di un angolo è indipendente dalla
lunghezza dei suoi lati.
Un’attività che nell’esperienza delle insegnanti del Nucleo si è mostrata
particolarmente significativa in proposito è quella denominata
“L’intruso”. Per tale attività si devono predisporre per ogni bambino
quattro cerchi, in cartoncino, di raggio diverso e di colore diverso (per
esempio, uno rosso, uno verde, uno blu e uno giallo). Ciascun cerchio
è da dividere in quattro settori circolari: due con l’angolo retto (nelle
figure, quelli contraddistinti dai numeri 1 e 3), uno con l’angolo acuto
(quelli contraddistinti dal numero 4), uno con l’angolo ottuso
(contraddistinto dal numero 2).
Nel disegno sono raffigurati quattro possibili cerchi distinti per la trama
dello sfondo.
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I fase
L’insegnante chiede, poi, ai bambini di
- ricomporre l’angolo giro usando i settori dello stesso colore;
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- ricomporre l’angolo giro utilizzando per ogni cerchio tre settori di uno stesso
colore e uno di colore diverso, in modo che questo possa inserirsi senza
sovrapporsi agli altri e senza lasciare spazi vuoti; tale settore è “l’intruso”;
- controllare il numero che contrassegna l’intruso e il numero del pezzo che è
stato sostituito, quindi sovrapporre i due pezzi facendo combaciare il vertice e i
lati.
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Le conclusioni alle quali si devono guidare i bambini sono:
•gli intrusi “si comportano bene”, non spingono e non
lasciano spazio vuoto perché hanno la stessa ampiezza
dei pezzi che vanno a sostituire;
•il pezzo contrassegnato dal numero 1 può essere
sostituito da pezzi di diverso colore contrassegnati dallo
stesso numero oppure dal numero 3, in quanto i pezzi con
il numero 1 e con il numero 3 hanno la stessa ampiezza
angolare, in particolare sono angoli retti.
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Relazioni tra angoli
confronto diretto
confronto indiretto
Per confrontabilità si intende la possibilità di stabilire se
due grandezze sono uguali oppure no e, nel caso non lo
siano, quale è maggiore dell’altra.
Nel caso degli angoli il confronto delle ampiezze avviene
tramite il trasporto rigido, nozione tradotta operativamente
con l’uso di modelli su carta o cartoncino e di strumenti
come carta trasparente e compasso.
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La fase successiva nel percorso finalizzato all’introduzione della misura
dell’ampiezza di un angolo è quella del confronto indiretto con un medio
termine.
Terza fase è quella del confronto indiretto tramite uno strumento che
consenta di stabilire l’uguaglianza o la disuguaglianza tra le ampiezze di
due angoli, non di misurare tali ampiezze.
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Utilizzo del cosiddetto “confrontatore”
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Dati due angoli a confrontare rispetto alle
loro ampiezze, si procede nel modo
seguente:
•si pone il punto V sul vertice di un angolo
e la freccia f1 su uno dei suoi lati
•si sposta la freccia f2 fino a fare
sovrapporre il segmento tracciato su di
essa sul secondo lato dell’angolo
•si trasporta rigidamente il confrontatore,
senza alterare la posizione della freccia
mobile, sull’altro angolo, in modo che V
coincida con il suo vertice e la freccia f1
con uno dei due lati
•osservando la posizione del segmento
tracciato su f2 rispetto al secondo lato
dell’angolo si stabilisce la relazione tra le
ampiezze dei due angoli dati.
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La misura dell’ampiezza angolare
rispetto ad unità di misura arbitrarie
Assumendo l'angolo retto come unità di misura si ha che l'angolo piatto
è ampio 2 angoli retti e l'angolo giro 4.
Assumendo l'acutone
come unità di misura si
ha che l'angolo retto è
ampio 4 acutoni, l'angolo
piatto 8 e l'angolo giro 16.
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Per rendere sempre più
precisa la misura
dell’ampiezza degli angoli, si
può preparare un goniometro
con l'angolo "unità di misura"
meno ampio dell'acutone,
detto, arbitrariamente,
acutino.
Nel goniometro presentato
nella figura seguente è stato
scelto come acutino l’angolo
pari a 1/9 dell’angolo retto,
ossia a 1/36 dell'angolo giro, al
fine di facilitare l'introduzione
successiva dell’angolo grado
come la decima parte di
questo angolo.
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Unità di misura convenzionali
L’osservazione dei goniometri in commercio porta ad introdurre l’unità
di misura convenzionale dell’ampiezza degli angoli: è l’ampiezza
dell’angolo ottenuto suddividendo in 90 parti congruenti l’angolo
retto, quindi in 360 parti congruenti l’angolo giro.
Questo angolo è detto angolo grado e la sua ampiezza è indicata
con 1°.
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